2022高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第三章三角函數(shù)B

1、2022高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第三章 三角函數(shù)B第5課 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（一）【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.能畫出正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖像，借助圖像理解正弦函數(shù)，余弦函數(shù)在，正切函數(shù)在上的性質(zhì)；2.了解函數(shù)的實(shí)際意義，能畫出的圖像；3.了解函數(shù)的周期性，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型【基礎(chǔ)練習(xí)】1. 已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期_6_；初相_2. 三角方程2sin(x)=1的解集為_3. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為_第3題4. 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移_個(gè)單位【范例解析】 例1.已知函數(shù)（）用五點(diǎn)法畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，

2、長(zhǎng)度為一個(gè)周期；（）說明的圖像可由的圖像經(jīng)過怎樣變換而得到分析：化為形式解：（I）由 列表，取點(diǎn)，描圖：111故函數(shù)在區(qū)間上的圖象是：（）解法一：把圖像上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到的圖像，再把的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像，然后把的圖像上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖像，再將的圖像上所有點(diǎn)向上平移1個(gè)單位，即得到的圖像解法二：把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像，再把圖像上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到的圖像，然后把的圖像上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖像，再將的圖像上所有點(diǎn)向上平移1個(gè)單位，即得到的圖像

3、例2.已知正弦函數(shù)的圖像如右圖所示（1）求此函數(shù)的解析式；（2）求與圖像關(guān)于直線對(duì)稱的曲線的解析式；（3）作出函數(shù)的圖像的簡(jiǎn)圖分析：識(shí)別圖像，抓住關(guān)鍵點(diǎn)解：（1）由圖知，即將，代入，得，解得，即（2）設(shè)函數(shù)圖像上任一點(diǎn)為，與它關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，得解得代入中，得（3），簡(jiǎn)圖如圖所示點(diǎn)評(píng)：由圖像求解析式，比較容易求解，困難的是待定系數(shù)求和，通常利用周期確定，代入最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求【反饋演練】1為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)，的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）；向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）；向左平移個(gè)單位長(zhǎng)

4、度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）；向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）其中，正確的序號(hào)有_2為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移_個(gè)單位長(zhǎng)度3若函數(shù)，（其中，）的最小正周期是，且，則_2_；_ 4在內(nèi)，使成立的取值范圍為_5下列函數(shù)：； ； 其中函數(shù)圖象的一部分如右圖所示的序號(hào)有_6如圖，某地一天從6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)（1）求這段時(shí)間的最大溫差；（2）寫出這段時(shí)間的函數(shù)解析式解：（1）由圖示，這段時(shí)間的最大溫差是（2）圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)的半個(gè)周期，解得由圖示，這時(shí)，將代入上式，可取綜上，所求的解析式為

5、（）7如圖，函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，且該函數(shù)的最小正周期為（1）求和的值；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的值解：（1）將，代入函數(shù)得，因?yàn)?，所以又因?yàn)樵摵瘮?shù)的最小正周期為，所以，因此（2）因?yàn)辄c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以因?yàn)?，所以，從而得或即或?課 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（二）【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.理解三角函數(shù)，的性質(zhì)，進(jìn)一步學(xué)會(huì)研究形如函數(shù)的性質(zhì)；2.在解題中體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想方法，利用三角恒等變形轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)來研究【基礎(chǔ)練習(xí)】1.寫出下列函數(shù)的定義域：（1）的定義域是_；（2）的定義域是_2函數(shù)f (x) = | sin x +cos

6、 x |的最小正周期是_（，0）3函數(shù) 的最小正周期是_4. 函數(shù)y=sin(2x+)的圖象關(guān)于點(diǎn)_對(duì)稱5. 已知函數(shù) 在（，）內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是_【范例解析】例1.求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）解：（1）即，故函數(shù)的定義域?yàn)榍遥?）即故函數(shù)的定義域?yàn)辄c(diǎn)評(píng)：由幾個(gè)函數(shù)的和構(gòu)成的函數(shù)，其定義域是每一個(gè)函數(shù)定義域的交集；第（2）問可用數(shù)軸取交集例2求下列函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間：（1）； （2）；解：（1）因?yàn)?，故原函?shù)的單調(diào)減區(qū)間為（2）由，得，又，所以該函數(shù)遞減區(qū)間為，即點(diǎn)評(píng)：利用復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意定義域的限制例3求下列函數(shù)的最小正周期：（1）；（2） 解：（1）由函數(shù)的最小正周期為

7、，得的周期（2） 點(diǎn)評(píng)：求三角函數(shù)的周期一般有兩種：（1）化為的形式特征，利用公式求解；（2）利用函數(shù)圖像特征求解【反饋演練】1函數(shù)的最小正周期為_，2設(shè)函數(shù)，則在上的單調(diào)遞減區(qū)間為_3函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_4設(shè)函數(shù)，則的最小正周期為_5函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是_6已知函數(shù)（）求的定義域；（）若角在第一象限且，求解：（） 由得，即故的定義域?yàn)椋ǎ┯梢阎獥l件得從而7 設(shè)函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸是直線（）求；（）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（）畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像解：（）的圖像的對(duì)稱軸， （）由（）知由題意得所以函數(shù)（）由x0y1010故函數(shù)第7課 三角函數(shù)的值域與最值【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.掌握三角函數(shù)的值域與最

8、值的求法，能運(yùn)用三角函數(shù)最值解決實(shí)際問題；2.求三角函數(shù)值域與最值的常用方法：（1）化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)形式，利用函數(shù)的有界性或單調(diào)性求解；（2）化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)形式的一元二次式，利用配方法或圖像法求解；（3）借助直線的斜率的關(guān)系用數(shù)形結(jié)合求解；（4）換元法【基礎(chǔ)練習(xí)】1.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 1 2.函數(shù)的最大值等于 3.函數(shù)且的值域是_4.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 4 【范例解析】例1.（1）已知，求的最大值與最小值（2）求函數(shù)的最大值分析：可化為二次函數(shù)求最值問題解：（1）由已知得：，則，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最小值（2）設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)，有最大值為點(diǎn)評(píng)：第（1）小題利用消元

9、法，第（2）小題利用換元法最終都轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題；但要注意變量的取值范圍例2.求函數(shù)的最小值分析：利用函數(shù)的有界性求解解法一：原式可化為，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值為解法二：表示的是點(diǎn)與連線的斜率，其中點(diǎn)B在左半圓上，由圖像知，當(dāng)AB與半圓相切時(shí)，最小，此時(shí)，所以的最小值為點(diǎn)評(píng)：解法一利用三角函數(shù)的有界性求解；解法二從結(jié)構(gòu)出發(fā)利用斜率公式，結(jié)合圖像求解例3.已知函數(shù)，（I）求的最大值和最小值； （II）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：觀察角，單角二次型，降次整理為形式 解：（） 又，即，（），且，即的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：第（）問屬于恒成立問題，可以先去絕對(duì)值，利用參數(shù)

10、分離轉(zhuǎn)化為求最值問題本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí)，以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力【反饋演練】1函數(shù)的最小值等于_1_2當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是_4 _3函數(shù)的最大值為_，最小值為_.4函數(shù)的值域?yàn)?. 5已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值等于_6已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值解：（）因此，函數(shù)的最小正周期為（）因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為第課 解三角形【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能運(yùn)用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途徑：根據(jù)所給條件靈活運(yùn)用正弦定理

11、或余弦定理，然后通過化邊為角或化角為邊，實(shí)施邊和角互化【基礎(chǔ)練習(xí)】1在ABC中，已知BC12，A60°，B45°，則AC.2在中，若，則的大小是_.3在中，若，則【范例解析】例1. 在ABC中，a，b，c分別為A，B，C的對(duì)邊，已知，（1）求的值；（2）求的值分析：利用轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系解：（1）由（2）由得由余弦定理得： ，解得：或，若，則，得，即矛盾，故點(diǎn)評(píng)：在解三角形時(shí)，應(yīng)注意多解的情況，往往要分類討論例2.在三角形ABC中，已知，試判斷該三角形的形狀解法一：(邊化角)由已知得：，化簡(jiǎn)得，由正弦定理得：，即，又，又，或，即該三角形為等腰三角形或直角三角形解法二：(角化邊)

12、同解法一得：，由正余弦定理得：，整理得：，即或，即該三角形為等腰三角形或直角三角形點(diǎn)評(píng)：判斷三角形形狀主要利用正弦或余弦定理進(jìn)行邊角互化，從而利用角或邊判定三角形形狀例3.如圖，D是直角ABC斜邊BC上一點(diǎn)，AB=AD，記CAD=，ABC=.（1）證明：；（2）若AC=DC，求分析：識(shí)別圖中角之間的關(guān)系，從而建立等量關(guān)系.（1）證明：，（2）解：AC=DC，.，.點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)是從圖中尋找到角之間的等量關(guān)系，從而建立三角函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求出的值.【反饋演練】1在中，則BC =_2的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且，則_3在中，若，則的形狀是_等邊_三角形 4若的內(nèi)

13、角滿足，則= 5在中，已知，（）求的值；（）求的值解：（）在中，由正弦定理，所以（）因?yàn)?，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是，6在中，已知內(nèi)角，邊設(shè)內(nèi)角，周長(zhǎng)為（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值解：（1）的內(nèi)角和，由得應(yīng)用正弦定理，知，因?yàn)?，所以，?）因?yàn)?，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值7在中，（）求角的大小；（）若最大邊的邊長(zhǎng)為，求最小邊的邊長(zhǎng)解：（），又，（），邊最大，即又，角最小，邊為最小邊由且，得由得：所以，最小邊第9課 解三角形的應(yīng)用【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.運(yùn)用正余弦定理等知識(shí)與方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題2.綜合運(yùn)用三角函數(shù)各種知識(shí)和方法解決有關(guān)問題，深化對(duì)三角公式

14、和基礎(chǔ)知識(shí)的理解，進(jìn)一步提高三角變換的能力【基礎(chǔ)練習(xí)】1在200高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為_ 2或 2某人朝正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好km，那么x的值為_ km3一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東，這時(shí)船與燈塔的距離為 km4如圖，我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設(shè)于B，D，已知為邊長(zhǎng)等于的正三角形，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)于C時(shí)，測(cè)得，求炮擊目標(biāo)的距離解：在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：答：線段的長(zhǎng)

15、為 【范例解析】例1（1）例 .如圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？分析：讀懂題意，正確構(gòu)造三角形，結(jié)合正弦定理或余弦定理求解解法一：如圖(2)，連結(jié)，由已知，例1（2），又，是等邊三角形，由已知，在中，由余弦定理，例1（3）因此，乙船的速度的大小為（海里/小時(shí)）答：乙船每小時(shí)航行海里解法二：如圖（3），連結(jié)，由已知，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小為（海里/小時(shí)）答：乙船每小時(shí)航行海里點(diǎn)評(píng)：解法二也是構(gòu)造三角形的一種方法，但計(jì)算量大，通過比較二種方法，學(xué)生要善于利用條件簡(jiǎn)化解題過程【反饋演練】1江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為和，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成角，則兩條船相距_m 2有一長(zhǎng)為1km的斜坡，它的傾斜角為，現(xiàn)要將傾斜角改為，則坡底要伸長(zhǎng)_1_km3某船上的人開始看見燈塔在南偏東方向，后來船沿南偏