角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律

1、角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律一、力對(duì)點(diǎn)的力矩：如圖所示，定義力F 對(duì)O 點(diǎn)的力矩為： M =r F大小為： M Fr sin 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法則來(lái)判斷：把右手拇指伸直，其余四指彎曲，彎曲的方向由矢徑通過(guò)小于1800的角度轉(zhuǎn)向力的方向時(shí)，拇指指向的方向就是力矩的方向。二、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩：力對(duì)O 點(diǎn)的力矩在通過(guò)O 點(diǎn)的軸上的投影稱(chēng)為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。1）力與軸平行，則M =0；2）剛體所受的外力F 在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸和力的作用線(xiàn)之間的距離d 稱(chēng)為力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力臂。力的大小與力臂的乘積，稱(chēng)為力F 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩，用M 表示。力矩的大小為： M Fd 或： M Fr sin

2、 其中是F 與r 的夾角。3）若力F 不在垂直與轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，則可把該力分解為兩個(gè)力，一個(gè)與轉(zhuǎn)軸平行的分力F 1，一個(gè)在垂直與轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的分力F 2，只有分力F 2才對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)有影響。對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，力矩M 的方向只有兩個(gè)，沿轉(zhuǎn)軸方向或沿轉(zhuǎn)軸方向反方向，可以化為標(biāo)量形式，用正負(fù)表示其方向。三、合力矩對(duì)于每個(gè)分力的力矩之和。合力 F =F i合外力矩 M r F =r F i =r F i =M i即 M M i四、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律在討論質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們用動(dòng)量來(lái)描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，并討論了在機(jī)械運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所遵循的動(dòng)量守恒定律。同樣，在討論質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于空間某一定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們也

3、可以用角動(dòng)量來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。角動(dòng)量是一個(gè)很重要的概念，在轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中，它所起的作用和(線(xiàn) 動(dòng)量所起的作用相類(lèi)似。在研究力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用時(shí)，考慮力對(duì)時(shí)間的累積作用引出動(dòng)量定理，從而得到動(dòng)量守恒定律；考慮力對(duì)空間的累積作用時(shí)，引出動(dòng)能定理，從而得到機(jī)械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩對(duì)時(shí)間的累積作用，可得出角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律；而力矩對(duì)空間的累積作用，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理，這是下一節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)主要討論的是繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律，在這之前先討論質(zhì)點(diǎn)對(duì)給定點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律。下面將從力矩對(duì)時(shí)間的累積作用，引入的角動(dòng)量的概念，討論質(zhì)點(diǎn)和剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)

4、量守恒定律。1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（Angular Momentum）描述轉(zhuǎn)動(dòng)特征的物理量 1）概念一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)，以速度v 運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)O 的位置矢量 為r ，定義質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O 的角動(dòng)量為該質(zhì)點(diǎn)的位置矢量與動(dòng)量的矢量積，即L =r P =r m v 角動(dòng)量是矢量，大小為 L=rmvsin 式中為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)位置矢量的夾角。（1）大到天體，小到基本粒子，都具有轉(zhuǎn)動(dòng)的特征。但從18世紀(jì)定義角動(dòng)量，直到20世紀(jì)人們才開(kāi)始認(rèn)識(shí)到角動(dòng)量是自然界 最基本最重要的概念之一，它不僅在經(jīng)典力學(xué)中很重要，而且在近代物理中的運(yùn)用更為廣泛。例如，電子繞核運(yùn)動(dòng)，具有軌道角動(dòng)量，電子本身還有自旋運(yùn)動(dòng)，具有自旋

5、角動(dòng)量等等。原子、分子和原子核系統(tǒng)的基本性質(zhì)之一，是它們的角動(dòng)量?jī)H具有一定的不連續(xù)的量值。這叫做角動(dòng)量的量子化。因此，在這種系統(tǒng)的性質(zhì)的描述中，角動(dòng)量起著主要的作用。（2）角動(dòng)量不僅與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，還與參考點(diǎn)有關(guān)。對(duì)于不同的參考點(diǎn)，同一質(zhì)點(diǎn)有不同的位置矢量，因而角動(dòng)量也不相同。因此在說(shuō)明一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是相對(duì)于哪一個(gè)參考點(diǎn)而言的。（3）角動(dòng)量的定義式L =r P =r m v 與力矩的定義式M =r F 形式相同，故角動(dòng)量有時(shí)也稱(chēng)為動(dòng)量矩動(dòng)量對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩。（4）若質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，v r ，且在同一平面內(nèi)，則角動(dòng)量的大小為 2L=mrv=mr，寫(xiě)成矢量形式為L(zhǎng) =mr 2（5）質(zhì)點(diǎn)作

6、勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，盡管位置矢量r 變化，但是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量L 保持不變。 L=rmvsin =mvd2質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（Theorem of Angular Momentum） （1）質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律問(wèn)題：討論質(zhì)點(diǎn)在力矩的作用下，其角動(dòng)量如何變化。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m ，在合力F 的作用下，運(yùn)動(dòng)方程為d v d (m v F =m a =m =d t d t用位置矢量r 叉乘上式，得d (m v r F =r d t考慮到d d d r(r m v =r (m v +m vd t d t d td r和 v =v v =0d td得 r F =(r m v d t由力矩 M r Fd和角動(dòng)量的定義式L

7、=(r m v d td L得 M d t表述：作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)O 的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)O 的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率，有些書(shū)將其稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律（或角動(dòng)量定理的微分形式）。這與牛頓第二定律F =P /t 在形式上是相似的，其中M 對(duì)應(yīng)著F ，L 對(duì)應(yīng)著P 。 （2）沖量矩和質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理把上式改寫(xiě)為 M t =LM dt 為力矩和作用時(shí)間的乘積，叫作沖量矩。對(duì)上式積分得t 2M t =L 2-L 1t 1t 2式中L 1和L 2分別為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t 1和t 2的角動(dòng)量，M t 為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔t 2- t 1內(nèi)所受的沖量t 1矩。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)

8、點(diǎn)角動(dòng)量的增量。 成立條件：慣性系3質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum） 若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零，即M =0，則L r m v 恒矢量這就是角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受的對(duì)參考點(diǎn)的合外力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量為一恒矢量。 說(shuō)明：(1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律的條件是M =0，這可能有兩種情況： 合力為零； 合力不為零，但合外力矩為零。例如：質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)就是這種情況。質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的合力是指向圓心的所謂有心力，故其力矩為零，所以質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它對(duì)圓心的角動(dòng)量是守恒的。不僅如此，只要作用于質(zhì)點(diǎn)的力

9、是有心力，有心力對(duì)力心的力矩總是零，所以，在有心力作用下質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量都是守恒的。太陽(yáng)系中行星的軌道為橢圓，太陽(yáng)位于兩焦點(diǎn)之一，太陽(yáng)作用于行星的引力是指向太陽(yáng)的有心力，因此如以太陽(yáng)為參考點(diǎn)O ，則行星的角動(dòng)量是守恒的。 特例：（1）在向心力的作用下，質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量都是守恒的； （2）勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。（2）角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的另一基本規(guī)律。在研究天體運(yùn)動(dòng)和微觀粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量守恒定律都起著重要作用。典型例題1、如圖所示，一靜止的均勻細(xì)棒，長(zhǎng)為L(zhǎng) 、質(zhì)量為M ，可繞通過(guò)棒的端點(diǎn)且垂直于棒長(zhǎng)的光滑固定軸2O 在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為ML /3一質(zhì)量為m 、速率為v 的子彈在水平面內(nèi)沿與

10、棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，設(shè)穿過(guò)棒后子彈的速率為v /2，則此時(shí)棒的角速度應(yīng)為 m v 3m v 7m v 5m v(A ML (B 2ML (C 3ML (D 4ML 12v3m v v 2=俯視圖 mvL =ML +m L 322ML , 選（D ） 解：角動(dòng)量守恒 ,2在一光滑水平上，有一輕彈簧，一端固定，一端連接一質(zhì)量m=1kg的滑塊，如圖所示。彈簧自然l -1-1長(zhǎng)度l 0=0.2m，倔強(qiáng)系數(shù)k=100N·m 。設(shè)t=0時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為0，滑塊速度v 0=5m·s ，方向與彈簧垂直。v 在某一時(shí)刻，彈簧位于與初始位置垂直的位置，長(zhǎng)度l=0.5m。求該時(shí)刻滑塊

11、速度的大小和方向。解：220222mv 0 0=mv sin 2mv =mv +k ( - 0解2v =v 0-km得( - 0 2=4m /s , =3003假設(shè)衛(wèi)星環(huán)繞地球中心作圓周運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，衛(wèi)星對(duì)地球中心的 (A 角動(dòng)量守恒，動(dòng)能也守恒 (B 角動(dòng)量守恒，動(dòng)能不守恒(C 角動(dòng)量不守恒，動(dòng)能守恒 (D 角動(dòng)量不守恒，動(dòng)量也不守恒 提示：衛(wèi)星所受唯一外力為萬(wàn)有引力，是“有心力”，故角動(dòng)量守恒；該外力不做功，故動(dòng)能守恒。4若作用于一力學(xué)系統(tǒng)上外力的合力為零，則外力的合力矩_（填一定或不一定）為零；這種情況下力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)量、角動(dòng)量、機(jī)械能三個(gè)量中一定守恒的量是 _提示：反例如：合力為

12、0，但合力矩不為0，此時(shí)動(dòng)量一定守恒。5一根長(zhǎng)為l 的細(xì)繩的一端固定于光滑水平面上的O 點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m 的小球，開(kāi)始時(shí)繩子是松弛的，小球與O 點(diǎn)的距離為h 使小球以某個(gè)初速率沿該光滑水平面上一直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，該直線(xiàn)垂直于小球初始位置與O 點(diǎn)的連線(xiàn)當(dāng)小球與O 點(diǎn)的距離達(dá)到l 時(shí)，繩子繃緊從而使小球沿一個(gè)以O(shè) 點(diǎn)為圓心的圓形軌跡運(yùn)動(dòng)，則小球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能E K 與初動(dòng)能E K 0的比值E K / E K 0 = _ v 2h 2v h=2=2l v 0l 提示：小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程角動(dòng)量守恒：mv 0h =mvh v 06如圖所示，在中間有一小孔O 的水平光滑桌面上放置一個(gè)用繩子連結(jié)的、質(zhì)量m = 4 kg的小塊物體繩的另一端穿過(guò)小孔下垂且用手拉住開(kāi)始時(shí)物體以半徑R 0 = 0.5 m在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，其線(xiàn)速度是4 m/s現(xiàn)將繩緩慢地勻速下拉以縮短物體的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑而繩最多只能承受 600 N的拉力求繩剛被拉斷時(shí)，物體的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑R 等于多少？提示：N 、G 合力矩為0，T 為有心力，故物體角動(dòng)量守恒： mv 0R 0=mvR 又有拉力提供向心力：mv 2T =R 聯(lián)立可解7在光滑的水平面上，有一根原長(zhǎng)l 0 = 0.6 m、勁度系數(shù)k = 8 N/m的彈性繩，繩的一端系著一個(gè)質(zhì)量m = 0.2 kg的小球B ，另一端固定在水平面上的A 點(diǎn)最初彈性繩是松弛的，