高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 弧度制及其應(yīng)用

1、弧度制及其應(yīng)用一、要點(diǎn)梳理1弧度制長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度記做，讀作弧度。 2弧度數(shù) 一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0。如果半徑為的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為，那么，角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是，這里，的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定。 3角度與弧度之間的轉(zhuǎn)化 （1）將角度化為弧度 ； 。 （2）將弧度化為角度 ； 1。注意：“弧度制”與“角度制”是度量角的兩種制度。引進(jìn)了弧度制，使得每一個(gè)角都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)），反過來每一個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)弧度數(shù)（角的弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)），

2、從而角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此角的幾何表示可以在坐標(biāo)系中以終邊位置描述，也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)描述（即其弧度數(shù)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)）。 3弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式 （1）在弧度制下，弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式分別為 。 （2）在角度制下，弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式分別為 。注意：用公式求圓心角時(shí)，應(yīng)注意其結(jié)果是圓心角的弧度數(shù)的絕對(duì)值，具體應(yīng)用時(shí)，既要注意其大小，又要注意其正負(fù)；使用弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式有諸多優(yōu)越性，但是如果已知的角是以“度”為單位，則必須先把它化成弧度后再計(jì)算，這樣可避免計(jì)算過程或結(jié)果出錯(cuò)。二、范例剖析例1 將表示成，的形式，且。分析：在書寫角時(shí)，“弧度”兩個(gè)字常

3、省略不寫，但用“角度”表示時(shí)，“度”或“0”不能省略。解析：，又，。評(píng)注：要記住，如果能記住特殊角，可直接寫出結(jié)果。例2 已知，且與終邊相同，求。分析：利用終邊相同的角先表示出與的關(guān)系，然后求解。解析：由已知有，。，當(dāng)、2、3、4、5時(shí)，、為所求。評(píng)注：在一定的約束條件下，求與角終邊相同的角，一般地，首先將這樣的角表示為的形式，然后在約束條件下確定值，進(jìn)而求適合條件的角。 例3 已知扇形的圓心角為，半徑長(zhǎng)為6。 （1）求的弧長(zhǎng)； （2）求弓形的面積。 分析：將圓心角用弧度表示，然后利用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式、三角形面積公式可得解。 解析：（1）， 的弧長(zhǎng)為。 （2）， ， 。 評(píng)注：記準(zhǔn)、記熟弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式是解決該類問題的關(guān)鍵。 三、知能展示 1若四邊形的四個(gè)內(nèi)角之比分別為1：3：5：6，則這四個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)依次為； 2在1點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻淖钚≌鞘嵌嗌倩《龋?3已知一扇形的圓心角為，半徑等于，求扇形的面積； 4已知一扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？ 5用長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)扇形，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？ 參考答案：1，； 2；34半徑時(shí)，扇形的