四川大學(xué)理論力學(xué)第十三章

1、第第1313章章 虛位移原理虛位移原理 虛位移原理是以分析的方法研究非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題，該原理不但能簡捷地處理非自由質(zhì)點(diǎn)系的靜力學(xué)問題，而且結(jié)合達(dá)朗貝原理還能建立普遍形式的動(dòng)力學(xué)微分方程。 對質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的限制條件稱為約束約束(constraint),約束條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為約束方程約束方程或約束不等約束不等式式。球面擺約束方程:x2 + y2 + z2 = l2mlOxyz 單面約束與雙面約束單面約束與雙面約束 在約束方程中用嚴(yán)格的等號表示的約束稱為雙面約束雙面約束(bilateral constraint),含有不等號表示的約束稱為單面約束單面約束(ulilateral constrai

2、nt) 。例如在球面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),如果規(guī)定質(zhì)點(diǎn)不能離開球面,則約束是雙面的;否則,約束就是單面的。柔繩連接的單擺約束方程:x2 + y2 + z2 l2單面約束單面約束mlxyz約束方程:x2 + y2 + z2 l(t)2 定常約束與非定常約束定常約束與非定常約束 約束方程不顯含時(shí)間t的約束稱為定常約束定常約束或穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束(scleronomic constraint); 反之, 如果約束方程顯含時(shí)間t, 則稱為非定常約束非定常約束或不穩(wěn)定約束不穩(wěn)定約束(rheonomic constraint) 。擺長可變的單擺mluxyz約束方程:(utx)2 + y2 = l2非定常約非定常約束

3、的例子束的例子R=at2約束方程:x2 + y2 + z2 a2t4mluxyOyxz 完整約束與非完整約束完整約束與非完整約束 只限制系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的位置的約束稱為幾何約束幾何約束(geometrical constraint),其其約束方程是坐標(biāo)和時(shí)間的約束方程是坐標(biāo)和時(shí)間的有限方程。有限方程。OAByxrl 曲柄連桿機(jī)構(gòu)曲柄連桿機(jī)構(gòu)xA2 + yA2 = r2 xB = 0 xA2 +(yByA)2 = l2OAByxl2l1約束方程:xA2 + yA2 = l12(xBxA )2 +(yByA)2 = l22雙數(shù)學(xué)擺雙數(shù)學(xué)擺 與幾何約束相對應(yīng)的是運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束(constraint o

4、f motion), 即限制質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的約束,其約束方程其約束方程是含有坐標(biāo)和時(shí)間以及坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的微分是含有坐標(biāo)和時(shí)間以及坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的微分方程。方程。 沿水平直線純沿水平直線純滾的圓盤滾的圓盤 上述約束為運(yùn)動(dòng)約束,但其約束方程可積分為有限形式,從而轉(zhuǎn)化為幾何約束。幾何約束和可積分的運(yùn)動(dòng)約束稱為完整約束完整約束(holonomic constraint)。這里可積分的意思是不依賴于運(yùn)動(dòng)方程而單獨(dú)積分成有限形式。不可積分的運(yùn)動(dòng)約束稱為非完整約束非完整約束(nonholonomic constraint) 。AvAxddddAxrtt A(x1, y1)B (x2, y2)yOM (x

5、, y)xv 兩質(zhì)點(diǎn)用長為l的剛性輕桿連接,在水平面上運(yùn)動(dòng),桿中點(diǎn)M的速度只能沿桿向。(x1x2 )2 +(y1y2)2 = l2幾何約束方程為:桿的中點(diǎn)坐標(biāo)為:x = (x1+ x2 )/2 y = (y1+ y2)/2x = (x1+ x2 )/2 y = (y1+ y2)/2由題意 y/ x = (y1y2)/(x1x2 )(y1+ y2)/(x1+ x2 )= (y1y2)/(x1x2 )故非完整約束方程為 適當(dāng)選取的唯一確定質(zhì)點(diǎn)系位置的一組獨(dú)立變適當(dāng)選取的唯一確定質(zhì)點(diǎn)系位置的一組獨(dú)立變量稱為廣義坐標(biāo)量稱為廣義坐標(biāo)(generalized coordinate)。對于完整系統(tǒng)(僅受完整

6、約束的系統(tǒng)),其廣義坐標(biāo)數(shù)即為系統(tǒng)的自由度自由度(degree of freedom)。 小球在三維空間的運(yùn)動(dòng),自由度為3, 廣義坐標(biāo)可選直角坐標(biāo)x,y,z。 當(dāng)它被限制在平面z=b上運(yùn)動(dòng)時(shí), 自由度為2, 廣義坐標(biāo)可選直角坐標(biāo)x,y;或極坐標(biāo)r,。xyzz=br(x,y)xA2 + yA2 = r2 xB = 0 xA2 +(yByA)2 = l2 確定質(zhì)點(diǎn)系位置所需的獨(dú)立變量數(shù)為1, 即系統(tǒng)的自由度為1, 可在 xA、yA和 yB 中任選一個(gè)作為廣義坐標(biāo), 但是選取角有時(shí)會(huì)更方便。曲柄連桿機(jī)構(gòu)曲柄連桿機(jī)構(gòu)OAByxrlxA2 + yA2 = l12(xBxA )2 +(yByA)2 = l

7、2212系統(tǒng)的自由度為2, 可在xA、yA 、xB 和 yB 中任選2個(gè)能唯一確定系統(tǒng)位形的變量作為廣義坐標(biāo), 當(dāng)然也可以選取1和2 。 廣義坐標(biāo)不一定是直角坐標(biāo)廣義坐標(biāo)不一定是直角坐標(biāo),也可以是球坐標(biāo)、也可以是球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、角度、距離、面積等等柱坐標(biāo)、角度、距離、面積等等,只要它是一組能只要它是一組能唯一確定系統(tǒng)位形的獨(dú)立變量就行。唯一確定系統(tǒng)位形的獨(dú)立變量就行。雙數(shù)學(xué)擺雙數(shù)學(xué)擺OAByxl2l1 可能位移可能位移(possible displacement) 是指約束所允許的系統(tǒng)的任何一組無限小位移。 本節(jié)將引入可能位移、實(shí)位移和虛位移的概念,研究它們之間的關(guān)系,以及它們要滿足的條件。

8、drdrOABdrAdrBdrBdrA 實(shí)位移實(shí)位移 在無限小時(shí)間間隔dt內(nèi),系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移稱為實(shí)位移實(shí)位移(actual displacement)。 所謂真實(shí)運(yùn)動(dòng),是指既滿足約束方程又滿足運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。因此,在任意時(shí)刻,系統(tǒng)的實(shí)位移是唯一的,并且是可能位移之一。但反過來,任意一組可能位移則不一定是實(shí)位移。 虛位移虛位移 在定常約束的情況下, 可能位移就是虛位移虛位移(virtual displacement)。在非定常約束的情況下,虛位移是約束被凍結(jié)凍結(jié)后的可能位移。定常約束定常約束rr約束方程: zut = 0非定常約束非定常約束 dz = udt 可能位

9、移dr在z方向的投影等于udt。z=ut=0 虛位移r在z方向的投影等于零。 等時(shí)變分運(yùn)算與微分運(yùn)算相同等時(shí)變分運(yùn)算與微分運(yùn)算相同,但但t0。xyztt+dtudrrdr可能位移和虛位移是純碎的幾何概念,它們不涉及系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng),與運(yùn)動(dòng)方程和初始條件無關(guān)。實(shí)位移是系統(tǒng)真實(shí)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位移,是可能位移中的一個(gè)。一般說,系統(tǒng)的可能位移和虛位移都不是唯一的,在不破壞約束的前提下, 具有一定的任意性; 但實(shí)位移卻是唯一的。在定常約束的情況下,虛位移與可能位移相一致,實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)。在非定常約束的情況下,虛位移是約束被凝固后的可能位移,實(shí)位移是可能位移中的一個(gè),但不是虛位移中的一個(gè)。注意注意:一、

10、一、 虛位移的計(jì)算虛位移的計(jì)算 本節(jié)討論如何確定非自由質(zhì)點(diǎn)系的虛位移之間的關(guān)系,僅研究定常的完整系統(tǒng)定常的完整系統(tǒng), 常用的方法有幾何法和解析法。 幾何法幾何法 在定常約束的情況下,實(shí)位移是虛位移中的一個(gè), 而質(zhì)點(diǎn)的實(shí)位移是與其速度成正比的, 故可用求速度的幾何法來分析各質(zhì)點(diǎn)的虛位移之間的關(guān)系, 這就是幾何法的主要思路。 解析法解析法 解析法是將各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù),然后再求變分,得到用廣義坐標(biāo)的獨(dú)立變分表示的虛位移。例例1 圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu),已知和 ,OA=AD,試確定A、B和D的虛位移之間的關(guān)系。解解: 系統(tǒng)的自由度為1,獨(dú)立的虛位移只有一個(gè)。A、B和D的虛位移如圖示。根據(jù)相應(yīng)

11、的速度關(guān)系可得OABD+rArBrDADrr2)sin(cosABrrcos/ )sin(ABrrADrr2例例2 圖示雙數(shù)學(xué)擺,已知l1和l2, 試確定A 和B 的虛位移之間的關(guān)系。解解: 系統(tǒng)的自由度為2 , 取1和2為廣義坐標(biāo),如圖所示有12OAByxl2l111coslxA11sinlyA2211coscosllxB2211sinsinllyB11coslxA11sinlyA2211coscosllxB2211sinsinllyB12OAByxl2l1111sin lxA111coslyA222111sinsinllxB222111coscosllyB二、二、 虛位移原理虛位移原理 具

12、有定常、理想約束的完整系統(tǒng)平衡的充具有定常、理想約束的完整系統(tǒng)平衡的充分必要條件是分必要條件是 : 作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移上的元功總和為零。在任何虛位移上的元功總和為零。 上述結(jié)論稱為虛位移原理虛位移原理(principle of virtual displacement),其表達(dá)式為 虛位移原理是分析靜力學(xué)的基本原理,因?yàn)榱υ谔撐灰粕系墓ΨQ為虛功,故虛位移原理也稱為虛功原理虛功原理(principle of virtual work)。 虛位移原理虛位移原理0iii Fr關(guān)于虛功原理與剛體靜力學(xué)平衡條件的兩點(diǎn)說明:虛功原理常常被認(rèn)為是更普遍的原理;(1)

13、虛功原理的基本思想是一種變分原理的思想。 理想約束理想約束 如果質(zhì)點(diǎn)系所受的約束力在任意虛位移上的元功總和為零,則該約束稱為理想約束理想約束(ideal constraint)。 這是理想約束的一般定義,顯然,在定常約束的情況下,它與原有的定義沒有區(qū)別。但在非定常約束的情況下,它們是不同的。 虛位移原理虛位移原理(二二)三、三、 虛位移原理的應(yīng)用虛位移原理的應(yīng)用 虛位移原理特別適合于解以下幾類靜力學(xué)問題:在機(jī)構(gòu)的平衡問題中求主動(dòng)力之間的關(guān)系在機(jī)構(gòu)的平衡問題中求主動(dòng)力之間的關(guān)系; 求系求系統(tǒng)的平衡位置統(tǒng)的平衡位置; 求系統(tǒng)平衡時(shí)的個(gè)別約束力。求系統(tǒng)平衡時(shí)的個(gè)別約束力。 求平衡系統(tǒng)的約束力時(shí),首先

14、要解除與之對應(yīng)的約束, 代之以約束力, 并將該約束力當(dāng)作主動(dòng)力看待。此外, 非理想約束的約束力非理想約束的約束力(例如摩擦力例如摩擦力)必須必須全部視為主動(dòng)力全部視為主動(dòng)力, 并計(jì)入其虛功。并計(jì)入其虛功。0iii FrOABDMF1F2例例1 圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu), 已知F1 、 F2 、和 , OA=AD=R, 試求平衡力矩M。解解: A、B和D的虛位移如圖示。由虛功原理可得F1 rD sin + F2 rB M = 0因?yàn)閞D = 2rArB = rA sin( + )/ cos = rA /ROABDMF1F22120sin()(sin)cosAFMFrR 212sin()sincosRFM

15、RF rArB +rD3060ABECDlF2F1例例2 小球D和E重F1和F2 ,可分別沿固定的光滑金屬絲AC和BC滑動(dòng), 二球用一根不可伸長的繩連接,如圖所示,試求平衡時(shí)的 角。提示提示: 此題是應(yīng)用虛功原理求系統(tǒng)的平衡位置,考慮如何將二主動(dòng)力的虛功表示為某個(gè)獨(dú)立變分(例如 )的函數(shù)。解解: 取y軸鉛直向上,由虛功原理有y F1yD F2yE = 0因?yàn)閥D = AD sin 30 而AD = AC l cos yD = (AC l cos )/2 同理可得3060ABECDlF2F132cosEyl 32(sin)EyBCl 12sinDyl F1 yD F2 yE = 012sinDy

16、l 32cosEyl 1213022(sincos)FlF l 213arctanFF 3060ABECDlF2F1解解: D、E的虛位移如圖示。由虛功原理可得rDrE030cos30sino2o1EDrFrFEDrFrF213因sincosEDrr所以EErFrF213tan123tanFF點(diǎn)評點(diǎn)評:(1) 對于理想約束系統(tǒng),在機(jī)構(gòu)的平衡問題中求主動(dòng)力之間的關(guān)系及求系統(tǒng)的平衡位置時(shí), 應(yīng)用虛功原理, 由于僅涉及主動(dòng)力, 因而計(jì)算比較簡潔。(2)應(yīng)用虛功原理的關(guān)鍵是將虛功方程左邊將虛功方程左邊表示成獨(dú)立虛位移上的虛功總和表示成獨(dú)立虛位移上的虛功總和,為此必須首先確定各個(gè)虛位移之間的關(guān)系, 常用

17、的方法有幾何法和解析法。ACBDF例例3 圖示桁架,已知:F,CD=3m , AD=BD=6m。試求:(1)支座B 的約束反力;(2)DB 桿的內(nèi)力。提示提示: 求平衡系統(tǒng)的約束力時(shí),首先要解除與之對應(yīng)的約束,代之以約束力,并將該約束力當(dāng)作主動(dòng)力看待。 解解: (1) 鉸B解除約束,代之以約束反力FB, B和D的虛位移如圖示。由虛功原理可得F rD FB rB = 0而 rB=2rD (F 2FB )rD = 0FB = F/2ACBDFFBrDrB (2) 解除桿DB, 代之以內(nèi)力FDB及FDB如圖示, 并畫出相關(guān)的虛位移, 由虛功原理可得F rD FDB rB = 0因?yàn)閞B cos =

18、rC sin 2 又25BCrr 25DCrr CDrrADAC ACBDFFDBFDBrDrBrCF rD FDB rB = 0FDB = F rB = rD ACBDFrDrBrCFDBFDB點(diǎn)評點(diǎn)評: 求平衡系統(tǒng)的某個(gè)約束力時(shí), 只需要解除與之對應(yīng)的約束, 代之以相應(yīng)的約束力,并給予虛位移, 但必須保證不破壞結(jié)構(gòu)和其它約束條件。ABGCDO例例4 圖示均質(zhì)桿AB重G ,長2l,兩端均為光滑接觸。如要AB桿在任何位置均能保持平衡,試求曲線OD的形狀。提示提示: OD曲線的形狀應(yīng)使其上A點(diǎn)的坐標(biāo)在任意位置都滿足虛功方程。yx解解: 引入坐標(biāo)系如圖示,由虛功原理有G yC = 0yC = 0因?yàn)閥C = (yA + yB)/2yC = (yA + yB)/2yA + yB = 0積分上式得yA + yB = C1ABGCDOyxyA + yB = 2l再由幾何關(guān)系yA + yB = C1當(dāng)yA=0時(shí), yB =2l, 故C1=2l, 因此ABGCDOyx2224()BAAyyxl 222214()AAxlyll 例例5 圖示機(jī)構(gòu),已知FP及, 滑塊E處的靜摩擦系數(shù)為f, AK=EK=a, CD=DK=KB=BC=b。試求機(jī)構(gòu)平衡時(shí)的力FQ的取值范圍。ABECKDFPFQxyFNF解解: 用虛功原理求解時(shí), 摩擦力應(yīng)作為主動(dòng)力,故必須先求出。MA=0FN=FP/2在臨界狀態(tài)有F