高考數(shù)學《坐標系與參數(shù)方程》專項練習(含答案)

1、坐標系與參數(shù)方程專項練習一、知識梳理1極坐標與直角坐標的互化設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(，)，則它們之間的關系為：（1），（2）2參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程的常用方法（1）代入法/加減法消參（2）借助三角恒等式sin2cos21（為參數(shù)）消參3直角坐標方程，極坐標方程和參數(shù)方程的轉化關系極坐標方程(，)直角坐標方程(普通方程)(x，y)參數(shù)方程(t為參數(shù))二、練習專項【題型1】極坐標方程直角坐標方程參數(shù)方程直角坐標方程1（2016全國卷，文科23，10分）在直線坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲

2、線C2的極坐標方程為sin()2（）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；（）設點P在C1上，點Q在C2上，求PQ的最小值及此時P的直角坐標解：（）由消去參數(shù)得1分（此處為消參的計算過程，可省略）變形得兩邊平方，得，得y21C1的普通方程為y212分sin()2(sincoscossin)23分(sincos)2sincos2sincos44分cosx，sinyxy45分（）由題意，可設點P的直角坐標為6分C2是直線的最小值即為P到C2的距離的最小值8分當且僅當時，取得最小值，最小值為9分此時P的直角坐標為10分2（2009全國卷，文/理23，10分）已知曲線C1：（t為參數(shù)），C2：（為參

3、數(shù)）（）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（）若C1上的點P對應的參數(shù)為t，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：（t為參數(shù)）距離的最小值解：（）由C1：消去參數(shù)t得1分（此處為消參的計算過程，可省略）變形得兩邊平方，得，得(x4)2(y3)21C1的普通方程為(x4)2(y3)212分C1為圓心是(4，3)，半徑是1的圓由C2：消去參數(shù)得1分（此處為消參的計算過程，可省略）變形得兩邊平方，得，得1C2的普通方程為12分C2為焦點在x軸上的橢圓（）當時，故為直線M到的距離從而當時，取得最小值【題型2】直角坐標方程極坐標方程直角坐標方程參數(shù)方程3（2016全國卷，文科

4、23，10分）在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x6)2y225（）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；（）直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|求l的斜率解：（）由圓C的方程可得1分x212x36y225x2y212x1102分把x2y22，xcos代入上式得3分212cos1104分圓C的極坐標方程為212cos1105分（）在（）中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為(R)由A，B所對應的極徑分別為1，28分將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得212cos1107分于是8分由|AB|得9分l的斜率為或10分4（2015全國卷，文/

5、理23，10分）在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系（）求C1，C2的極坐標方程；（）若直線C3的極坐標方程為(R)，設C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積解：（）把xcos代入C1：x2得cos21分C1的極坐標方程為cos22分由C2：(x1)2(y2)21得(x22x1)(y24y4)1x2y22x4y141x2y22x4y403分把2x2y2，xcos，ysin代入上式得4分C2的極坐標方程為22cos4sin405分（）將4代入22cos4sin40，得232406分解得122，227分故122，

6、即|MN|28分由于C2的半徑為1C2MN的面積為1210分5（2014全國卷，文/理23，10分）已知曲線C：，直線l：(t為參數(shù))（）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；（）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值解：（）曲線C：x24y291又sin2cos21cos，sinx2cos，y3sin曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))由直線l：x2ty22t消去參數(shù)t得（此處為消參的計算過程，可省略）x2ty22t由得tx2把代入，得y22(x2)整理得2xy60直線l的普通方程為2xy60（）曲線C上任意一點P(2cos，3sin)到l的距離為d55

7、|4cos3sin6|則|PA|dsin30255|5sin()6|，其中為銳角，且tan43當sin()1時，|PA|取得最大值，最大值為2255當sin()1時，|PA|取得最小值，最小值為2556（2014全國卷，文/理23，10分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為2cos，0，（）求C的參數(shù)方程；（）設點D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)（）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標解：（）2cos22cos把x2y22，xcos代入上式得x2y22xC的普通方程為(x1)2y21(0y1)半圓C的圓心為(1，0)，半徑為

8、1可得C的參數(shù)方程為x1costysint(t為參數(shù)，0t)（）設D(1cost，sint)由()知C是以G(1，0)為圓心，1為半徑的上半圓C在點D處的切線與l垂直直線GD與l的斜率相同tant3，t3故D的直角坐標為1cos3，sin3，即32，32【題型3】極坐標方程參數(shù)方程7（2016全國卷，文/理23，10分）在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a0）在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：4cos（）說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；（）直線C3的極坐標方程為0，其中0滿足tan02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a解

9、：（）解法一：C1是圓的方程1分由消去參數(shù)t得2分（此處為消參的計算過程，可省略）移項，得兩邊平方，得即，得x2(y1)2a2cos2ta2sin2tx2(y1)2a2(cos2tsin2t)x2(y1)2a2整理得3分把代入上式得4分的極坐標方程為5分（）由C2：4cos得兩邊同乘得24cos2x2y2，cosx6分即7分C3：化為普通方程為8分由題意：和的公共方程所在直線即為得：，即為9分10分8（2013全國卷，文/理23，10分）已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2sin（）把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；（）

10、求C1與C2交點的極坐標(0，02)解：（）將消去參數(shù)t得C1的普通方程為(x4)2(y5)225即C1：x2y28x10y160將代入上式得28cos10sin160C1的極坐標方程為28cos10sin160（）C2的極坐標方程為2sinC2的普通方程為x2y22y0由（此處為解方程的過程，可省略），得8x8y160整理，得y2x把代入，得x2(2x)22(2x)0整理，得x2x0(特別注意，x是未知數(shù)，不能約去的)提取x，得x(x1)0x0或x10解得x0或x1把x0代入，得y2把x1代入，得y1解得或C1與C2交點的直角坐標分別為(0，2)，(1，1)對于點(0，2)有：2，對于點(1

11、，1)有：，tan1，C1與C2交點的極坐標分別為(2，)，(，)【題型4】其它題型：求交點坐標，求點的坐標，求軌跡方程等9（2015全國卷，文/理23，10分）在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：2sin，C3：2cos（）求C2與C3交點的直角坐標；（）若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值解：（）C2：2sin22sin把2x2y2，ysin代入上式得曲線C2的直角坐標方程為x2y22y01分C3：23cos223cos把2x2y2，xcos代入上式得曲線C3的直角坐標方程為x2y22x

12、02分聯(lián)立得3分（此處為解方程的過程，可省略），得2y2x0整理，得yx把代入，得x23x22x0整理，得2x2x0(特別注意，x是未知數(shù)，不能約去的)提取x，得x(2x)0x0或2x0解得x0或x把x0代入，得y0把x代入，得y解得或4分C2與C3交點的直角坐標為(0，0)和32，325分（）曲線C1的極坐標方程為(R，0)，其中0因此A的極坐標為(2sin，)，B的極坐標為(23cos，)|AB|2sin23cos|4sin3當56時，|AB|取得最大值，最大值為410（2013全國卷，文/理23，10分）已知動點P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的

13、中點（）求M的軌跡的參數(shù)方程；（）將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點解：（）動點P，Q都在曲線C：x2costy2sint(t為參數(shù))上P(2cos，2sin)，Q(2cos2，2sin2)M為PQ的中點xMcoscos2yMsinsin2M(coscos2，sinsin2)M的軌跡的參數(shù)方程為xcoscos2，ysinsin2(為參數(shù)，02)（）M點到坐標原點的距離dx2y222cos(02)當時，d0，故M的軌跡過坐標原點11（2012全國卷，文/理23，10分）已知曲線C1的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極

14、坐標方程是2正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為(2，)（）求點A，B，C，D的直角坐標；（）設P為C1上任意一點，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范圍解：（）點A的極坐標為2，3點B的極坐標為2，32點C的極坐標為2，3點D的極坐標為2，332xA2cos31，yA2sin33xB2cos323，yB2sin321xC2cos31，yC2sin33xD2cos3323，yD2sin3321即A(1，3)，B(3，1)，C(1，3)，D(3，1)（）設P(2cos，3sin)，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2則S16cos236sin2163220sin20sin21S的取值范圍是32，5212（2011全國卷，文/理23，10分）在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，M是C1上的動點，P點滿足2，P點的軌跡為曲線C2（）求C2的方程；（）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|解：（）設P(x，y)，則由條件知M(，)由于M點在C1上即從而C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))（）曲線C1的極坐標方程為4sin曲線C2的極坐標方程為8sin射線與C1的交點A的極徑為14sin射線與C2的交點B的極