2019高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專題04立體幾何理

1、立體幾何熱點(diǎn)一 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及空間角的計(jì)算空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系通?？疾槠叫?、垂直關(guān)系的證明，一般出現(xiàn)在解答題的第（1）問，解答題的第 問?？疾榍罂臻g角，一般都可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解1【例 1】（滿分 12 分）如圖，四棱錐PABCDK側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCDAB= BC=qAD/BAD=ZABC=90 ,E是PD的中點(diǎn).（1）證明：直線CE/平面PAB點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為 45 ,求二面角MAB- D的余弦值.教材探源 本題源于教材選修 2 1P109 例 4,在例 4 的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改造，刪去了例4 的第

2、問，引入線面角的求解滿分解答 證明 取砂的中點(diǎn)凡連接E刑 因?yàn)檫t是PD的中點(diǎn)，所EFflAD,EFflAD,又爐討，所漢去尸羅EC,四邊形BCEF是平行四邊形，CE/ BF,3 分（得分點(diǎn) 2）又BF?平面PAB CE平面PAB故CE/平面PAE4 分（得分點(diǎn) 3）2解 由已知得BAL AD以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 忌勺方向?yàn)閤軸正方向，|爲(wèi) 為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空 間直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz，則A(0,0,0),B(1,0,0), qi ,1,0),P(0,1,3),設(shè)y,y,(gvlh則或y y? ?z),z),頁 QRyl,/-也分得分點(diǎn)4)因?yàn)榛伺c底面蟲號(hào)仞所成的甬為4于,而n=(0,n=

3、(0,0, 1)是底面曲CD的一個(gè)法向量所以|85 I=sin45 ,|z|返,(x- 1)2+y2+z2-2， 即(x 1)2+y2-z2-0.又M在棱PC上，設(shè)PM-入比則x入，y 1,z 3 吋 3 入.X- 1 +專，PO (1 ,0,-.3),AB-(10, 0).r 4返x-1-乙,(舍去),y-1,zz 2，七X3由，解得y- 1,Iz-逅z-2設(shè)m=(xo,yo,zo)是平面ABM勺法向量，則所以M1-1從而AM-分(得分點(diǎn) 5)4:（2迄）X0+ 2y0+ &Z0= 0,X0= 0,于是cosm nmin|5因此二面角M- AB- D的余弦值為 學(xué).12 分（得分點(diǎn)

4、7） 得分要點(diǎn)?得步驟分：抓住得分點(diǎn)的解題步驟，“步步為贏”，在第（1）問中，作輔助線T證明線線平行T證明線面平行；第問中，建立空間直角坐標(biāo)系T根據(jù)直線BM和底面ABC斷成的角為 45和點(diǎn)M在直線PC上確定M的坐標(biāo)T求平面ABM勺法向量T求二面角M- AB- D的余弦值.?得關(guān)鍵分：（1）作輔助線；（2）證明CE/ BF;（3）求相關(guān)向量與點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）求平面的法向量；（5）求二面角的余弦值，都是不可少的過程，有則給分，無則沒分?得計(jì)算分：解題過程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證，如（得分點(diǎn) 4）,（得分點(diǎn) 5）,（得分點(diǎn) 6）,（得分點(diǎn)7）.【類題通法】利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直

5、角坐標(biāo)系.第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo).第三步：求向量（直線的方向向量、平面的法向量）坐標(biāo).第四步： 計(jì)算向量的夾角（或函數(shù)值）.第五步： 將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角第六步： 反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 如圖在直角梯形BBCC中，/CCB= 90,BB/CC,CC=BC= 2BB= 2,D是CC的中點(diǎn),四邊形AACC可以通過直角梯形BBCC以CC為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角BCCA為 120求二面角BACA1的余弦值.m- AM=0,T即m- AB=0,所以可取 m= （0， 6, 2）.10 分（得分點(diǎn) 6）m- n _10（1）若點(diǎn)E是線段AB1上的動(dòng)點(diǎn)，求證:5證明連接D

6、D毎，DB-TCDHAADB-TCDHAA1且CDCD二AAAA“二四邊形心QC是平行四邊形，.AC/IAAD?|H|5C/DBDB二如D”平面ABC,ABC, DBJlDBJl ABCABC? ?又ADADB=D, AD, DEB?平面DAB,GF, CB,CC為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz,則C(0 ,0,0) ,A(&, - 1,1) ,C(0 ,0, 2) ,B(0 , 2, 1),所以CX= ( 3,- 1, 1) ,Cb=(0 , 0, 2) ,AC=( 3 , 1, 1) ,BC=(0 , - 2 , 1),平DAB/平面CAB又DE?由題知分別以平

7、面DABI,ADE/平面ABC解CC丄CB,6設(shè)平面曲“的法向量為卅二兒z),平面瓦4C的法向量為b,b, c),c),有則岸可取“込3弟*二0店兀一丁+尸_=垂lwHl仔刁p+L + 44所以二面角B-AC-A,B-AC-A,的余弦值為羋熱點(diǎn)二 立體幾何中的探索性問題此類試題一般以解答題形式呈現(xiàn)，常涉及線、面平行、垂直位置關(guān)系的探究或空間角的計(jì)算問題，是高考命題的熱點(diǎn)，一般有兩種解決方式：(1)根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；利用空間向量，先假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件判斷該點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在n【例 2】 在如圖所示的幾何體中，平面ADNM平面ABCD四邊形ABC是菱形，ADNI是矩形，/DA

8、B=w,3AB=2,AM=1,E是AB的中點(diǎn).(1) 求證：平面DEML平面ABM2A + u平面PBEPBEf f/.BP1CE./.BP1CE.以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)0且平行于CD的直線為x軸，過點(diǎn)0且平行于BC的直線為y軸，直線PO為z軸, 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系2，O),囲,3O), Q 2,設(shè)平面PCD勺法向量為ni= (xi,yi,zi),| niCD=0, 則 ni CP=0,xi= 0,xi+ 3yi-2zi= 0,令zi=2,可得ni=0,3,2,設(shè)平面PBC的法向量為n2=(X2,y2,Z2),n2則n PB=0,BC=0,即2y2&Z2= 0,幼=0,/ co

9、s ni,n22 0) , RO , 0 冷1 0【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 如圖 所示，在直角梯形ABCD中，AD/ BC/BAD=,AB= BC=1,AD=2,E是線段AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到AiBE的位置，如圖(2)所示.(1) 證明：CDL平面AiOC(2) 若平面ABE!平面BCDE求直線BD與平面ABC所成角的正弦值證明 在題團(tuán)中，連接匚罡 因?yàn)锳D2AD2? ?E是肋的中點(diǎn)，O血=卞所臥四邊形血他為正方形，四邊形ECDEECDE為平行四邊形，所以心丄人C在題圖(2)中，BELOABELOAl?l?BELOC,BELOC,又Q4】門OCt平面月】(9C從而丄平面A AX XOCOC又所以CD丄平面AOaAOa解 由(1)知BEL OA, BEL OC所以/AOC為二面角Ai-BE C的平面角，又平面ABE!平面BCDEn所以/A OC=2，所以O(shè)B OC OA兩兩垂直得BC=(屮,-2,0),AC=(0,-2,由6D= E3E=(2,0,0)，得Q 2,如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OBz軸建立空間直角坐標(biāo)系,0, 0),日f, 0, 0),A(0, o,虧),ao, 2, o),2),2 f , 0).c團(tuán)(1)國(guó)ii所以 Bt(322,0