旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程(利用正交變換作旋轉(zhuǎn))

1、旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程-利用正交變換作旋轉(zhuǎn)眾所周知，坐標(biāo)面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 （1）（見同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)（5版上冊(cè)），313頁(yè)）。如果以上曲線的方程能寫成顯函數(shù)（），則該旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 或 （2）這個(gè)方程的幾何意義是：對(duì)曲線上的每一點(diǎn)，這個(gè)方程給出圓心在，半徑為的一個(gè)垂直于軸的圓。當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，這些圓就構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。如果曲線的方程是顯函數(shù)（），我們也可以用參數(shù)方程來表示這個(gè)旋轉(zhuǎn)面： （，） （3）這個(gè)方程的幾何意義是：對(duì)每一個(gè)，參數(shù)方程給出一個(gè)半徑為的垂直于軸的圓。當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，這些圓就構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。如果曲線的方程能寫成參數(shù)方程（），則旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方

2、程為： （，） （4）這個(gè)方程的幾何意義是：對(duì)每一個(gè)，參數(shù)方程給出一個(gè)半徑為的垂直于軸的圓。當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，這些圓就構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。推而廣之，如果該曲線是空間曲線，其參數(shù)方程為 （），則此曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程為： （，） （5）這個(gè)方程的幾何意義是：對(duì)每一個(gè)，參數(shù)方程給出一個(gè)半徑為的垂直于軸的圓。當(dāng)取遍中的每一個(gè)值時(shí)，這些圓就構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面。（見同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)（5版上冊(cè)），322頁(yè)）。例1 坐標(biāo)面上的圓 （）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面為一圓環(huán)面。為了得到圓環(huán)面的參數(shù)方程，先將圓用參數(shù)方程表示為（），再用方程（4）得到圓環(huán)面的參數(shù)方程： （，）如圖1（?。?。圖1

3、 圓環(huán)面繪制圖1的Mathematica程序：a=1;b=3;xxt_:=0;yyt_:=b+a Cost;zzt_:=a Sint;rt_:=Absyyt;xt_,theta_:=rt Costheta;yt_,theta_:=rt Sintheta;zt_,theta_:=zzt;Quxian=ParametricPlot3Dxxt,yyt,zzt,t,0 ,2 Pi,PlotStyle->Red,Thickness0.02;Qumian=ParametricPlot3Dxt,theta,yt,theta,zt,theta,t,0,2 Pi,theta,0,2 Pi,PlotPoin

4、ts->40;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-5,5,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-5,5,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-5,5,-5,5,-3,3,Boxed->False,Axes->False,Vi

5、ewPoint->5,4,3例2 空間直線 （）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面為一單葉雙曲面。用方程（5）得到單葉雙曲面的參數(shù)方程： （，）（見同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)（5版上冊(cè)），322頁(yè)）。如圖2圖2 單葉雙曲面繪制圖2的Mathematica程序：xxt_:=1;yyt_:=t;zzt_:=2t;rt_:=Sqrtxxt2+yyt2;xt_,theta_:=rt Costheta;yt_,theta_:=rt Sintheta;zt_,theta_:=zzt;Quxian=ParametricPlot3Dxxt,yyt,zzt,t,-1.2 ,1.2,PlotStyle->Red,

6、Thickness0.02;Qumian=ParametricPlot3Dxt,theta,yt,theta,zt,theta,t,-1,1,theta,0,2 Pi,PlotPoints->40;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=Sh

7、owX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-2,2,-2,2,-3,3,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->5,4,3從圖2看出，用參數(shù)方程（5）繪制的曲面上的母線并不是原來那條直線（圖中紅色的直線）繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)留下的直線族。為了繪出以圓曲線在旋轉(zhuǎn)時(shí)的曲線族為母線的曲面，我們必須利用旋轉(zhuǎn)曲面的另一種參數(shù)方程。這要用到直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換。平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度后的點(diǎn)的坐標(biāo)為 或 （6）如圖3。（見同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)（5版），32頁(yè)）圖3 平面直角坐標(biāo)面上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)同理，空間直角坐

8、標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)角度（從軸正向看去為逆時(shí)針方向）后的點(diǎn)的坐標(biāo)為 或 （7）因此利用正交變換（7），空間曲線 （）繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程又可以寫成： （，） （8） 例1 中的圓環(huán)面的參數(shù)方程可以改寫成： （，）例2 中的單葉雙曲面的參數(shù)方程可以改寫成： （，）我們用這個(gè)參數(shù)方程來作圖（圖4）：圖4 單葉雙曲面圖4清楚地顯示了那條紅色的直線在繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)留下的直線族。繪制圖4的Mathematica程序：rt_:=1,t,2t;Atheta_:=Costheta,-Sintheta,0,Sintheta,Costheta,0,0,0,1;Quxian=ParametricPlot3D

9、rt,t,-1.2,1.2,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh->10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=Paramet

10、ricPlot3D0,0,z,z,-3,3,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-2,2,-2,2,-3,3,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->6,3,3同理，我們可以很方便地得到空間曲線繞軸或軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程。結(jié)論：設(shè)有空間曲線 （），則利用繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的變換，該曲線分別繞三個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程分別是：（1）繞軸旋轉(zhuǎn)： （，） （8）（2）繞軸旋轉(zhuǎn)： （，） （9）（3）繞軸旋轉(zhuǎn)

11、： （，） （10）例3 求空間曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程，并作圖。解 根據(jù)方程（9），旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程是： （，）如圖5。圖5 繞軸旋轉(zhuǎn)的曲面繪制圖5的Mathematica程序：rt_:=t,t2,t3/3;Atheta_:=Costheta,0,-Sintheta,0,1,0,Sintheta,0,Costheta;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.1,1.1,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh-

12、>10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-1,1,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-0.5,1.5,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->

13、-2,2,-0.5,1.5,-1,1,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->6,3,3例4 求空間曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程，并作圖。解 根據(jù)方程（10），旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程是：（，）如圖6：圖6 繞軸旋轉(zhuǎn)的曲面繪制圖6的Mathematica程序：rt_:=t,t2,(1+t3)/3;Atheta_:=1,0,0,0,Costheta,-Sintheta,0,Sintheta,Costheta;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.2,1.2,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh->10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-1,1,PlotStyle->AbsoluteThickness3