實(shí)驗(yàn)三一元函數(shù)積分學(xué)

1、實(shí)驗(yàn)三 一元函數(shù)積分學(xué)l實(shí)驗(yàn)?zāi)康模杭由罾斫舛ǚe分的概念，深入理解積分實(shí)驗(yàn)?zāi)康模杭由罾斫舛ǚe分的概念，深入理解積分理論中理論中分割分割、近似近似、求和求和、取極限取極限的思想方法，初的思想方法，初步了解定積分的近似計(jì)算方法步了解定積分的近似計(jì)算方法定積分的概念l由定義計(jì)算定積分由定義計(jì)算定積分l在定積分的定義中，劃分積分區(qū)間的方法與在每個(gè)在定積分的定義中，劃分積分區(qū)間的方法與在每個(gè)小區(qū)間上取的點(diǎn)小區(qū)間上取的點(diǎn) 都是任意的，如果當(dāng)分劃的每都是任意的，如果當(dāng)分劃的每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值 趨于趨于0時(shí)，它的黎曼和存時(shí)，它的黎曼和存在極限，此極限值即為我們所定義的一個(gè)函數(shù)在一在極限，

2、此極限值即為我們所定義的一個(gè)函數(shù)在一個(gè)指定區(qū)間上的定積分。個(gè)指定區(qū)間上的定積分。i實(shí)驗(yàn)1 利用定義計(jì)算積分l下面的程序在區(qū)間下面的程序在區(qū)間0,1中插入中插入n-1個(gè)分點(diǎn)（可以均個(gè)分點(diǎn)（可以均勻的產(chǎn)生，也可以借助隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生），在一定意義勻的產(chǎn)生，也可以借助隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生），在一定意義下取得了任意分點(diǎn)與任意的下取得了任意分點(diǎn)與任意的 計(jì)算計(jì)算 l即可求得即可求得 的近似值的近似值l提高精度的方法是增加分點(diǎn)。提高精度的方法是增加分點(diǎn)。iniif1)(niiixf10)(lim近似生成隨機(jī)區(qū)間分點(diǎn)近似生成隨機(jī)區(qū)間分點(diǎn)實(shí)驗(yàn)1 利用定義計(jì)算積分Clearf,x;fx_:=x2;a=0;b=1;n=20;Ar

3、rayx,641;x0=a;Fork=1,k=6,k+,xn=b;s=0; Doxi=(i+Random )*(b-a)/n,i,1,n-1; Fori=0,in,i+,delxi=xi+1-xi; c=xi+delxi*Random; s=s+fc*delxi; Printn=,n, s=,s; n=n*2指定區(qū)間指定區(qū)間a,b及初始區(qū)間數(shù)及初始區(qū)間數(shù)預(yù)先生成能保存最多區(qū)間分點(diǎn)的數(shù)組預(yù)先生成能保存最多區(qū)間分點(diǎn)的數(shù)組每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度每個(gè)小區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取值每個(gè)小區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取值累加求和，注意保存和的累加求和，注意保存和的變量要進(jìn)行初始化變量要進(jìn)行初始化分點(diǎn)加密，再計(jì)算分點(diǎn)加密，再計(jì)算

4、分劃細(xì)分分劃細(xì)分k次次實(shí)驗(yàn)1 利用定義計(jì)算積分l由于分割的任意性及由于分割的任意性及 的任意性，即使的任意性，即使n固定，每固定，每次運(yùn)行所得的結(jié)果也可能不同次運(yùn)行所得的結(jié)果也可能不同l相同的相同的n計(jì)算多次時(shí)數(shù)據(jù)都不完全相同，但它們之計(jì)算多次時(shí)數(shù)據(jù)都不完全相同，但它們之間的差異不大。間的差異不大。l練習(xí)練習(xí)1 利用定義計(jì)算利用定義計(jì)算i02Sinxx從圖形觀察積分和與定積分的關(guān)系l定積分定積分 在幾何上表示由曲線在幾何上表示由曲線y=f(x)，直線，直線x=a,x=b及及x軸所圍成的曲邊梯形的面積軸所圍成的曲邊梯形的面積l積分和積分和 在幾何上表示在幾何上表示n個(gè)小矩形的面積個(gè)小矩形的面積和

5、，其中第和，其中第i個(gè)小矩形的高為個(gè)小矩形的高為 ，寬為，寬為l實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)2 從圖形上觀察從圖形上觀察 的的積分和積分和與定積分與定積分的關(guān)系的關(guān)系badxxf)(niiixf1)()(ifix20sinxdx從圖形觀察積分和與定積分的關(guān)系l解解 設(shè)曲邊梯形由設(shè)曲邊梯形由y=sinx，y=0，x=Pi/2為界。為界。l采用分劃的方法，用小區(qū)間上矩形的面積來逼近曲采用分劃的方法，用小區(qū)間上矩形的面積來逼近曲邊梯形的面積。邊梯形的面積。l當(dāng)分劃越來越細(xì)時(shí)，得到的小矩形面積之和與曲邊當(dāng)分劃越來越細(xì)時(shí)，得到的小矩形面積之和與曲邊梯形的面積梯形的面積S之間的差越來越小。當(dāng)每個(gè)小區(qū)間縮之間的差越來越小。當(dāng)每

6、個(gè)小區(qū)間縮向一點(diǎn)時(shí)，誤差的極限為向一點(diǎn)時(shí)，誤差的極限為0Cleari,n,a,b;Clearf,c,d,x,s;regularpartitiona_,b_,n_:=P=Blocki,TableNa+(b-a)*i/n,i,0,n;randompartitiona_,b_,n_:=P=UnionTableRandomReal,Na,Nb,n-1,Na,Nb;sf_,c_,d_,x_,choice_:=Ifc=xIdentity; two=Blocki,x,PlotReleaseTablesf,UnionNPi,UnionNPi+1,x,choice,i,LengthP-1,x,MinNP-0.1

7、,MaxNP+0.1,PlotRange-All,PlotPoints-50,DisplayFunction-Identity; Blockx,Showtwo,one,PlotLabel-ToStringLengthP-1分劃分劃 最大分劃最大分劃 ToStringNNormPIfChopearf,P,choice=0,無誤差無誤差,誤差誤差ToStringearf,P,choice,PlotRange-All,DisplayFunction-$DisplayFunction);DoviewapproxSin,regularpartition0,Pi,2n,0.5,n,2,6;viewappr

8、oxSin,randompartition0,Pi,16,1;DoviewapproxArcTan,randompartition0,Pi,2n,1,n,2,6;Cleari,n,a,b;Clearf,c,d,x,s;regularpartitiona_,b_,n_:=P=Blocki,TableNa+ (b-a)*i/n,i,0,n;randompartitiona_,b_,n_:=P=UnionTableRandomReal,Na,Nb,n-1,Na,Nb;sf_,c_,d_,x_,choice_:=Ifc=x Identity; two=Blocki,x,PlotReleaseTable

9、sf,UnionNPi,UnionNPi+1,x,choice,i,LengthP-1,x,MinNP-0.1,MaxNP+0.1,PlotRange- All,PlotPoints-50,DisplayFunction-Identity;均勻分劃下黎曼和與定積分值之誤差均勻分劃下黎曼和與定積分值之誤差非均勻分劃下黎曼和與定積分值之誤差非均勻分劃下黎曼和與定積分值之誤差圖形顯示圖形顯示DoviewapproxSin,regularpartition0,Pi,2n,0.5,n,2,6;viewapproxSin,randompartition0,Pi,16,1;DoviewapproxArcTa

10、n,randompartition0,Pi,2n,1,n,2,6;l在區(qū)間在區(qū)間0,Pi上圖示均勻分劃下上圖示均勻分劃下Sinx的黎曼和，從的黎曼和，從4個(gè)區(qū)間細(xì)分到個(gè)區(qū)間細(xì)分到64個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間l在區(qū)間在區(qū)間0,Pi上圖示非均勻分劃下上圖示非均勻分劃下Sinx的黎曼和，的黎曼和，16個(gè)子區(qū)間個(gè)子區(qū)間l在區(qū)間在區(qū)間0,Pi上圖示非均勻分劃下上圖示非均勻分劃下ArcTanx的黎曼和，的黎曼和，從從4個(gè)區(qū)間細(xì)分到個(gè)區(qū)間細(xì)分到64個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間3.1.2 從圖形觀察積分和與定積分的關(guān)系0.511.522.530.20.40.60.814閪劃跅釥閪劃4.3018誤趷0.0523443N=40.511.52

11、2.530.20.40.60.818閪劃跅釥閪劃5.60886誤趷0.01290910.511.522.530.20.40.60.8116閪劃跅釥閪劃7.59444誤趷0.00321638N=16N=80.511.522.530.20.40.60.8132閪劃跅釥閪劃10.5006誤趷0.0008034160.511.522.530.20.40.60.8164閪劃跅釥閪劃14.6803誤趷0.000200812N=64N=323.1.2 從圖形觀察積分和與定積分的關(guān)系l練習(xí)練習(xí)2 從圖形上觀察從圖形上觀察0412x2x3.1.3 用定義計(jì)算定積分的簡(jiǎn)化l設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小

12、區(qū)間xi-1,xi上有最值，分別記上有最值，分別記為為Mi(最大值最大值)和和mi(最小值最小值)，則有，則有l(wèi)定義上積分定義上積分 下積分下積分l若用積分和近似積分值，其產(chǎn)生的誤差不超過上、若用積分和近似積分值，其產(chǎn)生的誤差不超過上、下積分和之差。下積分和之差。l當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 和和 的極限存在且相等，則的極限存在且相等，則S的極的極限即定積分也存在，且等于上積分或下積分的極限限即定積分也存在，且等于上積分或下積分的極限iiiiiixMxfxm)(niiixMS1_niiixMS10SS3.1.3 用定義計(jì)算定積分的簡(jiǎn)化l實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)3 利用上積分和、下積分和計(jì)算利用上積分和、下積分和計(jì)算l函數(shù)

13、函數(shù)f(x)=3x2 在區(qū)間在區(qū)間0,1上是單調(diào)增加的，故在上是單調(diào)增加的，故在每個(gè)小區(qū)間每個(gè)小區(qū)間xi-1,xi上，最大值上，最大值Mi=f(xi) ，最小值，最小值mi=f(xi-1)，于是，于是l實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，只要分割點(diǎn)充分多，上和與下和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，只要分割點(diǎn)充分多，上和與下和 的差可任意小的差可任意小1023dxx2/ )(SSniiiniiixxfxxfSS111)( )(Clearf,x,a,b;fx_:=3 x2;a=0;b=1;n=0;g1=Plotfx,x,a,b,PlotStyle-RGBColor1,0,0;Forj=3,j=100,j*=2;n=j;tt1=;tt2=

14、;supper=0;slower=0; Fori=0,in,i+,x1=a+(b-a)*i/n;x2=x1+(b-a)/n; supper=supper+fx2/n;slower=slower+fx1/n; tt1=Appendtt1,GraphicsRGBColor0,0,1,Rectanglex1,0,x2,fx2; tt2=Appendtt2,GraphicsRGBColor0,1,0,Rectanglex1,fx1,x2,0; a0=upper-slower=ToStringNsupper-slower; a1=approximation isToString(supper+slowe

15、r)/2.; aa=a0a1; g2=GraphicsTextaa,0.5,3.1; Showg1,g2,tt1,tt2,DisplayFunction-$DisplayFunction;Clearf,x,a,b;fx_:=3*x2;a=0;b=1;n=500;Forj=10,j1000,j*=2;n=j;supper=0;slower=0; Fori=0,in,i+,x1=a+(b-a)*i/n;x2=x1+(b-a)/n; supper=supper+fx2/n;slower=slower+fx1/n; Printwhen the number of sub-interval is=,n,

16、approximation is,(supper+slower)/2.,supper-slower=,Nsupper-slower;3.1.3 用定義計(jì)算定積分的簡(jiǎn)化l當(dāng)定積分存在時(shí)，所有任取的積分和當(dāng)當(dāng)定積分存在時(shí)，所有任取的積分和當(dāng)0 時(shí)的時(shí)的極限都相同，此時(shí)可以選擇較簡(jiǎn)單的劃分與簡(jiǎn)單的極限都相同，此時(shí)可以選擇較簡(jiǎn)單的劃分與簡(jiǎn)單的 l一般地，將區(qū)間等分，且讓小區(qū)間的某端點(diǎn)作為一般地，將區(qū)間等分，且讓小區(qū)間的某端點(diǎn)作為 這樣積分和便成為這樣積分和便成為l或或iininabinabaf1) 1(ninabinabaf13.1.3 用定義計(jì)算定積分的簡(jiǎn)化l實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)4 用上兩式計(jì)算定積分用上兩式計(jì)

17、算定積分l因?yàn)楸环e函數(shù)因?yàn)楸环e函數(shù)f(x)=x在在0,M上單調(diào)增加，故上兩式上單調(diào)增加，故上兩式確定的分別是積分的下積分和與上積分和。確定的分別是積分的下積分和與上積分和。Mxdx0 3.1.3 用定義計(jì)算定積分的簡(jiǎn)化Clearf, x; n = 1; k = 50000; a = 0.;fx_ = xn;ForM = 1, M RGBColor1,0,0g2=Plotf2x,x,0,3,PlotStyle-RGBColor0,0,1Showg1,g2dttexfxt012)(2)(2xxexfIntegratelIntegratef,x：計(jì)算不定積分：計(jì)算不定積分lIntegratef,x,

18、min,max：計(jì)算定積分：計(jì)算定積分lNIntegratef,x,a,b：求數(shù)值積分：求數(shù)值積分 3.2 定積分近似計(jì)算的梯形法l在數(shù)值計(jì)算中，用前面的兩個(gè)公式近似定積分的方在數(shù)值計(jì)算中，用前面的兩個(gè)公式近似定積分的方法稱為矩形法，這是因?yàn)檫@兩個(gè)式子在幾何上表示法稱為矩形法，這是因?yàn)檫@兩個(gè)式子在幾何上表示一些矩形面積的和（或者說在小區(qū)間上用常數(shù)近似一些矩形面積的和（或者說在小區(qū)間上用常數(shù)近似函數(shù)）。函數(shù)）。l可不可以將小區(qū)間上的函數(shù)近似認(rèn)為是線性函數(shù)呢可不可以將小區(qū)間上的函數(shù)近似認(rèn)為是線性函數(shù)呢l最簡(jiǎn)單的方法是用連接函數(shù)在小區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的最簡(jiǎn)單的方法是用連接函數(shù)在小區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的值的線段

19、構(gòu)成的值的線段構(gòu)成的梯形梯形的面積來的面積來近似曲邊梯形的面積近似曲邊梯形的面積3.2 定積分近似計(jì)算的梯形法l在近似計(jì)算中常用下式來計(jì)算定積分在近似計(jì)算中常用下式來計(jì)算定積分l它是它是 與與 的和的和nabnabiafbfafni1)(2)()(ninabinabaf1) 1(ninabinabaf13.2 定積分近似計(jì)算的梯形法l實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)6 用梯形法近似計(jì)算定積分用梯形法近似計(jì)算定積分10dxex10110111121)21 (21neneeendxeninininininix3.2 定積分近似計(jì)算的梯形法fx_ := Expx; a = 0; b = 1; s0 = 1.; s1 = 0

20、; n = 20; m = 6;WhileAbss0 - s1 10(-m), s1 = s0; s0 = NSumfa + i*(b - a)/n*(b - a)/n, i, 0, n - 1 + Sumfa + i*(b - a)/n*(b - a)/n, i, 1, n/2.; n = n*2;Prints0=,s0l思考一下這里的思考一下這里的While循環(huán)的循環(huán)條件的含義。循環(huán)的循環(huán)條件的含義。3.2 定積分近似計(jì)算的梯形法l練習(xí)練習(xí)6 提高計(jì)算精度提高計(jì)算精度(加密分點(diǎn)加密分點(diǎn))，根據(jù)結(jié)果歸納分，根據(jù)結(jié)果歸納分析析 與與e之間的關(guān)系之間的關(guān)系l練習(xí)練習(xí)7 用梯形法近似計(jì)算定積分用梯

21、形法近似計(jì)算定積分 ，分，分析結(jié)果與析結(jié)果與Pi的關(guān)系。的關(guān)系。10dxex10214dxx3.3 定積分的應(yīng)用l實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)7 平面曲線所圍成圖形的面積平面曲線所圍成圖形的面積l設(shè)設(shè) 和和l計(jì)算區(qū)間計(jì)算區(qū)間0,4上兩曲線所圍成的平面圖形的面積上兩曲線所圍成的平面圖形的面積xxexfcos)2(2)()2cos(4)(xxg實(shí)驗(yàn)8 平面曲線所圍成圖形的面積Clearf,g;fx_=Exp-(x-2)2 CosPi x;gx_=4 Cosx-2;Plotfx,gx,x,0,4,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,0,1;FindRootfx=gx,x,1.06FindRootfx=gx,x,2.93NIntegrategx-fx,x,1.06258,2.93742圖形顯示圖形顯示根據(jù)圖形使用根據(jù)圖形使用FindRoot函函數(shù)數(shù)(第六章介紹第六章介紹)計(jì)算兩曲線計(jì)算兩曲線的交點(diǎn)的交點(diǎn)使用使用NIntegrate函數(shù)函數(shù)(第九第九章介紹章介紹)計(jì)算兩條曲線間計(jì)算兩條曲線間所圍面積的數(shù)值積分所圍面積的數(shù)值積分3.3 定積分的應(yīng)用l練習(xí)練習(xí)8 設(shè)設(shè) 和和 l計(jì)算兩曲線所圍成的平面圖形的面積計(jì)算兩曲線所圍成的平面圖形的面積1121811310/3)(2345xxxxxxf3256284)(23xxxxg3