自動(dòng)控制原理C-課件-ch2

1、1/11/20221第二章 數(shù)學(xué)模型一、控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程二、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化三、拉氏變換和拉氏反變換四、傳遞函數(shù)五、系統(tǒng)方框圖和信號流圖六、控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)舉例七、小結(jié)、數(shù)學(xué)模型的基本概念第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/20222、數(shù)學(xué)模型的基本概念l 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/20223l 建立數(shù)學(xué)模型

2、的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法 解析法 實(shí)驗(yàn)法 依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對模型的簡潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。應(yīng)對模型的簡潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/20224被控對象被控對象執(zhí)行器執(zhí)行器傳感器傳感器干擾干擾對控制系統(tǒng)的哪些部分建模對控制系統(tǒng)的哪些部分建模建模的三個(gè)要素建模的三個(gè)要素建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型獲取參數(shù)獲取參數(shù)驗(yàn)證模型驗(yàn)證模型被控對象

3、被控對象傳感傳感(感知感知)控制器控制器目標(biāo)任務(wù)目標(biāo)任務(wù)執(zhí)行器執(zhí)行器干擾干擾/破壞破壞干擾干擾/破壞破壞干擾干擾/破壞破壞干擾干擾/破壞破壞第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/20225建模方法建模方法系統(tǒng)辨識法系統(tǒng)辨識法給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性近系統(tǒng)的輸入輸出特性微分方程微分方程自然科學(xué)定理自然科學(xué)定理 基爾霍夫定律（電學(xué)）基爾霍夫定律（電學(xué)）牛頓定律（力學(xué)）牛頓定律（力學(xué)） 熱力學(xué)定律（熱力學(xué)）熱力學(xué)定律（熱力學(xué)）機(jī)理分析法：能量機(jī)理分析法：能量/物質(zhì)平衡原理物質(zhì)平衡原理第二章 數(shù)學(xué)模

4、型1/11/20226l 數(shù)學(xué)模型的形式數(shù)學(xué)模型的形式 時(shí)間域：微分方程（一階微分方程組）、差 分方程、狀態(tài)方程 復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖 頻率域：頻率特性 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/20227一、控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程l 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟 分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程， 確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量； 從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依 據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各 元件、部件的動(dòng)態(tài)微分方程； 消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、 輸出變量之間關(guān)系的微分方程； 標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/20228l

5、控制系統(tǒng)微分方程的列寫控制系統(tǒng)微分方程的列寫 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素： 質(zhì)量mfm(t)參考點(diǎn)x (t)v (t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/20229 彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202210 阻尼dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()()()()()(2121CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t

6、)第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202211q 機(jī)械平移系統(tǒng))()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCimmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fC(t)靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202212)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo式中，m、C、K通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。第二章 數(shù)學(xué)模型顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。 1/

7、11/202213q 彈簧阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為一階常系數(shù)微分方程。 )()()(tftKxtxdtdCioo)()()(tftftfKCi第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202214 電氣系統(tǒng) 電阻)()(tRitu電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202215 電容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t) 電感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202216dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(q R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)第二章 數(shù)學(xué)模

8、型LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)1/11/202217一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若L=0，則系統(tǒng)簡化為：)()()(tututudtdRCioo第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202218 小結(jié) 物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模 型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一 方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方 法） 。 從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下， 數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出 響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行實(shí)驗(yàn) 模擬的基礎(chǔ)； 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/20

9、2219 通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等 于元件或系統(tǒng)中所包含的獨(dú)立儲(chǔ)能元（慣性 質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容 等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能 元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決 于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202220確定模型參數(shù)確定模型參數(shù) 參數(shù)計(jì)算、測量參數(shù)計(jì)算、測量如：電阻、電感，車輛的幾何參數(shù)等如：電阻、電感，車輛的幾何參數(shù)等 參數(shù)辨識參數(shù)辨識1/11/202221模型驗(yàn)證模型驗(yàn)證 通過仿真驗(yàn)證和修改系統(tǒng)設(shè)計(jì)通過仿真驗(yàn)證和修改系統(tǒng)設(shè)計(jì)模型驗(yàn)證模型驗(yàn)證Model仿真結(jié)果是否可信？仿真結(jié)果是否可信

10、？1/11/202222Plant 脈沖響應(yīng)模型的建立與驗(yàn)?zāi)Ｃ}沖響應(yīng)模型的建立與驗(yàn)?zāi)?脈沖響應(yīng)模型描述脈沖響應(yīng)模型描述 建模實(shí)例建模實(shí)例Plant待確定的脈待確定的脈沖響應(yīng)系數(shù)沖響應(yīng)系數(shù) 脈沖響應(yīng)系數(shù)獲取脈沖響應(yīng)系數(shù)獲取模型驗(yàn)證模型驗(yàn)證 1/11/202223脈沖響應(yīng)曲線脈沖響應(yīng)曲線模型驗(yàn)證模型驗(yàn)證脈沖響應(yīng)系數(shù)脈沖響應(yīng)系數(shù)模型驗(yàn)證模型驗(yàn)證 1/11/202224 設(shè)計(jì)控制器模型設(shè)計(jì)控制器模型 仿真仿真 驗(yàn)證控制器的模型驗(yàn)證控制器的模型 真真 真真 真真 被控對象被控對象傳感傳感(感知感知)控制器控制器目標(biāo)任務(wù)目標(biāo)任務(wù)執(zhí)行器執(zhí)行器干擾干擾/破壞破壞干擾干擾/破壞破壞干擾干擾/破壞破壞干擾干擾/破

11、壞破壞1/11/202225 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)； q 線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：)()(xfxf 齊次性：)()()(2121xfxfxxf或：第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202226用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。q 非線性系統(tǒng)為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。 實(shí)際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202227 液體系統(tǒng)

12、節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，通過節(jié)流閥的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱體截面積；第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202228)()()(tqtHtHdtdAi上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。 ：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)，為常數(shù)。第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202229q 線性系統(tǒng)微分方程的一般形式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)，mn。 )()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbt

13、xatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202230二、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化l 線性化問題的提出線性化問題的提出 線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系 統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性 微分方程進(jìn)行處理。 非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻 尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由 于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有 鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202231 線性化的提出q 線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作 范圍內(nèi)具有線性特性； q 非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的；

14、q 對于實(shí)際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用線 性化模型近似代替非線性模型進(jìn)行處理，能 夠滿足實(shí)際需要。 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202232l 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 泰勒級數(shù)展開法 函數(shù)y=f(x)在其平衡點(diǎn)（x0, y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為： 3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202233)()()(000 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的項(xiàng)，則：0)(xxdxxdfK或：y - y0 = y = Kx，

15、其中：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0 = f (x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202234增量方程的數(shù)學(xué)含義就是將參考坐標(biāo)的原點(diǎn)移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點(diǎn)上，對于實(shí)際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的起始點(diǎn)，這時(shí)，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。 對多變量系統(tǒng)，如：y = f (x1, x2)，同樣可采用泰勒級數(shù)展開獲得線性化的增量方程。 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202235)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy增量方程：),(20100 xxfy 靜態(tài)方程：20

16、21012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202236 滑動(dòng)線性化切線法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非線性關(guān)系線性化A線性化增量增量方程為：y y =xtg切線法是泰勒級數(shù)法的特例。第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202237l 系統(tǒng)線性化微分方程的建立系統(tǒng)線性化微分方程的建立 步驟 q 確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點(diǎn)； q 列出各組成元件在工作點(diǎn)附近的增量方程； q 消除中間變量，得到以增量表示的線性化微 分方程； 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202238 實(shí)例：液位系統(tǒng)的線性化 )()()(tqtHtHdtdAi20022000)(!

17、21)(HHHdHHdHHHdHHdHH0000,ioiqHqq解解：穩(wěn)態(tài)時(shí)：)(tH非線性項(xiàng)的泰勒展開為：第二章 數(shù)學(xué)模型節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)1/11/202239HHHHHHdHHdHH0000021)(則：iiqqHHHHHdtdA000021)(由于：注意到：HdtdHHdtd)(0第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202240)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi實(shí)際使用中，常略去增量符號而寫成：)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：此時(shí)，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點(diǎn)的增量。第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202241l 線性化處理的注

18、意事項(xiàng)線性化處理的注意事項(xiàng) 線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)； 線性化是有條件的，必須注意線性化方程適 用的工作范圍； 某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間 隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不 能通過泰勒展開進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對 系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作 為非線性問題處理。 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202242inout0近似特性曲線真實(shí)特性飽和非線性inout0死區(qū)非線性inout0繼電器非線性inout0間隙非線性第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202243三、拉氏變換和拉氏反變換l 拉氏變換拉氏變換 設(shè)函數(shù)f(t) (t0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實(shí)

19、常數(shù)，使得：0)(limtfett則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實(shí)數(shù)）；0)()()(dtetftfLsFst第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/2022440dtest稱為拉普拉氏積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號。l 拉氏反變換拉氏反變換 0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjstL1為拉氏反變換的符號。第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202245l 幾種典型函數(shù)的拉氏變換幾種典型函數(shù)的拉氏變換 q 單位階躍函數(shù)1(t) 10tf(t)單位階躍函數(shù)0100)( 1ttt)0

20、)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLstst第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202246q 指數(shù)函數(shù)atetf)(（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1)0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202247q 正弦函數(shù)與余弦函數(shù) 正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由歐拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/2022480)Re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtLs

21、ttjsttj從而：22cossstL同理：第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202249q 單位脈沖函數(shù)(t) 0tf(t)單位脈沖函數(shù)1)0(1lim)0(0)(0tttt且)1 (1lim1lim)(000sstesdtetL)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必達(dá)法則：1lim)(0setL所以：第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202250q 單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)） 10tf(t)單位速度函數(shù)1000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202251q 單位加速度函數(shù)02100)(2ttttf0)Re(121)

22、(302ssdtettfLst單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202252l 拉氏變換積分下限的說明拉氏變換積分下限的說明 在某些情況下，函數(shù)f(t)在t0處有一個(gè)脈沖函數(shù)。這時(shí)必須明確拉氏變換的積分下限是0還是0+，并相應(yīng)記為：0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202253l 拉氏變換的主要定理拉氏變換的主要定理 疊加定理 q 齊次性：Laf(t)=aLf(t)，a為常數(shù)；q 疊加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf

23、1(t)+bLf2(t) a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202254 微分定理 0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfL00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst證明證明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202255)0()()(fssFdttdfL所以：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同樣有：式中，f (0)，f (0)，為函數(shù)f(t)的各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值。第二章 數(shù)學(xué)模型1/11

24、/202256)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202257 積分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL當(dāng)初始條件為零時(shí)：若f(0+) f(0)，則：sfssFdttfLsfssFdttfL)0()()()0()()()1()1(第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202258證明證明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)

25、(10)(1dtetfstdttfsst第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202259)(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL同樣：當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202260 延遲定理 )()(sFetfLs設(shè)當(dāng)t0時(shí)，f(t)=0，則對任意0，有：函數(shù) f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202261 位移定理 )()(asFtfeLat例：2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202262 初值定理 證明證明

26、：)(lim)0()(lim0ssFftfst初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。 0)0()(lim)(lim)(lim0fssFdtedttdfdttdfLsstss)(lim)0(ssFfs即：第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202263 終值定理 )(lim)()(lim0ssFftfst若sF(s)的所有極點(diǎn)位于左半s平面， 即：)(limtft存在。則：第二章 數(shù)學(xué)模型證明證明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssFfssFdttdfLsss1/11/202264終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時(shí)的初

27、值相同。)(lim)(0ssFfs第二章 數(shù)學(xué)模型)0()()()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdfLstss又由于：)0()(lim)0()(0fssFffs即：1/11/202265 卷積定理 )()()()(sGsFtgtfLttdtgfdgtftgtf00)()()()()(*)(若t p=1 -12 0 25 126p = 1 -12 0 25 126第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202287用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項(xiàng)式，即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 anMATLAB提供函數(shù)residue用于實(shí)現(xiàn)部分分

28、式展開，其句法為：r, p, k = residue(num, den)其中，r, p分別為展開后的留數(shù)及極點(diǎn)構(gòu)成的列向量、k為余項(xiàng)多項(xiàng)式行向量。第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202288若無重極點(diǎn)，MATLAB展開后的一般形式為：)()()()2() 1 () 1 () 1 ()(sKnpsnrpsrpsrsF若存在q重極點(diǎn)p(j)，展開式將包括下列各項(xiàng)：qjpsqjrjpsjrjpsjr)()1()()1()()(2第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202289例例：求的部分分式展開。2450351026523911)(234234sssssssssF num=1 11 39 52 26; den=1

29、 10 35 50 24; r,p,k=residue(num,den)r = 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000k = 1展開式為：115 . 02335 . 241)(sssssF第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202290例例：求的部分分式展開。27956510)(23425ssssssssF num=1 0 0 10 5 6; den=1 5 9 7 2; r,p,k=residue(num,den)r = -4.0000 20.0000 -20.0000 10.0000p = -2.0000 -1.

30、0000 -1.0000 -1.0000k = 1 -5展開式為：5) 1(10) 1(2012024)(32ssssssF第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202291num, den = residue(r, p, k)函數(shù) residue 也可用于將部分分式合并，其句法為： r = 1 2 3 4; p = -1 -2 -3 -4; k = 0; num, den = residue(r, p, k)num = 10 70 150 96den = 1 10 35 50 24例例：24503510961507010)(23423ssssssssF第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202292l 應(yīng)用拉氏變

31、換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟q 將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方 程； q 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表 達(dá)式；q 應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。 第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202293原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202294 實(shí)例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi (t) =1(t)，初始條件分別為xo(0)、xo(0)，試求xo(t)。解解：對微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換： )0()0()

32、()(222ooooxsxsXsdttxdL第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202295)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoo第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202296stLsXtxLii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo對方程右邊進(jìn)行拉氏變換：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2從而：第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/20229761065121sssA212)

33、3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB第二章 數(shù)學(xué)模型1/11/202298) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏變換表得：當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章 數(shù)學(xué)模型零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)1/11/202299q 應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初始 條件已自動(dòng)地包含在微

34、分方程的拉氏變換式 中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù) 的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏 變換可以簡單地用sn代替dn/dtn得到。 由上述實(shí)例可見：第二章 數(shù)學(xué)模型q 系統(tǒng)響應(yīng)可分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸 入響應(yīng) 1/11/2022100作業(yè)：2-3（3, 7, 8, 13, 17） 2-4 (2, 3) 1/11/2022101四、傳遞函數(shù)l 傳遞函數(shù)的概念和定義傳遞函數(shù)的概念和定義 傳遞函數(shù) 第二章 數(shù)學(xué)模型在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。 零初始條件：q t0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；q

35、輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工 作狀態(tài)，即t 0 時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也 均為0；1/11/2022102第二章 數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)求解示例 q 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù) )()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsKXsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：1/11/2022103第二章 數(shù)學(xué)模型q R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsio

36、oo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：1/11/2022104第二章 數(shù)學(xué)模型q 幾點(diǎn)結(jié)論 傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型， 其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)， 與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。 若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函 數(shù)G(s) 決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的 固有動(dòng)態(tài)特性。 傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān) 系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的 輸入輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。 1/11/2022105第二章 數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxd

37、tdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考慮線性定常系統(tǒng)當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：1/11/2022106第二章 數(shù)學(xué)模型mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)(令：)()()()()(sNsMsXsXsGio則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。l 特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)特征方程、

38、零點(diǎn)和極點(diǎn) 特征方程1/11/2022107第二章 數(shù)學(xué)模型式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當(dāng)s=0時(shí)： G(0)=bm/an=K從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此K 反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比值。 1/11/2022108第二章 數(shù)學(xué)模型 零點(diǎn)和極點(diǎn) )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG將G(s)寫成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, , n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1

39、, 2, , m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。1/11/2022109第二章 數(shù)學(xué)模型 零、極點(diǎn)分布圖 將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點(diǎn)分布圖0 12312-1-2-3-1-2j1/11/2022110第二章 數(shù)學(xué)模型l 傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明 傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常 系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函 數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)； 傳遞函數(shù)是 s 的復(fù)

40、變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各 項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對應(yīng)相 等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)； 1/11/2022111第二章 數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零 時(shí)刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點(diǎn)處于 相對靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能 反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律； 傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系， 無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。 一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對一個(gè)輸出 的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。 1/11/2022112第二章 數(shù)學(xué)模型l 脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù) 初始條件為0時(shí)，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為：)()(

41、)()(sGsXsGsY即：)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的相同信息。1/11/2022113第二章 數(shù)學(xué)模型l 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 環(huán)節(jié) 具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。 任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。 1/11/2022114第二章 數(shù)學(xué)模型 環(huán)節(jié)的分類 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG假設(shè)系統(tǒng)有b個(gè)實(shí)零點(diǎn)，c 對復(fù)零點(diǎn)，d 個(gè)實(shí)極點(diǎn)，e

42、對復(fù)極點(diǎn)和v個(gè)零極點(diǎn)，由線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表達(dá)式：可見：b+2c = m v+d+2e = n1/11/2022115第二章 數(shù)學(xué)模型iiiiiisszs1),1(1jjjjjjTsTTsps1),1(1對于實(shí)零點(diǎn)zi=i和實(shí)極點(diǎn)pj=j ，其因式可以變換成如下形式：1/11/2022116第二章 數(shù)學(xué)模型) 12(12)()(2222221ssssjsjszszs對于復(fù)零點(diǎn)對z=+j和z+1= j ，其因式可以變換成如下形式：2222,1式中，1/11/2022117第二章 數(shù)學(xué)模型對于復(fù)極點(diǎn)對pk=k+jk和pk+1=k jk ，其因式可以變換成如下形式：) 12(1 2 )()(

43、2222221sTsTTssjsjspspskkkkkkkkkkkkk2222,1kkkkkkkT式中，1/11/2022118第二章 數(shù)學(xué)模型ekkkkdjjvcbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(于是，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成：ekkdjjcbiiTTabK1211210011式中，為系統(tǒng)放大倍數(shù)。1/11/2022119第二章 數(shù)學(xué)模型121,11,1, 12, 1,2222TssTTsssssK由上式可見，傳遞函數(shù)表達(dá)式包含六種不同的因子，即：一般，任何線性系統(tǒng)都可以看作是由上述六種因子表示的典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合。上述六種典型環(huán)節(jié)分別稱為

44、：典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)1/11/2022120第二章 數(shù)學(xué)模型比例環(huán)節(jié)：K一階微分環(huán)節(jié)：s+11222ss二階微分環(huán)節(jié)：s1積分環(huán)節(jié)：11Ts慣性環(huán)節(jié)：12122TssT振蕩環(huán)節(jié)：1/11/2022121第二章 數(shù)學(xué)模型)()(sXesXiso實(shí)際系統(tǒng)中還存在純時(shí)間延遲現(xiàn)象，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，但延遲了時(shí)間，即xo(t)=xi(t-)，此時(shí)：sesG)(或：se因此，除了上述六種典型環(huán)節(jié)外，還有一類典型環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié) 。1/11/2022122第二章 數(shù)學(xué)模型)()(sXesXiso實(shí)際系統(tǒng)中還存在純時(shí)間延遲現(xiàn)象，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，但延遲了時(shí)間，即xo(t)=xi(t-)，此時(shí)：sesG)(或：se因

45、此，除了上述六種典型環(huán)節(jié)外，還有一類典型環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié) 。1/11/2022123第二章 數(shù)學(xué)模型 典型環(huán)節(jié)示例 q 比例環(huán)節(jié) 輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。其運(yùn)動(dòng)方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。1/11/2022124第二章 數(shù)學(xué)模型KsXsXsGio)()()(比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動(dòng)副R2R1ui(t)uo(t)運(yùn)算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(1/11/2022125第二章 數(shù)學(xué)模型q 慣性環(huán)節(jié) )(

46、)()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為： T時(shí)間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和 環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)式中，K環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；1/11/2022126第二章 數(shù)學(xué)模型)()()(tKxtKxdttdxCiooKCTTskCsKsG,11)(如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KC1/11/2022127第二章 數(shù)學(xué)模型q 微分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量的微分。dttdxtxio)()(運(yùn)動(dòng)方程為：ssXsXsGio)()()(傳遞函數(shù)為：式中，微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)

47、不獨(dú)立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。1/11/2022128第二章 數(shù)學(xué)模型dttdKtuito)()(sKssUsGtio)()()(如：測速發(fā)電機(jī)uo(t) i (t)測 速 發(fā) 電 機(jī)式中， Kt為電機(jī)常數(shù)。 無負(fù)載時(shí)：1/11/2022129第二章 數(shù)學(xué)模型RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網(wǎng)絡(luò)無源微分網(wǎng)絡(luò) RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(顯然，無源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當(dāng)|Ts|1時(shí)，才近似為微分環(huán)節(jié)。 1/11/2022130第二章 數(shù)學(xué)模型) 1()()()(sKsXsXsG

48、io除了上述純微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢的預(yù)告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。1/11/2022131第二章 數(shù)學(xué)模型q 積分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量對時(shí)間的積分。 tiodttxTtx0)(1)(運(yùn)動(dòng)方程為：TssXsXsGio1)()()(傳遞函數(shù)為：式中，T積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。1/11/2022132第二章 數(shù)學(xué)模型AtTAdtTtxto11)(0積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)： 輸出量取決于輸入量對時(shí)間的積累過程。 且具有記憶功能； 具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)

49、性能。如當(dāng)輸入量為常值 A 時(shí)，由于：輸出量須經(jīng)過時(shí)間T才能達(dá)到輸入量在t = 0時(shí)的值A(chǔ)。1/11/2022133第二章 數(shù)學(xué)模型q 振蕩環(huán)節(jié) 含有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，且所存儲(chǔ)的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)方程為： 10),()()(2)(222tKxtxtxdtdTtxdtdTiooo12)()()(22TssTKsXsXsGio傳遞函數(shù)：1/11/2022134第二章 數(shù)學(xué)模型式中，T振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) 阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，01 K比例系數(shù)TsssGnnnn1,2)(222振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標(biāo)準(zhǔn)形式為（K=1）：n稱為無阻尼固有頻率。1/11/202213

50、5第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo12/11)(222TssTKKCsmssG如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：mKCKmT2,式中，mkC2當(dāng)時(shí)，為振蕩環(huán)節(jié)。1/11/2022136第二章 數(shù)學(xué)模型q 二階微分環(huán)節(jié) 式中，時(shí)間常數(shù) 阻尼比，對于二階微分環(huán)節(jié)，01 K比例系數(shù) 10,)()(2)()(222txtxdtdtxdtdKtxiiio運(yùn)動(dòng)方程：12)(22ssKsG傳遞函數(shù)：1/11/2022137第二章 數(shù)學(xué)模型q 延遲環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就已有輸出，僅 由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要 求的輸出值；)()(txtxio

51、運(yùn)動(dòng)方程：sesG)(傳遞函數(shù)：式中，為純延遲時(shí)間。 延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 時(shí)間內(nèi), 沒有輸出，但t=之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：1/11/2022138第二章 數(shù)學(xué)模型ALvhi(t)ho(t)軋制鋼板厚度測量vLththio)()(1/11/2022139第二章 數(shù)學(xué)模型 小結(jié) q 環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的 物理裝置或元件；q 一個(gè)環(huán)節(jié)往往由幾個(gè)元件之間的運(yùn)動(dòng)特性 共同組成；q 同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸 出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。 1/11/2022140第二章 數(shù)學(xué)模型五、系統(tǒng)方框圖和信號流圖l 系統(tǒng)方框圖系統(tǒng)方框圖 系統(tǒng)

52、方框圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式?？梢孕蜗笾庇^地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式相同，其方框圖也不一定相同。1/11/2022141第二章 數(shù)學(xué)模型 方框圖的結(jié)構(gòu)要素 q 信號線 帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標(biāo)記信號的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。X(s), x(t)信號線1/11/2022142第二章 數(shù)學(xué)模型q 信號引出點(diǎn)（線） 表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。 同一信號線上引出的信號，其性質(zhì)、大小完全一樣。 引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)1/11/2022143第二章 數(shù)學(xué)模型q 函數(shù)方框

53、(環(huán)節(jié)) G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方框函數(shù)方框具有運(yùn)算功能，即： X2(s)=G(s)X1(s) 傳遞函數(shù)的圖解表示。1/11/2022144第二章 數(shù)學(xué)模型q 求和點(diǎn)（比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)）信號之間代數(shù)加減運(yùn)算的圖解。用符號“ ”及相應(yīng)的信號箭頭表示，每個(gè)箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號。 相鄰求和點(diǎn)可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律。 X1(s)X2(s)X1(s)X2(s) 1/11/2022145第二章 數(shù)學(xué)模型ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的。 1/11/20221

54、46第二章 數(shù)學(xué)模型R1Cs1求和點(diǎn)函數(shù)方框函數(shù)方框引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數(shù)方框、信號引出點(diǎn)及求和點(diǎn)組成的方框圖來表示。 1/11/2022147第二章 數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)方框圖的建立 q 步驟 建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號 的因果關(guān)系（輸入/輸出）。 對上述微分方程進(jìn)行拉氏變換，繪制各部 件的方框圖。 按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依 次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng) 的方框圖。 1/11/2022148第二章 數(shù)學(xué)模型q 示例 RCui(t)uo(t)i(t)無源RC電路網(wǎng)絡(luò) 無源RC網(wǎng)絡(luò) )()()(tututRioid

55、ttiCtuo)(1)()(1)()()()(sICssUsUsUsRIooi拉氏變換得：)(1)()()(1)(sICssUsUsURsIooi1/11/2022149第二章 數(shù)學(xué)模型從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖。 R1Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)()(1)(sUsURsIoi(a)Cs1Uo(s)I(s)(1)(sICssUo(b)1/11/2022150第二章 數(shù)學(xué)模型R1Cs1Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)無源RC電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)方框圖1/11/2022151 機(jī)械系統(tǒng) 第二章 數(shù)學(xué)模型m1fi(t)K1C x(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2f

56、m1fm2fC1/11/2022152第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()(11tftftftxmKCi )()()(11txtxKtfoKdttdxdttdxCtfoC)()()()()()()(212tftftftxmKCKo )()(22txKtfoKm1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fCx(t)0 xo(t)01/11/2022153第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()()(1)()()()()()()()()()(1)(22212122111sXKsFsFsFsFsmsXsXsXCssFsXsXKsFsFsFsFsmsXoKKCKooCoKKCi1/11/2022154第二章 數(shù)學(xué)模型2

57、11smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)()()(1)(121sFsFsFsmsXKCiK1X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)()()(11sXsXKsFoK)()()(sXsXCssFoC1/11/2022155第二章 數(shù)學(xué)模型221smXo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s) (c)()()(1)(2122sFsFsFsmsXKCKoK2Xo(s)FK2(s)(d)()(22sXKsFoK1/11/2022156第二章 數(shù)學(xué)模型211smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)221smXo(s)FK2(s) K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2機(jī)

58、械系統(tǒng)方框圖1/11/2022157第二章 數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)方框圖的簡化 q 方框圖的運(yùn)算法則 串聯(lián)連接 G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s).G(s)=G1(s) G2(s) Gn(s)Xi(s)Xo(s)1/11/2022158第二章 數(shù)學(xué)模型 并聯(lián)連接 Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)+Gn(s).Xi(s)Xo(s)G1(s)+ G2(s)+ + Gn(s)1/11/2022159第二章 數(shù)學(xué)模型 反饋連接 G(s)H(s)Xi(s)Xo(s) B(s)E(s)()()()()()()()()(sXsHsBsBsXsEsEsGsX

59、oio)()(1)()()()(sHsGsGsXsXsioXi(s)Xo(s)()(1)(sHsGsG1/11/2022160第二章 數(shù)學(xué)模型q 方框圖的等效變換法則 求和點(diǎn)的移動(dòng) G(s)ABC求和點(diǎn)后移G(s)ABC求和點(diǎn)前移G(s)ABCG(s)G(s)ABC)(1sG1/11/2022161第二章 數(shù)學(xué)模型 引出點(diǎn)的移動(dòng) 引出點(diǎn)前移G(s)ACC引出點(diǎn)后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)AC)(1sGA1/11/2022162第二章 數(shù)學(xué)模型q 由方框圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 基本思路：利用等效變換法則，移動(dòng)求和點(diǎn)和引出點(diǎn)，消去交叉回路，變換成可以運(yùn)算的簡單回路。 1/11/202

60、2163第二章 數(shù)學(xué)模型例：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A1/11/2022164第二章 數(shù)學(xué)模型H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)解解：1、A點(diǎn)前移；1/11/2022165第二章 數(shù)學(xué)模型2、消去H2(s)G3(s)反饋回路)()()(1)()()(232321sHsGsGsGsGsGH1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)1/11/2022166第二章 數(shù)學(xué)模型)()()()()()()()()()(1)()()(3321232