四邊形中常見輔助線的作法

1、作輔助線的方法 一：中點、中位線， 如遇條件中有中點， 于中線或中位線； 的目的。二：垂線、分角線，儒洋教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義課題教學(xué)目標重點、難點考點及考試要求延線，平行線。翻轉(zhuǎn)全等連。中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等 另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應(yīng)用某個定理或造成全等180 度,如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn) 得到全等形，這時輔助線的做法就會應(yīng)運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。 三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)

2、一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應(yīng)運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造 兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的 某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！?托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表） 五：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的

3、等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄Ｌ菪螁栴}巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂凇?如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。 證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。 直接證明有困難，等量代換少麻煩。四邊形 平行四邊形出現(xiàn)， 平移腰，移對角， 上述方法不奏效， 等積式子比例換， 斜邊上面作高線，對稱中心等分點。 兩腰延長作出高。 過腰中點全等造。 尋找線段很關(guān)鍵。 比例中項一大片。添加輔助線解特殊四邊形題在解決一些和四邊形有關(guān)的問題特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形

4、 時往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法 .和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)， 為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.平行四邊形中常用輔助線的添法連對角線或平移對角線：過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線 連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添 輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就

5、線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四 邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：(1)(2)(3)(4)(5)1利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖1已知點0是平行四邊形 ABCD的對角線AC的中點，四邊形 OCDE是平行四邊形. 求證:0E與AD互相平分.，所以 OC/ED,OC=DE,又由 0是 AC 的中點，得出 AO/ED,AO=ED,則四邊形AODE是平行四邊形，問題得證.證明:連結(jié)AE、OD，因為是四邊形 OCDE是平行四邊形，所以O(shè)C/DE , OC=DE，因為0是AC的中點，所以 A0/ED , AO=ED ,所以四

6、邊形AODE是平行四邊形，所以 AD與OE互相平分.說明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線 構(gòu)造平行四邊形.2. 利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形例2如圖2,在 ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF , ED/AC , FG/AC交BC分別為 D , G.求 證:ED+FG=AC.分析:要證明ED+FG=AC,因為DE/AC,可以經(jīng)過點E作EH/CD交AC于H得平行四邊形，得ED=HC, 然后根據(jù)三角形全等，證明FG=AH.c證明：過點E作EH/BC,交AC于H,因為ED/AC,所以四邊形 CDEH是平行四邊形，所以ED=HC,又FG/AC,

7、EH/BC,所以/ AEH= / B, / A= / BFG,又 AE=BF,所以 AEH FBG, 所以 AH=FG,所以 FG+DE=AH+HC=AC.說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對邊平行時，可通過作平行線構(gòu)造另一組對邊平行，得到平行四邊形解決 問題.3. 利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3如圖3,已知 AD是 ABC的中線，BE交AC于E,交 AD于F，且AE=EF.求證BF=AC. 分析：要證明BF=AC，一種方法是將BF和AC變換到同一個三角形中，利用等邊對等角；另一種方 法是通過等量代換，尋找和BF、AC相等的相段代換.尋找相等的線段的方法一般是構(gòu)造平行四邊形.證明：延長 AD到G，

8、使DG=AD，連結(jié)BG，CG，因為BD=CD，所以四邊形 ABGC是平行四邊形，所以 AC=BG ,AC/BG，所以/ 1 = / 4，因為 AE=EF，所以/ 1 = / 2,又/ 2= / 3，所以/ 1= / 4,所以 BF=BG=AC.說明：本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形.當(dāng)已知中點或中線應(yīng)思考這種方法 .二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例4如圖5,在 ABC中，/ ACB=90 , / BAC的平分線交 BC于點D , E是AB上一點，且AE=AC , E

9、F/BC交AD于點F,求證：四邊形 CDEF是菱形.分析：要證明四邊形 CDEF是菱形，根據(jù)已知條件，本題有量種判定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.根據(jù)AD是/ BAC的平分線，AE=AC，可通過連接CE，構(gòu)造等腰三角形，借助三線合一證明AD垂直CE.求AD平分CE.證明：連結(jié)CE交AD于點0,由AC=AE，得 ACE是等腰三角形，因為A0平分/ CAE，所以A0丄CE,且0C=0E，因為EF/CD，所以/ 1 = / 2,又因為/ E0F= / C0D，所以 D0C可以看成由 F0E繞點0旋轉(zhuǎn)而成，所以 0F=0D，所以CE、 DF互相垂直平分

10、.所以四邊形 CDEF是菱形.例5如圖6,四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證 EF+BF的 最小值等于DE長.分析：要證明EF+BF的最小值是DE的長，可以通過連結(jié)菱形的對角線BD，借助菱形的對角線互相垂直平分得到DF=BF，然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.證明：連結(jié)BD、DF.因為AC、BD是菱形的對角線，所以 AC垂直BD且平分BD ,所以 BF=DF，所以 EF+BF=EF+DF DE,當(dāng)且僅當(dāng)F運動到DE與AC的交點G處時，上式等號成立，所以 EF+BF的最小值恰好等于 DE的圖6說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計算題作

11、輔助線的不是很多，常見的幾 種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對角線.與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例6 如圖7,已知矩形 ABCD內(nèi)一點，PA=3 , PB=4, PC=5.求PD的長.分析：要利用已知條件，因為矩形 ABCD，可過P分別作兩組對邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾 股定理解決問題.解：過點P分別作兩組對邊的平行線EF、GH交AB于E,交CD于F,交BC于點H，交AD于G.

12、因為四邊形ABCD是矩形，PF2=CH2=PC2-PH2 , DF2=AE2=AP2-EP2 , PH2+PE2=BP2 ,P D2=PC2-PH 2+A P2-E P2=PC2+A P2-PB2=52+32-42=18,所以 所以所以P D=3 運G說明：本題主要是借助矩形的四個角都是直角，通過作平行線構(gòu)造四個小矩形，然后根據(jù)對角線得到 直角三角形，利用勾股定理找到PD與PA、PB、PC之間的關(guān)系，進而求到 PD的長.四、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多 決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題

13、的常用輔助線.例7如圖8,過正方形 ABCD的頂點B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求證：/ BCF= 2 / AEB.分析：由BE/AC , CF/AE , AE=AC，可知四邊形 AEFC是菱形，作 AH丄BE于H,根據(jù)正方形的性1質(zhì)可知四邊形 AHBO是正方形，從 AH=OB= 2 AC，可算出/ E= / ACF=30 ，/ BCF=15cJ證明：連接 BD交AC于0,作AH丄BE交BE于H. 在正方形 ABCD中，AC丄BD , AO=BO ,又 BE/AC , AH 丄 BE，所以 B0 丄 AC ,1所以四邊形AOBH為正方形，所以 AH=AO= 2 ac ,因為 因為

14、 所以 因為AEF= / ACF=30 所以/ ACB=45AE=AC，所以/ AEH=30 BE/AC , AE/CF ,ACFE是菱形，所以/AC是正方形的對角線，丄所以/ BCF=15 ，所以/ BCF= 2 / AEB.通過連接正方形的對角線構(gòu)1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì) 造正方形AHBO，進一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問題 . 與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（ 三角形和平行四邊形

15、；（4）延長兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例 8 已知，如圖 9，在梯形 ABCD 中，AD/BC , AB=AC , / BAC=90 , BD=BC , BD 交 AC 于點 0.求證：CO=CD.分析：要證明CO=CD，可證明/ COD= / CDO，由于已知/ BAC=90 ，所以可通過作梯形高構(gòu)造矩 形，借助直角三角形的性質(zhì)解決問題.證明：過點A、D分別作AE丄BC,DF丄BC ,垂足分別是E、F,則四邊形AEFD為矩形，因為AE=DF , AB=AC , AE 丄 BC , / BAC=90 ,1丄所以 AE=BE=CE= 2 BC，/ ACB=45 ，所以 AE=DF=

16、 2又DF丄BC,所以在 Rt DFB中,/ DBC=30又 BD=BC，所以/ BDC= / BCD=180 DBC ” 752+45 =75所以/ DOC= / DBC+ / ACB=30 所以/ BDC= / DOC，所以 C0=CD.c說明：在證明線段相等時，一般利用等角對等邊來證明，本題作梯形的高將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三 角形，進而根據(jù)直角三角形知識解決.所以 AC=DF，AD=CF ,為DE丄BC ,所以例9如圖10,在等腰梯形 ABCD中，AD/BC , AC丄BD , AD+BC=10 , DE丄BC于E.求DE的長. 分析：根據(jù)本題的已知條件，可通過平移一條對角線，把梯形轉(zhuǎn)化

17、為平行四邊形和直角三角形，借助 勾股定理解決.,BD=FD ,因解:過點D作DF/AC ,交BC的延長線于F,則四邊形ACFD為平行四邊形， 因為四邊形 ABCD 為等腰梯形，所以AC=DBBE=EF= 2 BF= 2 (BC+CF)= 2 (BC+AD)1=2 X 10=5.因為AC/DF,BD丄AC,所以BD丄DF,因為BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的長為5.F圖10說明：當(dāng)有對角線或垂直成梯形時 ，常作梯形對角線的平行線形來解決.和中位線有關(guān)輔助線的作法例10如圖11,在四邊形 ABCD中，AC于BD交于點0,分別交AC、BD于點H、G.求證：OG=OH.分析：欲證0G=O

18、H，而OG、OH為同一個三角形的兩邊，又 E、F分別是AB、CD中點，所以可試 想作輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題.證明：取AD因為E是AB，構(gòu)造平行四邊形，等腰三角形或直角三角AC=BD , E、F 分別是 AB、CD 中點，EF中點P,連結(jié)PE, PF. 的中點，F(xiàn)是CD的中點,1 1所以 PE/BD ,且 PE= 2 BD , PF /AC，且 PF = 2 AC , 所以/ PEF=/ PFE,又/ PEF= / OGH , / PFE= / OHG，所以/ OGH= / OHG , 所以O(shè)G=OH.說明：遇中點，常作中位線，借助中位線的性質(zhì)解題.梯形的輔助線口訣：梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變

19、為和。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位 線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選 取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：圖形作法平移腰，轉(zhuǎn)化為三角 形、平行四邊形。AE C平移對角線。轉(zhuǎn)化為 三角形、平行四邊形。延長兩腰，轉(zhuǎn)化為三 角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三 角形和矩形。A中位線與腰中點連 線。ErF梯 形 中 常 用 輔 助 線 的 添 法 梯 形 是殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四 邊形問題或三角形

20、問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)梯形內(nèi)平移兩腰延長兩腰過梯形上底的兩端點向下底作高 平移對角線連接梯形一頂點及一腰的中點。 過一腰的中點作另一腰的平行線。 作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋 梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。(一)、平移1、平移一腰：例 1.如圖所示，在直角梯形 ABCD 中，/ A = 90, AB / DC , AD = 15, AB = 16 ,

21、BC = 17.求 CD 的長.解：過點D作DE / BC交AB于點E.又AB / CD，所以四邊形 BCDE是平行四邊形.所以 DE = BC = 17, CD = BE.在Rt DAE中，由勾股定理，得AE2 = DE2 AD2，即 AE2 = 172 152 = 64.所以AE = 8.所以 BE = AB AE = 16 8 = 8.即 CD = 8.例2如圖，梯形 ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4 ,E求另一腰BC的取值范圍。解：過點B作BM/AD交CD于點在 BCM 中，BM=AD=4 ,CM=CD DM=CD AB=8 3=5 ,所以BC的取值范圍是：5 4BC5

22、 + 4,g卩 1BC)2(5叼2100AE2從而AC丄CE，于是 AC丄BD。例 6 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC , AC=15cm , BD=20cm，高 DH=12cm，求梯形 ABCD 的面積。N C f解：過點則四邊形S ABDS ACD S DCE。所以S梯形ABCD SDBE由勾股定理得EHJde2 DH 2Jac2 dh 2Jl52 1229(cm)BH QBD_DH 2 J202 12216 (cm)S DBE -BE DH - 所以22(9 16) 12150(cm2)，即梯形 ABCD的面積是150cm2。（二）、延長即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形

23、。例7如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC，/ B=50,/ C=80 , AD=2 , BC=5，求 CD 的長。解：延長BA、CD交于點E。在 BCE 中，/ B=50 ，/ C=80 。所以/ E=50 ，從而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EC ED=5 2=3例8.如圖所示，四邊形 ABCD中，AD不平行于狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形ABCD是等腰梯形.證明：延長AD、BC相交于點E,如圖所示./ AC = BD , AD = BC, AB = BA , DAB BA CBA./ DAB =/ CBA. EA = EB.又 AD = BC, DE = CE，/ E

24、DC =/ ECD.而/ E+/ EAB +/ EBA =/ E +/ EDC + / ECD = 180/ EDC = / EAB , DC / AB.又AD不平行于BC,四邊形ABCD是等腰梯形.（三）、作對角線即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6,在直角梯形 ABCD中，AD/BC , AB丄AD , BC=CD , BE丄CD于點E,求證：AD=DE。BC , AC = BD , AD = BC.判斷四邊形 ABCD的形ED作DE/AC，交BC的延長線于點 E,ACED是平行四邊形，2,AB=2DC，對角線AC丄BD，垂足為F,ABFE是等腰梯形。解：連結(jié)BD ,由 AD/B

25、C，得/ ADB= / DBE ;由 BC=CD，得/ DBC= / BDC o所以/ ADB= / BDE o又/ BAD= / DEB=90 , BD=BD ,所以 Rt BAD 也 Rt BED , 得 AD=DE o（四）、作梯形的高1、作一條高證：過點D作DG丄AB于點 則易知四邊形 DGBC是矩形，因為AB=2DC，所以AG=GBG, 所以DC=BG o從而 DA=DB，于是/ DAB= / DBA o又EF/AB，所以四邊形 ABFE是等腰梯形。2、作兩條高例11、在等腰梯形 ABCD中，AD/BC , AB=CD 求：（1）腰AB的長；（2）梯形ABCD的面積. 解：作 AE丄

26、BC于E, DF丄BC于F,又t AD / 四邊形AEFD是矩形， EF=AD=3cm/ AB=DC,/ ABC=60 , AD=3cm , BC=5cm ,BC,1BE FC (BC EF) 1cm2在 Rt ABE 中，/ B=60 , BE=1cm AB=2BE=2cm , AE 3BE 刀cmS梯形abcd(AD BC)AE 遠m2在梯形 ABCD中，AD為上底，ABCD，求證：BDAC o例12如圖，證：作 AE丄BC于E,作DF丄BC于F,則易知 AE=DF o例10如圖，在直角梯形 ABCD中，AB/DC , / ABC=90 過點F作EF/AB，交AD于點E,求證：四邊形在 R

27、t ABE 和 Rt DCF 中， 因為 ABCD , AE=DF。所以由勾股定理得 BECF。即BFCE。在 Rt BDF 和 Rt CAE 中由勾股定理得BDAC(五)、作中位線中，AB/DC , O 是 BC 的中點，/ AOD=90 ，求證：AB + CD=AD。1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。 例13如圖，在梯形 ABCD證：取AD的中點E,連接OE,則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而 OE=2 ( AB + CD)中，/ AOD=90,AE=DEOE所以 由、得AB + CD=AD。2、已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)

28、化為三角形中位線。例14如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC , E、F分別是BD、AC的中點，求證：(1) EF/AD ; ( 2)EF -(BC AD)2o證：連接 DF，并延長交 BC于點G,易證 AFD CFG 貝U AD=CG , DF=GFDE=BE，所以EF是 BDG的中位線由于從而EFEF/BG，且2bg因為AD/BG , BGBC CG BC AD所以EF/AD , EF1(BC AD)3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時，過這點構(gòu)造出兩個全等的三角形達到解題的目的。 例15、在梯形/ CBE。解：分別延長/ BAD=900ABCD 中，AD / BC ,/ BAD=900 , E 是 DC 上的中點，連接 AE和 BE,求/ AEB=2AE與BC，并交于F點且 AD / BC/ FBA=1800 -/ BAD=900又 AD / BC/ DAE= / F（兩直線平行內(nèi)錯角相等） / AED= / FEC（對頂角相等）DE=EC（ E點是CD的中點） ADE FCE（AAS ） AE=FE在 ABF 中/ FBA=900 且 AE=FE BE=FE （直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 在 FEB 中 / EBF= / FEB/ AEB= / EBF+ / FE