導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考?jí)狠S題

1、導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考?jí)狠S題2010年和2011年高考中的全國(guó)新課標(biāo)卷中的第21題中的第色)步，由不等式恒成立來(lái)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，分析難度大，但用洛必達(dá)法則來(lái)處理卻可達(dá)到事半功倍的效果。洛必達(dá)法則簡(jiǎn)介：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(Dlim fx = 0及l(fā)imgx = 0 ;(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi),f(x)與g(x)可導(dǎo)且g<x)于0；f,(X)(3) limI ,xa g x那么 lim L = |im - =i。g(x ) g'(x)法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(Dlim f x =0及l(fā)im g x = 0 ;xAC *'

2、(2) A> 0, f(x)和 g(x)在.: :，A 與 A,：上可導(dǎo)，且 g'(x)羊0；0 比.T-i 00各必達(dá)法則可處理一，。1“，0 ,：.：型。o在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足二，1，: 0, 0。，： ：_：型定式，o否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。育條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二.高考題處理1 .(2010年全國(guó)新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)f (x) = ex -1 - x - ax2。(1) 若a = 0，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若當(dāng)x_ 0時(shí)f (x

3、) _ 0，求a的取值范圍原解：。)a = 0 時(shí)，f(x)=ex-1-x,f'(x) = ex-1.當(dāng)(-：,0)時(shí)，f(x)： ： ： 0;當(dāng) x(0 八：)時(shí)，f'(x)O 故 f (x)在八-,()單調(diào)減少，在精選資料，歡迎下載(0：)單調(diào)增加(II)f '(x) = ex -1 - 2ax由(I)知ex x，當(dāng)且僅當(dāng)x = 0時(shí)等號(hào)成立.故那么 lim»=lim_Al。Fg(x) FgAx)法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：lim fx:及l(fā)im gx二：；在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)羊0；f1(x)(3)

4、 lim I , xa g x那么 limd = lim =l。一g(x ) J g (x)利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：+ 將上面公式,中的 Xi a, Xis換成XT +8, XT- a,“一 av一 a : ag+i±nrnik 命看 af'(x)_x_2ax = (1 _2a)x ,1 從而當(dāng) 1-2a- 0,即 a 時(shí)，f'(x)_0(x 0)，而 f(0) =0 ,2于是當(dāng)xAO時(shí)，f(x)K0.1XXI由e / x(x = 0)可得e -1- x(x= 0).從而當(dāng)a時(shí)，2故當(dāng) x (0,ln 2a)時(shí)，f(x)二。、

5、而 f (0) = 0，于是當(dāng) x (OJn 2a)時(shí)，f(x) ： ： 0. 綜合得a的取值范圍為(-sjI 2)X - 1當(dāng)x 0時(shí),f(x) _0等價(jià)于a - Ee2XxXXX X，令 h x 二 xe - 2e x 2 >x -1x2x2令 g x 二 一2(x>0),則 g (x)3則 /?x 二Xe至1，hx二 XgX0，X原解在處理第(II )時(shí)較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下： 另解：(II )當(dāng)X=O時(shí)，f(x)=。,對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在f(x)_O ;知在0,：;心上為增函數(shù)，h x h 0 =0 ；知h(x)在S,址)上為增函數(shù)，hx-hoi； =0；,gx0

6、，g(x)在 0,4j 上為增函數(shù)。XXX由洛必達(dá)法則知，lim e _： Jim加lim號(hào)冷，xo Xx 】o 2X x 】o 2 21故a -2綜上，知a的取值范圍為i,1。22.(2011年全國(guó)新課標(biāo)理)已知函數(shù)，曲線y = f(x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線方程為x, 2y-3 = 0。(i)求a、b的值；|ny k(n)如果當(dāng)xO，且x胡時(shí)，f(x) 一 ，求k的取值范圍。x1 Xx 11 nx) b原解：(i)f'(x)二一一J(X 1)由于直線X，2y-3=0的斜率為 X2f =1,-，且過(guò)點(diǎn)0'1)，故f'(1)即 2'解得 a=1 , b =

7、1。b=1,11In x 1(n )由)知£ (x)，所以Y _L 1 Y精選資料，歡迎下載八八1)。X(0，由 h'(x)二22k(x知，當(dāng) X = 1 時(shí)，h'(x) :： 0 , h(X)遞減。而 h(1)= 01故當(dāng) x (0,1)時(shí) , h(x) 0,可得 2h(x) 0；1 - Y1-x1 2當(dāng) X (1, + ：)時(shí)，h (X)<0,可得一 h (X) >0從而當(dāng)x>0,且x=1時(shí)，f (x)(In x k+) x1 XIn x k>0,即 口 f (x) >+x1 X(ii)設(shè) 0vkv1.由于(k- 1)X2 1)2 (

8、k - 1) X2 2x k - 1的圖像開口向下,且21 1 2'心=4 - 4(k 1) > 0，對(duì)稱軸 x=> 1 當(dāng) xA=( 1,)時(shí)，(k1)(x+1)+2x>0,故 h (x) >0,而h=0,故當(dāng)x (1,1 1)時(shí) , h (x) >0,可得-h (x) <0,與題設(shè)矛盾。1-k1-x2(iii )設(shè) k1 .此時(shí) x 1 2x , (k-1)(x22'1)2x 0=h (x) >0,而 h(1)=0,故當(dāng)In x f(x)(考慮函數(shù)h(x) = 2ln xi)(x 0)，則h(x)="乜)數(shù)2h (x) v

9、O,與題設(shè)矛盾。解：應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)精選資料，歡迎下載ix sin x當(dāng)xroB時(shí)，原不等式等價(jià)于、 x - si nx3si nxxcosx2x記 f (X)3，則 f '(x)二X£g(x) = 3sin x - xcosx 2x 貝 U g '(x) = 2cos x xsin x - 2 .因?yàn)?g "(x) = xcosx - sin x = cosx(x tan x),g H,(x) - -xsin x ： ： ： 0，所以 g "(x)在(0,)上單調(diào)遞減，且gH(x)：0 ,所以g'(x)在(0, 一)上單調(diào)遞減，且 g

10、 '(xR： ： ： 0.因此g(x)在(0)上單調(diào)遞減, 22且g(x) ： ： ： 0,故f'(x)二業(yè)因此f3=1在(°上單調(diào)遞減.9 : : : 0 »X由洛必達(dá)法則有x-si nx1 -cosxsinx cosx2 =lim= limx>°3x x>°6x x>。即當(dāng) x > 0 時(shí)，g(xA -，即有 f (x) J.66,131故時(shí)，不等式Sinx.xrx對(duì)于x (兄。恒成立.通過(guò)以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足:可以分離變量；用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性；出現(xiàn)

11、型式子.0222x In xx2 1 In X X2 1令 g(x)=r1(x.O,A-1)J0 gx=21 -x再令 h x = x2 1 In x-x2 1 ( x 0, x = 1)，則 h x=2伙 nixXhu x =21 n x 1 ,易知hx=21 n x 1_L在上為增函數(shù),且仍xx故x(0,1)時(shí)，hx ：。，當(dāng) x (1, + ：)時(shí)，6x 0 ;力X在。,1上為減函數(shù)，在1 ,二上為增函數(shù)；故hx>h 1 =0.h x在0, :上為增函數(shù)L h 1 =0當(dāng) x(0,1)時(shí)，h x : 0，當(dāng) x( 1，+ ：)時(shí)，h x、0當(dāng) x (0,1)時(shí)，g x : 0，當(dāng) x( 1，+ ：)時(shí)，gx 0gx在0,1上為減函數(shù)，在1,：；心；上為增函數(shù)xln x1 + In x i 1 i由洛必達(dá)法則知limg(x) =2lim匚廠仁可回二2廠十仁外二卜仁。二k蘭o，即k的取值范圍為(-的，0規(guī)律總吉：對(duì)恒成立問(wèn)題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，但有些題中的求分離出來(lái)的函數(shù)式的最值有點(diǎn)麻煩，利用洛必達(dá)法則可以較好的處理它的最值，是一種值得借鑒的方