必修4第三章三角恒等變換教材分析與教學(xué)建議.

1、必修4第三章三角恒等變換教材分析與教學(xué)建議臺州市教育局教研室蔣榮清本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換。三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點上。通過本章的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力，使學(xué)生體會三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會它們在數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。、課標與大綱教學(xué)要求對比內(nèi)容課程標準教學(xué)大綱區(qū)別兩角 和與 差的 正 弦、 余 弦、 正切 公式1. 經(jīng)歷用向量的數(shù)量積 推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過 程，進一步體會向量方法的作 用。2. 能用兩角差的余弦公 式導(dǎo)出兩角和的余弦及兩角和 與差的

2、正弦、正切公式，了解它 們的內(nèi)在聯(lián)系。1. 掌握兩角和與差的 正弦、余弦、正切公式；掌握 二倍角的正弦、余弦、正切公 式。2. 通過公式的推導(dǎo)，了 解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng) 邏輯推理能力。1. 關(guān)于公式的推 導(dǎo)，課標降低 了要求。2. 關(guān)于公式的推 導(dǎo)，課標強調(diào) 了用向量的方 法。簡單 的三 角恒 等變 換能運用上述三角公式，進行簡單 三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等 式證明。（包括引出積化和差、 和差化積、半角公式，但不要求 記憶。）能正確運用三角公式， 進行簡 單三角函數(shù)式的化簡、求值和 恒等式證明。（包括引出積化 和差、和差化積、半角公式， 但不要求記憶。）公式的應(yīng)用要求大 致一樣，課標對

3、應(yīng) 用的含義更加廣 泛，三角恒等變換 的目的不止限于化 簡、求值和恒等式 證明，其應(yīng)用的含 義更在于實際生活 中。二、知識框圖三、教材編寫意圖及特點1. 三角恒等變換的學(xué)習(xí)以代數(shù)變換與同角三角函數(shù)式的變換的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，和其他數(shù)學(xué)變換一樣，它包括變換的對象，變換的目標，以及變換的依據(jù)和方法等要素。本章變換的 對象要由只含一個角的三角函數(shù)式拓展為包含兩個角的三角函數(shù)式，因此建立起一套包含兩個角的三角函數(shù)式變換的公式就是本章的首要任務(wù)，也是3.1節(jié)的中心內(nèi)容。2. 由于和、差、倍之間存在的關(guān)系，和角、差角、倍角的三角函數(shù)之間必然存在緊密的內(nèi)在聯(lián)系，因此我們可以不必孤立地去一一推導(dǎo)這些公式，而只要推導(dǎo)

4、出一個公式作為基礎(chǔ)，再利用這種聯(lián)系性，用邏輯推理的方法就可以得到其他公式。選擇哪個公式作為基礎(chǔ)呢？過去的教材曾經(jīng)進行過許多探索，其基本出發(fā)點都是努力使公式的證明過程盡量簡明易懂，易于被學(xué)生所接受， 這里由于向量工具已被引入，因此選擇了兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)。應(yīng)當(dāng)說，這樣處理使得公式的得出成為一個純粹的代數(shù)運算過程，大大降低了思考難度（盡管同時也失去了一些對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的機會）。另外，對于眾多公式的推導(dǎo)順序， 也可以有多種不同的安排。 本章中先探索出了兩角差 的余弦公式，然后以它為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出其他公式，具體過程如下：C（） C（） S（）T（）C2 ,S2 ,T2實際教學(xué)中，老師可以根

5、據(jù)學(xué)生情況，對式的推導(dǎo)順序作出自己的選擇。3. 本章內(nèi)容安排的一條明線是建立公式，學(xué)習(xí)變換，還有一條暗線就是發(fā)展推理能力和運算能力，并且發(fā)展能力的要求不僅體現(xiàn)在學(xué)習(xí)變換的對程之中，也體現(xiàn)在建立公式的過程之中。因此在本章全部內(nèi)容的安排中，特別注意恰時恰點地提出問題，弓I導(dǎo)學(xué)生用對比、 聯(lián)系、化歸的觀點去分析、處理問題，使他們能依據(jù)三角函數(shù)式的特點，逐漸明確三角恒等 變換不僅包括式子的結(jié)構(gòu)形式變換，還包括式子中的角的變換，以及不同三角函數(shù)之間的變換，引導(dǎo)學(xué)生逐漸拓廣有關(guān)公式在變換過程中的作用，強化運用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計變換思路的意識，并且也注意了這種引導(dǎo)的漸進性和層次性，4. 本章內(nèi)容安排貫徹“

6、刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調(diào)細枝末節(jié)的內(nèi) 容”的理念，嚴格控制了三角恒等變換及其應(yīng)用的繁、難程度，尤其注意了不以半角公式，積化和差公式以及和差化積公式作為變換的依據(jù)，而只把這些公式的推導(dǎo)作為變換的基本練習(xí)。教材特點1.削枝強干，精簡內(nèi)容 。2 .突出數(shù)學(xué)思想方法，在類比、推廣、特殊化等一般邏輯思考方法上進行引導(dǎo)。3 以問題為引導(dǎo)，加強過程與聯(lián)系，切實改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。四、教學(xué)建議1 .課時分配3.1.1兩角差的余弦公約1課時3.1.2兩角和與差的正弦、余弦和正切公式約1課時3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式約1課時小結(jié)復(fù)習(xí)約1課時3.2簡單的三角恒等變換

7、約3課時小結(jié)復(fù)習(xí)約1課時總計約8課時2.重點難點3.1節(jié)重點是通過探索和討論交流，導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的十一個公式，并了解 它們的內(nèi)在聯(lián)系。難點是兩角差的余弦公式的探索和證明。3.2節(jié)重點是掌握三角變換的內(nèi)容、思路和方法，體會三角變換的特點。難點是公式的 靈活應(yīng)用。3分析說明本章內(nèi)容的重點之一是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)及在推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的思想方法，同時 它也是難點。為了突出重點、突破難點，教學(xué)中可以設(shè)計一定的教學(xué)情景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形 結(jié)合的角度出發(fā)，利用單位圓中的三角函數(shù)線、三角形中的邊角關(guān)系等建立包含的正弦、 余弦值的等量關(guān)系。 前一章中已經(jīng)明確指出， 向量的數(shù)量積是解決距離與夾由于學(xué)生剛

8、接觸向量， 他角問題的工具， 在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)中能夠體現(xiàn)它的作用。 們還不太習(xí)慣用向量工具解決問題，因此這里需要教師作引導(dǎo)。教學(xué)時應(yīng)當(dāng)注意下面四個要點： 在需要學(xué)生聯(lián)系已學(xué)過的其它知識時，有意識的引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想向量知識； 充分利用單位圓，分析其中有關(guān)幾何元素（角的終邊及其夾角）的關(guān)系，為向量方法 的運用做好準備； 探索過程的安排，應(yīng)當(dāng)先把握整體，然后逐步追求細節(jié)，在補充完善細節(jié)的過程中， 需要運用分類討論思想， 突破兩角差的余弦公式的推導(dǎo)這一難點后， 其他所有公式都可以通 過學(xué)生自己的獨立探索而得出。 本章不僅關(guān)注使學(xué)生得到差（和） 角公式， 而且還特別關(guān)注公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方

9、法。 在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想以及向量方法的應(yīng)用；從兩角差的余弦公式推出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式 的過程中，始終引導(dǎo)學(xué)生體會化歸思想；在應(yīng)用公式進行恒等變換的過程中，滲透了觀察、 類比、 特殊化、 化歸等思想方法。 特別是充分發(fā)揮了 “觀察”“思考”“探究” 等欄目的作用， 對學(xué)生解決問題的一般思路進行引導(dǎo)。教材還對三角變換中的數(shù)學(xué)思想方法作了明確的總結(jié)。例如，在旁白中有“倍是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的，2是 的二倍 是 的二倍，這里蘊含著換元的思想” “這兩個式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)上有什么不同”等，這些都可 以成為我們加強對思想方法滲透的一

10、個重要的內(nèi)容，也是我們開展研究性學(xué)習(xí)的好素材。差）角本章強調(diào)了用向量方法推導(dǎo)差角的余弦公式， 并用三角函數(shù)之間的關(guān)系推導(dǎo)和 公式、 二倍角公式。 要把重點放在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和運算能力上， 降低變換的技巧性要 求。教學(xué)時應(yīng)當(dāng)把握好這種“度” ，遵循“標準”所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補充知識 點（如半角公式、積化和差與和差化積公式，這些公式只是作為基本訓(xùn)練的素材，結(jié)果不要 求記憶，更不要求運用） 。而且還表現(xiàn)在角及其函數(shù)類型上， 因此三 然后以這種關(guān)系為依據(jù)來選擇適當(dāng)?shù)?教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生以一般的數(shù)學(xué) （代 在類比、特殊化、化歸等思想方法上三角恒等變換與代數(shù)恒等變換、圓的幾何性質(zhì)等都有緊密聯(lián)

11、系，推導(dǎo)兩角差的余弦公式 的過程比較集中地反映了這種聯(lián)系， 從中體現(xiàn)了豐富的數(shù)學(xué)思想。 從數(shù)學(xué)變換的角度看， 角恒等變換與代數(shù)恒等變換既有相同之處又有各自特點。 相同之處在于它們都是運用一定的 數(shù)學(xué)工具對相應(yīng)的數(shù)學(xué)式子作“只變其形不變其質(zhì)”的數(shù)學(xué)運算，對其結(jié)構(gòu)形式進行變換。 由于三角函數(shù)式的差異不僅表現(xiàn)在其結(jié)構(gòu)形式上， 角恒等變換常常需要先考慮式子中各個角之間的關(guān)系， 三角公式進行變換， 這是三角恒等變換的主要特點。 數(shù)）變換思想為指導(dǎo)，加強對三角函數(shù)式特點的觀察， 多作引導(dǎo)，同時要注意體會三角恒等變換的特殊性。為了激發(fā)學(xué)生的自主探究、 動手實踐等的積極性， 充分利用本章設(shè)置的思考性問題和旁 注，用以啟發(fā)學(xué)生思考，提示關(guān)鍵所在，這樣做，既能為學(xué)生深刻理解所學(xué)內(nèi)容創(chuàng)造條件， 又能鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成獨立思考、 積極探索的習(xí)慣， 從而使得學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改進 得到具體落實，并切實提高學(xué)生