初中數(shù)學(xué)三角形相似模型含答案

1、三角形相似模型五年級(jí)奧數(shù).幾何.三角形相似模型（A級(jí)）.教師版Page 15 of 14知識(shí)框架相似模型（二）沙漏模型（一）金字塔模型 AD AE DE AFAB AC BC AG Sa ade :S»A ABCAF2 : AG2 .所謂的相似三角形,就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似 ）,與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下: 相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比;相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半.

2、相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具.在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形.例題精講、沙漏模型【例1】 四邊形ABCD被AC和DB分成甲乙丙丁 4個(gè)三角形，已知BE=80,CE=60,DE=40,AE=30,問(wèn)：丙、丁兩個(gè)三角形之和是甲乙兩個(gè)三角形面積之和的多少倍？【考點(diǎn)】沙漏模型【難度】1星【題型】解答【解析】 因?yàn)锳E:CE=BE:DE=1:2 ,所以AD BC ,即ABCD為梯形，并且三角形 AED與三角形BEC相似。因此 S AED - S AEB : S CED : S CEB 1: 2- 2 -4故（S甲a）：（乳斗）（2 2

3、）:（4 1） 4:5【鞏固】梯形ABCD的上底長(zhǎng)為3厘米，下底長(zhǎng)為 9厘米，而三角形 ABO的面積為12平方厘米。則整個(gè)梯形的面積為多少？【考點(diǎn)】沙漏模型【難度】1星【題型】解答【解析】 同上題，4AOD與BOC形狀相同，大小成比例，這個(gè)比例為：AD : BC = 1: 3,所以它們的面積比為1: 9。而4AOB的面積則是二者之間的過(guò)渡量，即比例中的3份。把4AOB的面積看成3份，那么1份是：12+3=4 （平方厘米）。這樣 MOD、ABOC和ACOD的面積分別是 1份、9份、3份；才形ABCD的面積為：4X （3+1 + 9+ 3） = 64 （平方厘米）?！敬鸢浮?4平方厘米?！纠?】

4、如圖，在平行四邊形 ABCD中，AB=16 , AD=10 , BE=4 ,那么FC的長(zhǎng)度是多少？【考點(diǎn)】沙漏模型【難度】2星【題型】解答EB FBEB4【解析】 萬(wàn)法一：因?yàn)橛?CB平行與 DA。有 ，有FB DA 10 2 ,所以EA DAEA 4 16CF=CB-FB=10-2=8 .方法二：如上圖所示，連接 DB, CE.有DC: BE=4:l所以.4DFC與4FBE的面積比為16:1, 有 S DCF S FBE S DBF S CEF，又 S DFB S CFE 所以 DCF , FBE , DBF , CEF 的面積 為16:1:4:1 ,即S DCF ：S DFB 16:4 4

5、:1 有DCF, DFB同高，面積比為底的比，即 CF:4BF=4:l ,而CF, BF的長(zhǎng)度和為10,有FC BC 84 1【答案】8?！眷柟獭咳鐖D，已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4, F是BC邊的中點(diǎn)，E是DC邊上的點(diǎn)，且 DE: EC=1:3,AF與BE相交于點(diǎn)G,求S ABGH【考點(diǎn)】沙漏模型【難度】2星【題型】解答【解析】法連接AE,延長(zhǎng)AF , DC兩條線交于點(diǎn)M,構(gòu)造出兩個(gè)沙漏，所以有AB : CM BF : FC1 : 1,因此CM4,據(jù)題意有CE=3,再據(jù)沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7 ,4 S47 ABE3211所以S ABG3 4 4 2法二：連接 AE、AF , S

6、 abf 422AEF4441232247,所以S ABG411321111【例3】如圖ABCD是梯形，BD是對(duì)角線,E為BD上一點(diǎn)，EF是三角形 AED的高，EG是三角形BCE的高。如果三角形 ABE和三角形BCE的面積分別為6和10平方厘米,EF: EG=7:4，那么求梯形ABCD的面積?！究键c(diǎn)】沙漏模型【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)槿切蜝EG與三角形DEF相似，所以BE ： ED=GE : EF=4 : 7。所以三角形 AED的面積=64X7=10.5 （平方厘米）所以三角形CED的面積=10FX7=17.5（平方厘米）所以才!形 ABCD的面積=6+10.5+10+17.5=4

7、4（平方厘米）【答案】44平方厘米。【鞏固】如圖，4ABC中AE=1AB, AD= 1 AC , ED與BC平行， EOD的面積是1平方厘米。那么 44AED的面積是平方厘米。【考點(diǎn)】沙漏模型【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)锳E= Iab , AD= - AC , ED與BC平行，所以ED : BC=1 : 4,EO : OC=1 : 4, Saabc=4Saeod=4 ;貝U S1de=4+1=5;又因?yàn)?Saaed :字cde=AD1 5 一、. 一:DC=1 : 3,所以 Saed=5X-=-（平萬(wàn)厘3 3米）?！纠?】如圖，平行四邊形 ABCD的面積是12, DE 1 AD , A

8、C與BE的交點(diǎn)為F,那么圖中陰影部分 3面積是;【考點(diǎn)】沙漏模型【難度】3星【題型】解答利用沙漏定理，AE/BC=AF/CF=2/3 ,三角形 ACD面積是12/2=6,連接CE,三角形CED面積是6/3=2,三角形ACE面積是4,又AF/CF=2/3 ,所以CEF面積是4X3/5=2.4,陰影部分面積為 2+2.4=4.4 ?！敬鸢浮?.4?！眷柟獭块L(zhǎng)方形ABCD的面積是12平方厘米，2AF FD, 2CE ED , G是BC的中點(diǎn).陰影部分的面積是平方厘米;【考點(diǎn)】沙漏模型【難度】3星【題型】解答【解析】 設(shè)BD、FG交點(diǎn)為O, BE、FG交點(diǎn)為M.【例5】跟根據(jù)沙漏定理得到 FDBGDO

9、BO12 一一，八一 4 ,所以BOG面積為33OMC14-，先求出三角形 BOG的面積，明顯FBG面積為239。三角形BDE的面積為7形BMO的面積即可。連接 CM ,設(shè)三角形BMG的面積為1份,根據(jù)燕尾定理S BOM 43至。133（2008年”華杯賽S _S BDMS _ _S BMCDEEC，所以SBM»CMG4,我們只要求出三角為1份，BMC為2份,，又DO4一,所以312, 一份，故S _ _S BMOST二S BMG12T1219粵S陰=4- 133108C=325O133133”決賽）右圖中,ABCD和CGEF是兩個(gè)正方形,AG和CF相交于H ,已知CH等于CF的三分

10、之一，三角形 CHG的面積等于6平方厘米，求五邊形 ABGEF的面積.沙漏模型【難度】3星【題型】解答連接AC、GF,由于AC與GF平行，可知四邊形由于 HCG面積為6平方厘米，且蝴蝶定理或相似三角形性質(zhì)，可知AHC的面積為3平方厘米.那么正方形CGEF的面積為6 12又AFC的面積為6厘米.那么，五邊形49.5平方厘米。已知：如圖，四邊形ACGF構(gòu)成一個(gè)梯形.CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的1 ,根據(jù)梯形2FHG的面積為12平方厘米,AHF的面積為6平方厘米,2 36平方厘米，所以其邊長(zhǎng)為3 9平方厘米，所以 ADABGEF的面積為：36 9ABCD 是直角梯形，/ A=326厘米

11、.2 6 3（厘米），即正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 31 49.5 （平萬(wàn)厘米）.2/ B=90o,AD=3,BC=4,S= aaod=1,求四邊形 ABCD的面積。【考點(diǎn)】沙漏模型【難度】2星因?yàn)锳D所以,所以S又因?yàn)樗許BC ,所以三角形AOD : S COB AD16S AOB2 S2CODAOD與三角形BOC相似,:BC2 32:42S AODS COB169:16AOB S COD故 SABCD S AOB SCODS AODS COB164949o、金字塔模型【例6】如圖，4ABC中,DE，F(xiàn)G ，BC互相平行,ADDFFB,貝u & ADE : 5g邊形 degf : 5

12、g邊形 fgcb【考點(diǎn)】金字塔模型【難度】2星【題型】解答【解析】 設(shè)Saade1份，根據(jù)面積比等于相似比的平方,所以 Saade： $ afg AD2：AF2 1:4, SA ade ：S.bcAD2：AB2 1:9,因此Sa AFG4 份，SA ABC9份,進(jìn)而有S四邊形degf 3份,SH邊形fgcb5份，所以Saade ： 5g邊形degf ： S四邊形fgcb 1:3:5【答案】SA ADE : S四邊形DEGF : SH邊形FGCB1:3:5【鞏固】如圖， DE平彳T BC ,且AD 2 , AB 5 , AE 4 ,求AC的長(zhǎng).A【考點(diǎn)】金字塔模型【難度】1星【題型】解答【解析】

13、 由金字塔*II型得 AD:AB AE:AC DE : BC 2:5 ,所以AC 4 2 5 10【答案】10?！纠?1如圖，三角形 ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在是多少?PN AP PH BP 5一 一，一 一，設(shè)BC AB,AD AB,【考點(diǎn)】金字塔模型【難度】3星 【題型】解答 【解析】 圖中有金字塔模型5個(gè)，用于已知邊有關(guān)系的兩個(gè)金字塔模型，所以有正方形的邊長(zhǎng)為x毫米,PNBCPHADAP BPAB ABx1，即120x801 ,解答x 48,即正方形

14、的邊長(zhǎng)為48毫米?！敬鸢浮?8毫米?！眷柟獭咳鐖D，在ABC有長(zhǎng)方形DEFG, G、F 在 BC 上,D、E 分別在 AB、AC 上，AH 是 ABCaBC的高，交 DE于M, DG:DE=1:2,BC=12厘米，AH=8厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。【考點(diǎn)】金字塔模型【難度】3星 【題型】解答【解析】 觀察圖中有金字塔模型 5個(gè)，用與已知邊有關(guān)系的連個(gè)金字塔模型，所以DE AD DG BDBC AB, AH AB所以有DEBCDG AD BD ，_ _ 2xAH AB AB 1,設(shè)DG ”則DE=2x,所以有/1，解得24,2x，因此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是 "厘米，M厘米。777,48,_2

15、4,【答案】長(zhǎng)：48厘米，寬：24厘米?！纠?】如圖，將一邊長(zhǎng)為 2的正方形兩邊長(zhǎng)分別延長(zhǎng) 1和3,割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積是多少?F分別為AB、BD的中點(diǎn)，GC=1FC.求陰影部分的面積。3【考點(diǎn)】金字塔模型【難度】3星【解析】相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例有：_5 _5 _1NF5, EM5,S阻=12932-1【答案】-O30【鞏固】右圖中正方形的面積為 1, E、EMF、 I L N【題型】解答NF 3 EM 1 皿1 _22_3; 2_31 2 R:92 5 _ 1253301 : 6，即 BI : BC 61 : 65 : 6,所以,【考點(diǎn)】金字塔模型【難度】3星【解析】作F

16、H垂直BC于H, GI垂直因?yàn)镃H HB所以CI : CBa 1155S BGE _.2262424三、相似模型之綜合應(yīng)用例9如圖，長(zhǎng)方形 ABCD中，E、F分別為CD、AB邊上的點(diǎn)，DE=EC ,FB=2AF 。求 PM : MN : NQ?！究键c(diǎn)】【解析】相似模型之綜合應(yīng)用【難度】3星【題型】解答延長(zhǎng)CF交DA延長(zhǎng)線于G,延長(zhǎng)BE交AD延長(zhǎng)線于H.因?yàn)锳F所以三角形AFG與三角形DCG相似故AG:DG=AF:CD=1:3 ;同理：DH:AH=1:2.所以 GH=2.5AD=2.5BC ,即 GH:BC=2:5又因?yàn)锳D BC ,所以三角形 GHN與三角形BNC相似所以 PN:ON =GH:

17、BC=2:5 ,即 PN= - PO7再延長(zhǎng)DF交CB延長(zhǎng)線于 G ,延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于H'同理可得：PM:OM=1:4 ,即 PM= - PO5所以 MN=PO-PM-ON=1835故 PM:MN:NO=7:18:10【答案】PM:MN:NO=7:18:10 ?！眷柟獭咳缬覉D，長(zhǎng)方形 ABCD中，EF=16,求AG的長(zhǎng)。【考點(diǎn)】相似模型之綜合應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)镈A BE,根據(jù)相似三角形性質(zhì)知DGAG,又因?yàn)镈F AB,-DGEG,所以竺£G ,即GBGE, GBGA, GEGA,AG2 GE? FG 25 9225152，所以 AG 15.【答案】

18、15.【例10】 正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，四邊形 BGHF的面積是 平方厘米?！究键c(diǎn)】相似模型之綜合應(yīng)用【難度】3星【題型】解答 【解析】 欲求四邊形BGHF的面積須求出 EBG! CHF勺面積。由題意可得到：EG:GC=EB:CD=1:2 ,所以1可得：S ebg-S BCE將AB、DF延長(zhǎng)交于M點(diǎn),3可得：BM:DC=MF:FD=BF:FC=1:1,而 EH:HC=EM:CD=(1 AB AB):CD=3:2 ,得 CH=2CE,而 251 一 CF= 2 BC，所以 S chf21-S S_ 3BCE_3 BCE55c11-1S BCEAB

19、BC _12030224cc 1 c 1 cS四邊形 BGHFS EBC 二 S EBC S S EBC35-S EBC 1415 EBC本題也可以用蝴蝶定理來(lái)做，連接EF,確定H的位置（也就是 FH:HD）,同樣也能解出?！眷柟獭咳鐖D，已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4,F是BC邊的中點(diǎn)，E是DC邊上的點(diǎn)，且 DE:EC 1:3 ,AF與BE相交于點(diǎn)G ,求$ abg相似模型之綜合應(yīng)用M【難度】3星【題型】解答方法一：連接AE ,延長(zhǎng)AF , DC兩條線交于點(diǎn)M構(gòu)造出兩個(gè)沙漏，所以有AB :CM BF : FC 1:1 , 因止匕 CM,根據(jù)題意有CE再根據(jù)另一個(gè)沙漏有GB :GE AB :EM

20、 4:7 ,所以 SAabg4 saSA ABE4 7A (4 42)3211方法二：連接AE, EF ,分別求S. ABF2 2 4,SA 4SA AEF7,五年級(jí)奧數(shù).幾何.三角形相似模型（A級(jí)）.教師版Page 19 of 144:7 ,所以,根據(jù)蝴蝶定理 Sa abf ：Sa aefBG :GE7 SA ABE4G (4 4 2)321132o11課堂檢測(cè)【隨練1】如圖ABC 中，DE 、 FG 、MN 、 PQ、 BC 互相平行，AD=DF=FM=MP=PB,S ADE: S四邊形DEGF : SH邊形FGMN: S四邊形MNQP: S四邊形PQCB=【考點(diǎn)】金字塔模型【難度】2星【

21、題型】解答【解析】設(shè)S ADE1仿，S ADE : S AFG AD : AF 1 : 4，因此S AFG 4份，進(jìn)而有S四邊形DEGF3仿,同理有S3邊形FGNM四邊形NMQP7份,S四邊形pqcm=9份。所以,Sc f：Sc f: Sc fO四邊形DEGF : O四邊形FGNM : °四邊形MNQP【答案】 S ADE : S四邊形DEGF : S四邊形FGNM : S四邊形MNQP【隨練2】 如圖長(zhǎng)方形 ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，AF與BE、BD分別交于G、H, OE垂直AD于E,交 AF 于 O,已知 AH=5cm , HF=3cm,求 AG.【考點(diǎn)】相似模型之綜合應(yīng)用【難

22、度】3星 【題型】解答【解析】由于AB | DF,利用相似三角形可得：AB: DF AH : HF 5 : 3,又因?yàn)镋為AD中點(diǎn)，那么3有OE: FD 1 : 2,所以AB OE 5:310 : 3,利用相似三角形性質(zhì)可以得到21 1AG: GO AB: OE 10: 3,而 AO - AF 5 34 cm ,所以2 2AG 4 2”(cm)。1313一 40【答案】竺(cm)。13【隨練3】 如圖，在梯形 ABCD中，AB與CD平行，且CD=2AB，點(diǎn)E、F分別是AD和BC的中點(diǎn), 已知四邊形ENFM的面積是54平方厘米，則梯形 ABCD的面積是多少平方厘米?！究键c(diǎn)】沙漏模型【難度】3星【題型】解答【解析】略。【答案】210。家庭作業(yè)【作業(yè)1】 測(cè)量小玻璃管口徑的量具 AB長(zhǎng)為15厘米，AC被分為60等份。如果小玻璃管口 DE正好對(duì)著量具上20等份處（DE