第七章 動量定理和動量守恒定律

1、第7章 動量定理和動量守恒定律§7-1動量定理和動量守恒定律物體之間或物體內(nèi)部各部分之間因運(yùn)動發(fā)生相對位置變化的過程稱為機(jī)械運(yùn)動。它是物質(zhì)的各種各樣運(yùn)動形式中最簡單、也是最普遍的一種，例如：行星繞太陽的轉(zhuǎn)動、宇宙飛船的航行、機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)、彈簧的伸長或壓縮、水和空氣等流體的流動等等，都是機(jī)械運(yùn)動。而各種復(fù)雜的運(yùn)動形式如生命現(xiàn)象、化學(xué)反應(yīng)等，雖然也有位置的變化，但并不歸結(jié)為機(jī)械運(yùn)動。機(jī)械運(yùn)動有兩種量度：如果存在的機(jī)械運(yùn)動仍以保持機(jī)械運(yùn)動的形式進(jìn)行傳遞，那么應(yīng)以動量來量度；如果機(jī)械運(yùn)動轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降倪\(yùn)動，應(yīng)以動能來量度。即動量是以機(jī)械運(yùn)動來量度機(jī)械運(yùn)動，動能是以機(jī)械運(yùn)動轉(zhuǎn)化為一定量的其它形

2、式的運(yùn)動的能力來量度機(jī)械運(yùn)動的，動量和動能是研究機(jī)械運(yùn)動不可缺少的物理量。7.1.1動量、動量定理1、動量 物體的質(zhì)量與其速度的乘積，稱為該物體的動量，即。在直角坐標(biāo)系中動量可表示為 （7-1-1）由（7-1-1）式知，動量是一個矢量，具有瞬時性。2、動量定理若在時刻，物體的動量為，經(jīng)過時間段，其動量為，在時間微元段上，其動量的增量為若在該時間元段內(nèi)，物體受力作用，由牛頓第二定律知有 （7-1-2）關(guān)系成立。若在的時間段上，物體受力作用，將每一個時間元段上動量的增量加起來，即在的時間段上對其求和，則該時間段上的動量增量為 （7-1-3）（7-1-2）式與（7-1-3）式就是動量定理的表述。人們

3、又常把（7-1-3）式的右項(xiàng)稱為力的沖量。對于由多個物體所組成的系統(tǒng)，其總動量等于各物體動量的矢量和，即系統(tǒng)總動量為 系統(tǒng)所受的力可分為：外力、內(nèi)力，外力即來自系統(tǒng)外的作用，內(nèi)力即指系統(tǒng)內(nèi)各物體間的相互作用力。由牛頓第三定律知：內(nèi)力在整個系統(tǒng)中總是成對、等大、反向地存在，因此所有內(nèi)力的矢量和等于零。由此知，在力作用下，系統(tǒng)中各物體發(fā)生了機(jī)械運(yùn)動的傳遞，即有動量的變化，但內(nèi)力雖然使系統(tǒng)內(nèi)各物體的動量發(fā)生改變，卻與系統(tǒng)總動量的改變無關(guān)，系統(tǒng)總動量的改變只與外力的時間作用過程有關(guān)，由（7-1-3）式可得 （7-1-4）（7-1-4）式告訴我們：系統(tǒng)的總動量的改變等于合外力的沖量。（7-1-4）式就是

4、系統(tǒng)的動量定理。7.1.2動量守恒定律1、動量守恒定律由（7-1-3）式和（7-1-4）式知，當(dāng)物體或物體系統(tǒng)不受外力作用時，有 （7-1-5）或 （7-1-6）（7-1-5）式和（7-1-6）式就是動量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它的內(nèi)容就是：若在一物理過程中，系統(tǒng)不受外力或所受合外力等于零，系統(tǒng)的總動量將保持不變。這一自然規(guī)律叫動量守恒定律，是自然界的基本規(guī)律之一。圖7-1-1沖力-時間曲線動量定理常用來研究碰撞過程。碰撞過程的特征是：兩物體碰撞瞬間，沖力很大；作用時間很短。兩物體通過碰撞，進(jìn)行了機(jī)械運(yùn)動的傳遞，彼此的動量都有變化。一般說來。對于兩個碰撞的物體，由于它們間的內(nèi)作用力（沖力）遠(yuǎn)大于

5、外作用力，外作用力可忽略，在碰撞過程中近似地看作滿足動量守恒。圖7-1-1給出了碰撞瞬間沖力的示意圖。用動量守恒定律不難解釋我們經(jīng)常目睹的現(xiàn)象：人走向小車一端時，小車將向另一端移動；子彈從槍膛射出時，槍身會向后坐；爆炸的碎片總是飛向四面八方；當(dāng)火箭向后噴射出熾熱的氣體時，火箭將呼嘯地沖向藍(lán)天；。在這些現(xiàn)象中都遵從著動量守恒定律。2、中微子的提出至今人們還未發(fā)現(xiàn)違背動量守恒定律的例子存在。每當(dāng)在實(shí)驗(yàn)中觀察到似乎是違反動量守恒守律的現(xiàn)象時，物理學(xué)家就提出一些新的假設(shè)來補(bǔ)救，最后總是以有新發(fā)現(xiàn)而勝利告終，例如對衰變過程的認(rèn)識和中微子的提出。衰變是一個原子核A射出一個電子e后轉(zhuǎn)化為另一原子核B的過程，

6、如果沒有其它粒子參與，則其過程可寫為若A是孤立的，且靜止的，即初態(tài)總動量是為零，則不管其過程細(xì)節(jié)如何，由動量守恒定律可預(yù)言：B不可避免地將在射出的電子e的反方向上反沖，才能使終態(tài)總動量等于零。但衰變的云室照片顯示，B和電子e的經(jīng)跡并不在一條直線上，終態(tài)總動量不為零，實(shí)驗(yàn)中好象出現(xiàn)了違背動量守恒定律的反?，F(xiàn)象。為了解釋衰變中出現(xiàn)的反常現(xiàn)象，確保動量守恒定律的成立，W.泡利(W.Pauli)于1930年提出了假設(shè)：在衰變中有另一個未被發(fā)現(xiàn)的粒子中微子存在，正是B、電子e和中微子的總動量為零。由于中微子既不帶電，其質(zhì)量又凈乎為零，在實(shí)驗(yàn)中極難測量，直到26年后，即1956年才終于在實(shí)驗(yàn)中直接找到了中

7、微子，證實(shí)泡利的假設(shè)是正確的，當(dāng)然也再次證實(shí)動量守恒定律的成立。3、火箭飛行原理 作為動量守恒定律的應(yīng)用，下面來討論火箭的飛行原理?；鸺怯钪婧叫械倪\(yùn)載工具?；鸺w行時，燃料在燃燒室中燃燒，向火箭飛行的相反方向不斷噴出速度很大的氣體，使火箭獲得很大的動量，從而獲得巨大的前進(jìn)速度。火箭的飛行不需要空氣的作用，它自身帶有助燃室，因此可以在空氣稀薄的高空或外層空間飛行。為簡單起見，設(shè)火箭在自由空間飛行，即它不受引力及空氣阻力等任何外力的影響。因?yàn)榛鸺亲冑|(zhì)量系統(tǒng)，不同時刻質(zhì)量不同，噴出氣體的速度不同，故不能從過程的始末狀態(tài)來考慮，只能從到時刻的元過程來分析。把某時刻的火箭(包括火箭體和尚存的燃料等)

8、作為研究對象，設(shè)時刻，總質(zhì)量為，速度為。經(jīng)過d時間，由于火箭噴出氣體，箭體的速度增加為，火箭體的質(zhì)量變?yōu)?由于火箭體的質(zhì)量減小，故為負(fù)值)。時間內(nèi)噴出氣體質(zhì)量為，其噴出時相對于火箭體的速度為，根據(jù)動量守恒定律，有展開此等式，并略去二階無窮小量，可得設(shè)火箭點(diǎn)火時，其質(zhì)量為，初速度為，燃料燒完后，火箭質(zhì)量為，速度為，則對上式積分，有由此得此式表明，火箭在燃燒后所增加的速度和噴氣速度成正比，也和火箭始末質(zhì)量比的自然對數(shù)成正比，這結(jié)論給出了提高火箭速度的方法。 在目前的技術(shù)條件下，一般火箭的噴氣速度可達(dá)到2500m·s-1左右，比如要使火箭的速度達(dá)到7900 m·s-1，根據(jù)上式計

9、算所需的質(zhì)量比為24，即1噸重的火箭必須載23噸重的燃料，這在目前的技術(shù)條件下是困難的，一般的火箭的質(zhì)量比能達(dá)到6左右。為了使火箭獲得高速度，現(xiàn)在采用多級火箭。一級的燃料用完時，殼體將自行脫落，隨之第二級火箭將被點(diǎn)燃。以此下去，火箭最后將獲得很大的速度。以三級火箭為例，設(shè)三級火箭質(zhì)量比分別為。第一級的初速度為零，第一級脫落時末速度為，第二級脫落時末速度為，最后速度為，仍設(shè)火箭噴出的氣體相對于火箭體的速度為，則有三式相加，則由于質(zhì)量比大于1，因而火箭級數(shù)越多，最后獲得的速度越高。當(dāng)然，實(shí)際中由于空氣阻力和地球引力的影響，最后達(dá)到的速度比理論計算值要低。§7-2動量守恒和空間平移對稱性7

10、.2.1對稱性1、什么是對稱性在千變?nèi)f化的物質(zhì)世界中，存在著一類普遍具有的特性，那就是對稱性，如：人的身體、植物的枝葉、潔白的雪花、蝴蝶的翅膀、晶體的結(jié)構(gòu)等等，舉不勝數(shù)。對稱就是美，這已成了很多人的共識，見圖7-2-1。 （a）樹葉 （b）蝴蝶 （c）NaCl晶體圖7-2-1 自然界表現(xiàn)出的對稱性那么，對稱的概念到底是什么？對稱性的定義：如果某個體系（即研究對象）經(jīng)某種操作（或稱變換）后，其前后狀態(tài)等價（相同），則稱該體系對此操作具有對稱性，相應(yīng)的操作稱為對稱操作。簡言之，對稱性就是某種變換下的不變性。例如：如果把球繞通過球心的任意軸旋轉(zhuǎn)一下，球就處于不同的狀態(tài)，但這些不同的狀態(tài)沒有任何區(qū)別，

11、都是相同的，旋轉(zhuǎn)是一種操作，因此我們說球具有旋轉(zhuǎn)對稱性。又如：我們站在鏡子面前，鏡子反射的像與我們一模一樣，反射就是一種操作，我們及像具有“鏡面反射對稱”，簡稱鏡面對稱。在物理學(xué)中，存在著兩類不同性質(zhì)的對稱性，一類是某個系統(tǒng)或者某件具體事物的對稱性，在前邊敘述的那些對稱性即為此類。另一類是物理規(guī)律的對稱性。物理規(guī)律的對稱性是指經(jīng)過一定的操作后，物理規(guī)律的形式不變。比如：牛頓定律在伽利略時空變換式下保持形式不變就是這一類。由于變換或說操作的方式不同，可以有各種不同的對稱性。最常見的的對稱操作是時空對稱操作，相應(yīng)的對稱性稱為時空對稱性。時空對稱操作可分為：空間操作，如空間平移、轉(zhuǎn)動、鏡面反射等；時

12、間操作，如時間平移、時間反演等；時空聯(lián)合操作，如伽利略時空變換、洛倫茲時空變換等。2、對稱性原理自然規(guī)律反映了事物之間的“因果關(guān)系”，就是在一定的條件（原因）下會出現(xiàn)一定的現(xiàn)象（結(jié)果）。因果之間規(guī)律性的聯(lián)系體現(xiàn)為可重復(fù)性和預(yù)見性，也就是說相同（或等價）的原因必定產(chǎn)生相同（或等價）的結(jié)果。用對稱性的語言來表述這個結(jié)論就給出了對稱性原理。原理的內(nèi)容：原因中的對稱性必然反映在結(jié)果中，結(jié)果中的對稱性至少和原因中的對稱性一樣多；結(jié)果的不對稱性必然出自原因中的不對稱性，原因中的不對稱性至少和結(jié)果中的不對稱性一樣多。對稱性原理是自然界的一條基本原理，有時，在不知道某些具體物理規(guī)律的情況下，我們可以根據(jù)對稱性

13、原理進(jìn)行分析，對問題給出定性或半定量的結(jié)果。在下邊即將介紹空間平移對稱性與動量守恒，在§8.2介紹空間旋轉(zhuǎn)對稱性與角動量守恒，在§9.4介紹時間平移對稱性與能量守恒。3、空間平移空間平移是指對位矢作的變換，相應(yīng)的對稱性稱之為“平移對稱性”。例如，一個不帶任何標(biāo)記的無限大平面，對沿平面的任意平移具有對稱性，而當(dāng)此平面上均勻布滿方格時，則對沿平面的特定方位（如邊長或?qū)蔷€方位）平移某個長度的整數(shù)倍具有對稱性。7.2.2動量守恒和空間平移對稱性在物理學(xué)中，在平直空間的條件下，我們始終承認(rèn)和應(yīng)用著另一條假定，即空間的均勻性。這就是說，空間各處的性質(zhì)是相同的，空間各處發(fā)生的物理現(xiàn)象服

14、從相同的規(guī)律。比如說，當(dāng)年牛頓在英國得出了牛頓第二定律，由物體受力可以計算出它的加速度，在今天的中國和世界其他各地，遵從這一規(guī)律的精確程度沒有絲毫的差異。伽利略當(dāng)年在意大利得出的自由落體規(guī)律，在世界各地都同樣適用。如果物理?xiàng)l件相同，同一物理實(shí)驗(yàn)無論放在什么地方做，都會得到相同的結(jié)果?？臻g的均勻性意味著，當(dāng)用坐標(biāo)及運(yùn)動方程表示物體運(yùn)動時，移動坐標(biāo)原點(diǎn)，物理規(guī)律(表現(xiàn)為運(yùn)動方程)的形式不會改變，也就是說，物理規(guī)律對于坐標(biāo)平移變換具有不變性。這種不變性表明，空間中的所有點(diǎn)是完全等價的，物理規(guī)律對于空間各點(diǎn)都是一樣的?？紤]由一對相互作用的質(zhì)點(diǎn)、組成的系統(tǒng)，采用兩種方式改變其狀態(tài)：（1）不動，平移至，相互作用勢能增量（反抗對的力做功），狀態(tài)由。（2）不動，平移至，相互作用勢能增量（反抗對的力做功），狀態(tài)由，如圖7-2-2示。 圖7-2-2因?yàn)楹褪莾蓚€空間平移狀態(tài)，它們的相對位置是一樣的?？臻g均勻性，即空間平移不變性意味著，兩質(zhì)點(diǎn)間的相互作用勢能僅與它們的相對位置有關(guān)，與它們在空間的平移無關(guān)，因此有。由此可得，根據(jù)力等于動量變化率的定義，可得兩質(zhì)點(diǎn)的動量，即體系的動量守恒?？臻g均勻性或說空間平移對