2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(提高版)專題9.3空間幾何體外接球和內(nèi)切球(解析版)

1、9.3空間幾何外接球和內(nèi)切球一.公式1.球的表面積：S= 4nR22.球的體積：V= 3nR33二.概念1.空間幾何體的外接球：球心到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球2.空間幾何體的內(nèi)切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球考向一 長(zhǎng)（正）方體外接球【例 1】若一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為 4, 3, 2 的長(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球0的表面上，則此球的表面積為【答案】29【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球上， 所以長(zhǎng)方體為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線|、.423222292為球的直徑，所以球的表面積為S 429，故填29.2【舉一反三】1.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這

2、個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為 _9【答案】2n【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則 6a? = 18,.a= =j3.,2223434339設(shè)球的半徑為R,則由題意知 2R=a+a+a= 3,二R=2故球的體積V=3冗戌=3nX2=2冗.2.如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖， 則該幾何體的外接球的表面積是_ .【答案】48【解析】由幾何體的三視圖可得該幾何體是直三棱柱ABC ABC，如圖所示:其中，三角形ABC是腰長(zhǎng)為4的直角三角形，側(cè)面ACCA是邊長(zhǎng)為 4 的正方形，則該幾何體的外接球的考向二棱柱的外接球【例2】直三棱柱？?？? ?的所有棱長(zhǎng)均為 2，則此三棱柱的外接球的表面積為（）【答案】

3、C【解析】由直三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2V3，得底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑r= 2,半徑為、4242422 該幾何體的外接球的表面積為48.故答案為48A. 12nB. 16nC. 28nD. 36n又由直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為 2 ，則球心到圓0的球心距d=, 根據(jù)球心距，截面圓半徑，球半徑構(gòu)成直角三角形， 滿足勾股定理，我們易得球半徑R滿足：R?=r2+d2= 7,外接球的表面積S=4nR= 28n.故選：C.【舉一反三】1.設(shè)直三棱柱 ABC-ABiCi的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的表面積是40n,AB=AC=AA / BAC=120則此直三棱柱的高是_ .【答案】2 2【解析】設(shè)三角

4、形BAC 邊長(zhǎng)為a,則三角形 BAC 外接圓半徑為3aa,因?yàn)? R240R22 . 2 sin32所以R2aa210, a 2、2,即直三棱柱的咼是2.2.2102.直三棱柱？?？中，已知？?紅？?,？?= 3 , ?= 4 , ?= 5，若三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為【答案】50如圖所示，設(shè)底面正方形ABCD的中心為0，正四棱錐P ABCD的外接球的球心為OQ底面正方形的邊長(zhǎng)為20D 1Q正四棱錐的體積為2【解? ? ?是直三棱柱,二?丄？?，又三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面?是球的直徑，？?=? ；.？?23+ 42= 5,二？52+ 52= 50 ;故該球的表面積為？

5、?= 4? =? ? 24?（弓-）=? = 50?考向三棱錐的外接球類型一：正棱錐型【例 3-1】已知正四棱錐PABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上,底面正方形的體積為 2，則此球的體積為 （）VpABCD-22P0 2，解得P0 3300 PO PO 3 R在Rtn00 D中，由勾股定理可得0020 D20D2即3 R2122R，解得R5V球4R3452500故選C333381【舉一反三】1.已知正四棱錐P ABCD的各條棱長(zhǎng)均為 2,則其外接球的表面積為（）A.4 nB.6 nC.8 nD.16 n【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn) P 在底面 ABCD 的投影點(diǎn)為0,則AO -AC 2, PA 2, P

6、0平面 ABCD 故2PO PA2A022,而底面 ABCD 所在截面圓的半徑A02,故該截面圓即為過球心的圓，則球的半徑 Rh.,2,故外接球的表面積為S 4 R28 ,故選 C.2.如圖，正三棱錐DABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球0的球面上，底面正三角形的邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為2 3，A.40B.20C.12D.3【答案】A【解析】設(shè)該三棱錐外接球的半徑為R.2ab cosC(其中a,b, c為ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊) ccosB bcosC 2acosCA.4B.323【答案】C【解析】 如圖，設(shè)OM x,OBOD r,Q AB 3,BM、3, 又DB2.3,在Rt OMB中，(3 x)2

7、x23, 得：xC.16D.36DM 3,1,r 2,S求O16，故選：C.AP 2,ABPA面ABC，且在三角形ABC中，有ccosB2ab cosC(其中a,b,c為ABC的內(nèi)角 代B,C所對(duì)的邊），則該三棱錐外接球的表面積為在三角形ABC中，ccosB則球0的表面積是（【例 3-2】在三棱錐P ABC中,根據(jù)正弦定理可得sinCcosB sinBcosC 2sinAcosC，即sin B C 2sinAcosC.1 sinA 0 cosC - vC 0,C 23由正弦定理，32r，得三角形ABC的外接圓的半徑為r 3.vPA面ABCsin32PA2r22R2 2R210該三棱錐外接球的表面積為S 4 R240故選 A.【舉一反三】1.已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）(MHIBA.叱127n115n124n【答案】D【解析】根據(jù)幾何體的三視圖可知，該幾何體為三棱錐？? ?其中？?= ?= 2, ?= 4 且？觀面？Z? 120根據(jù)余弦定理可知:?_ ?+?_ 2?|?)2 2=42+ 22- 2X4X2X(-可知？?= 2 根據(jù)正弦定理可知？?外接圓直徑 2?=?20/.?= 菩，如圖，設(shè)三棱錐外接球的半徑為？球心為？過球心?向 ?作垂線,則垂足？?為?的中點(diǎn)?= 1，在?,?一一22o2 v21?=