傅里葉變換的基本性質(zhì).

1、傅里葉變換的基本性質(zhì)（一）傅里葉變換建立了時間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系。在實(shí)際信號分析中，經(jīng)常 需要對信號的時域和頻域之間的對應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律有一個清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質(zhì)，并說明其應(yīng)用。、線性傅里葉變換是一種線性運(yùn)算。若/】熱（2） 燦）用（2）就（0+奶曲心少）+ &瑪（Jtu） （3-55）其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。例3-6利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號的頻譜函數(shù)F（禍。") = %) = - +罰)由式（3-55）得F（腫2 如卜；譏1 + ；從即（幼二A 2叭珂+1X Z2222 ja?二、對

2、稱性t3-5e)證明因?yàn)榱耍╢）二E宙2祇一。二r F（j珈3為J將上式中變量少換為x，積分結(jié)果不變，即再將t用皿代之，上述關(guān)系依然成立，即2(0 = fJ-CD最后再將x用t代替，則得 所以 證畢若了是一個偶函數(shù)，即/（-4 =幾），相應(yīng)有/（-也）二畑），則式（3-56）F3 T 2別打）成為C3-57)可見，傅里葉變換之間存在著對稱關(guān)系，即信號波形與信號頻譜函數(shù)的波形有著互相置 換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù) 2咒。式中的-e表示頻譜函數(shù)坐標(biāo)軸必須正負(fù)對調(diào)。例如:F(jf) = 1 2才(曲)=2jze5(cu)例3-7若信號的傅里葉變換為< r /2flj > r <2解

3、 將用U切）中的曲換成t,并考慮為曲的實(shí)函數(shù)，有心= F(g如*|E20|s| > r/2該信號的傅里葉變換由式（3-54）可知為根據(jù)對稱性呻0 2祇一聞f (5 = 4(罟)再將jf （-眄中的-田換成t，則得了。）為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖3-20所示。三、折疊性/(訂臺 F(血的實(shí)函數(shù)I/G）加虛函數(shù)四、尺度變換性jg 3 -0） 5次大于零的丈常敎）C 3-59）& a證明因a0，由 M咖匸皿令，則乂 =加，代入前式，可得Qw二嚴(yán)沁空丄（岸）7a a a證畢函數(shù),（加）表示了沿時間軸壓縮（或時間尺度擴(kuò)展）a倍，而 吃則表示序U）沿頻率軸擴(kuò)展（或頻率尺度壓縮）a倍。該性質(zhì)

4、反映了信號的持續(xù)時間與其占有頻帶成反比，信號持續(xù)時間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的展寬倍數(shù)，反之亦然。卩 |f| < r/4例3-8已知 1°艸"2，求頻譜函數(shù)。m）=解前面已討論了i <r/2耳的頻譜函數(shù)，且根據(jù)尺度變換性，信號/比00）的時間尺度擴(kuò)展一倍，即波形壓縮了一半, 因此其頻譜函數(shù)鞏妙氣鯊）亡沁中兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖 3-21所示。-rZ 207 2切T團(tuán) 3-31五、時移性(3-60)此性質(zhì)可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證明?！睍A創(chuàng)Fr/2*加它表明若在時域/平移時間環(huán)，則其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變。E0 < / <

5、 r例3-9求.0 心小的頻譜函數(shù)鞏叭解：根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號和傅里葉變換的時移性，有列嚴(yán)）=氏場（¥>拖"六、頻移性f（/）嚴(yán)*科血年亦 t3-Sl）證明治宀曲卜匚 北滬 叫“匚/©嚴(yán)必二嗆（少干吧）證畢頻移性說明若信號了乘以£3，相當(dāng)于信號所分解的每一指數(shù)分量都乘以宀,這就使頻譜中的每條譜線都必須平移®0 ,亦即整個頻譜相應(yīng)地搬移了吧 位置。頻譜搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用，諸如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等 過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜搬移實(shí)現(xiàn)原理是將信號/乘以所謂 載頻信號8'嗎'或'必4孑，

6、即/©fly 一扌札/（曲+叫）+丙L/g-碼J汕/W sb 珂r同丿+£1)-廳/0-0)七、時域微分性企FW 審月（嚴(yán)）（3-02）證明:因?yàn)?（0=r占0哦丹冊m 氏'一0"=丄P /窗0確N乜a兩邊對t求導(dǎo)數(shù)，得竝2宀所以>砂的)dl證畢解：因?yàn)榉福?1由時域微分性F(a = O謝同理，可推出 dt例3-10求7（f）=茁®的頻譜函數(shù)鬥血）。例3-11圖3-22所示信號/（f）為三角形函數(shù)求其頻譜函數(shù)鞏血）。解：將/微分兩次后，得到圖3-22（c）所示函數(shù)，其表達(dá)式為101/'(f)二一占(H + t)-占 G) + -占Q

7、-t)TTT由微分性MGsw恥扣+宀=2COE £Ur 所以T（Jm）立傅里葉變換的基本性質(zhì)（二）八、頻域微分性例 3-12解：因?yàn)?）今3彎學(xué)d（B求7© =力（f）的頻譜函數(shù)陀聞。根據(jù)頻域微分性九、時域積分性（3-63）八）今磯皿）了0妙今聖迪 +訝咖3» 皿(3-64)例3-13根據(jù)哄） 1和積分性求/©二D（f）的頻譜函數(shù)。，根據(jù)時域積分性例3-14求圖3-23所示信號的頻譜函數(shù)鞏阿。丄小/'co =-巴£十丁/ 2)-廳 - t/2)解：/()對£求兩次微分后，得書芯八f) Ip® _JL嚴(yán)皿二；3血(竺)

8、rTT 2由時域積分性/=r sin( )-hjrxO(Qj) = sin() =)/(j)二 f 了'W必VpTco 2roj 22sin(號) +疵/O)占)=JZ迓flj) +-t/2 0r/2l/r1A-t/Z C r/2S3 - 33十、頻域積分性111怦亍斯叭)+嚴(yán)注嚴(yán)皿C3-65)/©例3-15已知_ sm(7)丁，求F(J叭解：因?yàn)?電sin(/)=丄&尹一g")1) - ?(£p + T> = j疋帛(aj + I) 占-1) 2/2j根據(jù)頻域積分性G 丄丿圧 00+1） 一 占 b -1）計(jì)口®+U 鞏由-1）1

9、、時域卷積定理若7! W 0耳（網(wǎng)弭f耳（腫）則心E53證明:月心W 7 ©=r r川訕（f詁嚴(yán)必=JI9一 0齊r如-計(jì)'幾= J-®久碼二也（J阿£少3處二耳0少）片10皿）證畢J0J0'fa例3-16圖3-24（a）所示的三角形函數(shù)嚴(yán)-I41 - £r0<r> r可看做為兩個如圖3 24（b）所示門函數(shù) 譜函數(shù)只“）。卷積。試?yán)脮r域卷積定理求其頻解:(a)-Til 0r/2/© = 口衛(wèi)）2川）一 r所以A例3-17 一個信號幾）的希伯特變換了是/和懇的卷積，即A11嚴(yán) fM解:因?yàn)? 2兀 S卽(一 =sg

10、nC (D)則對稱性jt一-J £gn(由)由時域卷積定理/（f） = /（戶一-嚴(yán)妙仙）兀冋 皿11/r-T 0-l/r(b)國 3 -33（1/吟書0(c)傅里葉變換的基本性質(zhì)（三）十二、頻域卷積定理3 ® F耳(少)A W f耳0皿)農(nóng)2亍緯行&尸嚀、適）2C3-075川,）乙（/）尺心2胡耳仃切）例3-18利用頻域卷積定理求/© =力©的傅里葉變換鞏阿0解:因?yàn)橛蓪ΨQ性Jt « 2圧石（-曲）=-2-ffS （少所以根據(jù)頻域卷積定理 和ZU©，有序匕少）=一27才（05）卜 弦鞏呦 +丄2您嚴(yán)$ 3）+ S （心）*

11、= JTlS（O?） + 3 3 * （）_£UF（jm）二嚴(yán)片何-（）十三、帕塞瓦爾定理3-SS）/1 （01碼（腫）弭W盡g2忙F（3-69）可推廣若小）為實(shí)函數(shù)，則匸肌心丄匚用（何賤（3-70）若皿鄧）為實(shí)函數(shù)，則40川0#川岡=Fj 五）（S-Tl例3-19求匸曲（沁。解：因Q-12&i（劇2m 辿砂由由帕塞瓦爾定理可得血）（咖由=-GJgK2十四、奇偶性若咖沁' =戟町+空，則當(dāng)/）為實(shí)函數(shù)時，則R（簡=R（£ii）JV（少） = -X（-田）（3-72）片（0）=|戸（丿血=S（a爐 O）=-評（一 G）若y®為實(shí)偶函數(shù)，即/（ = /

12、（-£），則（3-73）若了®為實(shí)奇函數(shù)，即了© =-八7，則列丿二承的應(yīng)珂二0（虛奇函數(shù)）（3-74）當(dāng)幾）為虛函數(shù)，即幾2必時，則F（血=鞏-）評二-職（-Q）衛(wèi)（妙=一丘（一勁X二忍一）（3 巧）傅里葉變換的性質(zhì)表格性質(zhì)名稱時域頻域1.線性碼（丿勁+迅（問）2.對稱性F32吋（一田）3.折疊性/H）4.尺度變換性y（M）浪丿巴） 口fl5.時移性幾±心6.頻移性”；（由干珂）7.時域微分卅(購y8.頻域微分9.時域積分f /（砧必F （間+詢:陀的10.頻域積分£-FS必J *11.時域卷積川也嗨（2）12.頻域卷積/CM®巧（

13、？眄*旳0呵2陋13.帕塞瓦爾定理周期信號的傅里葉變換周期信號雖然不滿足絕對可積的條件，但其傅里葉變換是存在的。由于周期 信號頻譜是離散的，所以它的傅里葉變換必然也是離散的， 而且是由一系列沖激 信號組成。下面先討論幾種常見的周期信號的傅里葉變換，然后再討論一般周期 信號的傅里葉變換。、復(fù)指數(shù)信號的傅里葉變換對于復(fù)指數(shù)信號i©二嚴(yán)M gJg(3-765因?yàn)?Zr亂0?），由頻移性復(fù)指數(shù)信號是表示一個單位長度的相量以固定的角頻率CO0隨時間旋轉(zhuǎn)，經(jīng)傅里葉變換后，其頻譜為集中于珂，強(qiáng)度為加 的沖激。這說明信號時間特性的 相移對應(yīng)于頻域中的頻率轉(zhuǎn)移。、余弦、正弦信號的傅里葉變換對于余弦信號

14、71 & = cos 陽=£-00 <00其頻譜函數(shù)毋=曲一町+ 2忒0? +礙） 2=%）十鳳£«+嗎）&-7 7)對于正弦信號討y _ /a (0 = sin 珂22-ca<ca磯"押呵_2噸+訶(3-7 S)它們的波形及其頻譜如圖3-25所示。三、單位沖激序列務(wù)的傅里葉變換若信號zw為單位沖激序列，即/(f) =(f) = E &£ - kY)（3-7B）3-eoj則其傅里葉級數(shù)展開式為對其進(jìn)行傅里葉變換，并利用線性和頻移性得1E0Wf (jflj)=亍工 2拓罠flj并0) =幷G) (3-31)式中

15、4茅?？梢?，時域周期為T的單位沖激序列，其傅里葉變換也是周期沖激序列，而頻域周期為G，沖激強(qiáng)度相等，均為G。周期單位沖激序列波形、傅里葉系數(shù)訊與頻譜函數(shù)Fg如圖3-26所示。建）-2T-T0 T2T t0)IpmiL-2Q-nO Q2G » 如何四、一般周期信號的傅里葉變換對于一般周期為T的周期信號了，其指數(shù)型傅里葉級數(shù)展開式為式中。二茅F冷以心叫對上式兩邊取傅里葉變換，并利用其線性和頻移性，且考慮到與時間藝無關(guān)，可得= £ £ 2陌罠£U MR =缶 y掄G) (3-82)JI"TDK"Cl式（3-82）表明，一般周期信號的傅里葉變

16、換（頻譜函數(shù)）是由無窮多個沖激函數(shù) 組成，這些沖激函數(shù)位于信號的各諧波頻率起。（陽=0±1上2,）處，其強(qiáng)度為相應(yīng) 傅里葉級數(shù)系數(shù)訊的2兀倍?？梢?，周期信號的頻譜是離散的。但由于傅里葉變換是反映頻譜密度的概念, 因此周期信號/的傅里葉變換 鞏何 不同于傅里葉系數(shù)瓦，它不是有限值, 而是沖激函數(shù)，這表明在無窮小的頻帶范圍（即諧頻點(diǎn)）取得了無窮大的頻譜值。例3-20圖3-27（a）表示一周期為了，脈沖寬度為廠，幅度為1的周期性矩 形脈沖信號，記為冷。試求其頻譜函數(shù)。-7-r/2 0 必 T3怦a上a 3 - 27ii*解 由式(3-26)可知，圖3-27(a)所示周期性矩形脈沖信號 代戶

17、恥)的傅 里葉系數(shù)為代入式(3-82),二 ©=學(xué) E £貳弩g!丄 2乙10 2 £111( 5=y占®- Q(3-83)可見，周期矩形脈沖信號耳的傅里葉變換由位于=處的沖激函數(shù)所組成，其在m =處的強(qiáng)度為圖3-27(b)給出了 F =情況下的頻譜圖 周期信號的頻譜周期信號的頻譜一個周期信號了，只要滿足狄里赫利條件，則可分解為一系列諧波分量之 和。其各次諧波分量可以是正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，也可以是指數(shù)函數(shù)。不同的周 期信號，其展開式組成情況也不盡相同。 在實(shí)際工作中，為了表征不同信號的諧 波組成情況，時常畫出周期信號各次諧波的分布圖形，這種圖形稱為信號的

18、頻譜， 它是信號頻域表示的一種方式。描述各次諧波振幅與頻率關(guān)系的圖形稱為振幅頻譜，描述各次諧波相位與頻率關(guān)系的圖形稱為相位頻譜。根據(jù)周期信號展成傅里葉級數(shù)的不同形式又分為單 邊頻譜和雙邊頻譜。1單邊頻譜若周期信號了的傅里葉級數(shù)展開式為式(3-15)，即/（0 = 4 + S0 8筋O + 似）3-21）M-L則對應(yīng)的振幅頻譜&和相位頻譜田*稱為單邊頻譜。例3-3求圖3-4所示周期矩形信號了的單邊頻譜圖。由/W波形可知，八)為偶函數(shù)，其傅里葉系數(shù)4(皿1知=亍必=-叫二土曲邊二沁也yffl =也+Z僉漠ex =丄+S 2誠COE沁2£-14】_!因此150.106 單邊振幅頻譜

19、如圖3-5所示。0.45:0.32-4r -r/zOr/Z4'、S 4 4)n2Q3Q耘Q6O7G圖3 -52雙邊頻譜若周期信號/的傅里葉級數(shù)展開式為式(3-17)，即(3-25)B則頻譜稱為雙邊頻譜。耳! I與總O所描述的振幅頻譜以及Ei的相位監(jiān)血兀-'與曲所描述的相位例3-4畫出圖3-4所示矩形周期信號/的雙邊頻譜圖形。解 由式(3-18)和圖3-4可知巧二d兔1 = 0 22F垃= 0 155罠廠dO右斤;斗=0 耳$ =-0.045 片士虛=0.053和嚴(yán)加氏的雙邊頻譜圖如圖3-6所示。:i 丁絆炸.I ',*'何島*3Q -QO Q 3QA arcta

20、n打-5Q -3Q -Q fi 3Q, 5Q從上例頻譜圖上可以看出，單邊振幅頻譜是指& =2網(wǎng)1與正附值的關(guān)系，雙邊振幅頻譜是指0"與正負(fù)九值的關(guān)系。應(yīng)注意,所以將雙邊振幅頻譜1刁=卜翅圍繞縱軸將負(fù)用一邊對折到摧一邊，并將振幅相加，便得到單邊振幅&頻 譜。當(dāng)兀為實(shí)數(shù)，且/各諧波分量的相位為零或±n圖形比較簡單時，也可將振幅頻譜和相位頻譜合在一幅圖中。比如，例3-4中/W的頻譜可用氏與科G3-7所示。關(guān)系圖形反映，如圖0.25-7Q-5Q* :1 i4u-3Q II:：；-5Q 7Q -Q 0 Q ah i ； 3- 73周期信號頻譜的特點(diǎn)圖3-7反映了周期矩

21、形信號了頻譜的一些性質(zhì)，實(shí)際上它也是所有周期信 號頻譜的普遍性質(zhì)，這就是：(1) 離散性。指頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線組成，這種頻譜稱為離散頻 譜或線譜。C =(2) 諧波性。指各次諧波分量的頻率都是基波頻率F的整數(shù)倍，而且相鄰諧波的頻率間隔是均勻的，即譜線在頻率軸上的位置是 O的整數(shù)倍。(3)收斂性。指譜線幅度隨ETra而衰減到零。因此這種頻譜具有收斂性或衰減性.周期信號的有效頻譜寬度在周期信號的頻譜分析中，周期矩形脈沖信號的頻譜具有典型的意義，得到 廣泛的應(yīng)用。下面以圖3-8所示的周期矩形脈沖信號為例，進(jìn)一步研究其頻譜寬 度與脈沖寬度之間的圖3-8關(guān)系。-T -r/20r/2 T田？ 8

22、圖3-8所示信號/的脈沖寬度為丁，脈沖幅度為超，重復(fù)周期為T，重復(fù)若將了展開為式(3-17)傅里葉級數(shù)，則由式(3-18)可得F =丄k聞g =竺E蘭蘭)(S-26)沖 T T yijT 01在這里瓦為實(shí)數(shù)。因此一般把振幅頻譜和相位頻譜合畫在一幅圖中，如圖3-9所示。-7Q-5Q?:*4*-3 -0 0 Q 3Q由此圖可以看出:G二空(1)周期矩形脈沖信號的頻譜是離散的，兩譜線間隔為F。(2)直流分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈幅遐和脈寬T，反比于sm K周期廠，其變化受包絡(luò)線丁的牽制。2儒忙r 4 4,、2申尺0 = 02 = ±1,12 J£D =(3) 當(dāng) 書時

23、，譜線的包絡(luò)線過零點(diǎn)。因此匸 稱為零分量頻率。(4)周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線，它可分解為無限多個頻率分量，但其主要能量集中在第一個零分量頻率之內(nèi)。因此通常把丁這段頻率范圍稱為矩形信號的有效頻譜寬度或信號的占有頻帶，記作（3-27；）顯然，有效頻譜寬度丘只與脈沖寬度丁有關(guān)，而且成反比關(guān)系。有效頻譜寬 度是研究信號與系統(tǒng)頻率特性的重要內(nèi)容， 要使信號通過線性系統(tǒng)不失真，就要 求系統(tǒng)本身所具有的頻率特性必須與信號的頻寬相適應(yīng)。對于一般周期信號，同樣也可得到離散頻譜，也存在零分量頻率和信號的占 有頻帶。周期信號頻譜與周期T的關(guān)系F面仍以圖3-8所示的周期矩形信號為例進(jìn)行分析。因?yàn)樗栽诿}沖寬度

24、保持不變的情況下，若增大周期則可以看出:(1)Q 二離散譜線的間隔F將變小，即譜線變密。各譜線的幅度將變小，包絡(luò)線變化緩慢，即振幅收斂速度變慢。由于r不變，故零分量頻率位置不變，信號有效頻譜寬度亦不變。圖3-10給出了脈沖寬度相同而周期廠不同的周期矩形脈沖信號的頻譜。由 圖可見，這時頻譜包絡(luò)線的零點(diǎn)所在位置不變， 而當(dāng)周期于增大時，頻譜線變密, 即在信號占有頻帶內(nèi)諧波分量增多，同時振幅減小。當(dāng)周期無限增大時，/®變 為非周期信號，相鄰譜線間隔趨近于零。相應(yīng)振幅趨于無窮小量，從而周期信號 的離散頻譜過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜，這將在下一節(jié)中討論。7=2r I > I I I I

25、27 -7 d T 27 R 聲AI £72-2jr/r ar = 4r-7aErfT*3G -2Q -Q 0 Q 2Q 3Q* 2;r/rT憂w如果保持周期矩形信號的周期T不變，而改變脈沖寬度,則可知此時譜線2用（B 間隔不變。若減小，則信號頻譜中的第一個零分量頻率T增大，即信號的頻譜寬度增大，同時出現(xiàn)零分量頻率的次數(shù)減小，相鄰兩個零分量頻率間所含 的諧波分量增大。并且各次諧波的振幅減小，即振幅收斂速度變慢。若增大,則反之。四、周期信號的功率譜周期信號了©的平均功率可定義為在1G電阻上消耗的平均功率，即周期信號了的平均功率可以用式（3-28）在時域進(jìn)行計(jì)算，也可以在頻域進(jìn)

26、行計(jì)算。若/的指數(shù)型傅里葉級數(shù)展開式為則將此式代入式（3-28），并利用瓦的有關(guān)性質(zhì)，可得30-29)2與沖G的關(guān)系稱為周期信號的功該式稱為帕塞瓦爾（Parseval）定理。它表明周期信號的平均功率完全可以在 頻域用瓦加以確定。實(shí)際上它反映周期信號在時域的平均功率等于頻域中的直 流功率分量和各次諧波平均功率分量之和。 率頻譜，簡稱為功率譜。顯然，周期信號的功率譜也是離散譜。例3-5試求圖3-8所示周期矩形脈沖信號了©在有效頻譜寬度內(nèi)，諧波分量 所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。設(shè)解因?yàn)榍啥?5說5作出頻譜和功率譜圖，如圖3-11所示。第一個零分量頻率為二亜二4血T所以在信號

27、頻譜寬度內(nèi)，包含一個直流分量和四個諧波分量。1/5*T :-T : ti 32兀16?r 0167r327r + *:t:* 亠48兀 J_> iD1/2:5*叩；-4眈 T :32兀16?r0167r 32yr + *圖 3-111 fZ/a丄 *尸=上嚴(yán)陽=02琢周期信號的平均功率為丁5在有效頻譜寬度內(nèi)信號的平均功率為耳=1對+勿對+1對+1球+1時2 £+£曲G”時卑+弗（¥）= 0-閭翊 0.1806=0.9F 0.2從上式可以看出，在所給出的周期矩形脈沖情況下，包含在有效頻譜寬度內(nèi) 的信號平均功率約占整個信號平均功率的 90%非周期信號的頻譜非周期

28、信號的頻譜函數(shù)對于周期信號/，已知它可表示為式中VC：嚴(yán)叫(3-31)耳e竺-冬寸妙Ci /將式(3-31)改寫為當(dāng)信號/ W的周期尸趨于無限大時，由上節(jié)討論可知譜線間隔趨于無窮小,譜線密集成為連續(xù)頻譜，離散變量變?yōu)檫B續(xù)變量，即TTgGT 畑總GT田此時記FU田)=嚴(yán) 耳7'= C4嚴(yán)泓(3-33)用0呦稱為頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)，其意義為單位頻率上的諧波幅度。鞏臨為田的復(fù)函數(shù)，可寫作其中I FO少）1代表非周期信號中各頻率分量幅值的相對大小，輻角 代阿則代 表相應(yīng)各頻率分量的相位。由于SO = 9溼應(yīng)可得Sje-2兀所以式（3-30）在嚴(yán)Too時為f（f） = r 鞏血嚴(yán)血二丄胡

29、m（3-34）'-0 2 更2応 'f該式表明，一個非周期信號可以看做是無限多個幅度無限小的復(fù)指數(shù)諧波之和, d迪而其中每一個分量的復(fù)數(shù)振幅為2唐。、傅里葉變換式（3-33）和式（3-34）是一對很重要的變換式，現(xiàn)重寫如下:FO田）=畑-叫（3-35）J/« =二誠泗為2用小前者是由信號的時間函數(shù)變換成頻率函數(shù),稱為傅里葉正變換式，有時記為后者是由信號的頻率函數(shù)變換為時間函數(shù),稱為傅里葉反變換式。有時記為如果上述變換中的自變量不用角頻率 少而用頻率/，則由于 "2對，可寫為<-CDL（3-3S）頻譜密度函數(shù)FUa）是一復(fù)變函數(shù)，可以寫為片0由）二同a

30、=尺（»+丿産）式中10）|和比成）分別為尺（阿的模和相位，丘（呦和血）分別為鞏阿的實(shí) 部和虛部。傅里葉反變換式也可寫成恥咕O甘如£1>伽）嚴(yán)叫£側(cè)叫繃曲血亠罠創(chuàng)畑+J f 圖陀哪口血+陽d>=/. （0+龍C）可見一個非周期信號了也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量，也可 以分解為t的復(fù)變函數(shù)。若/®是實(shí)函數(shù)，貝W也）1和&皿）分別是co的偶函數(shù) 和奇函數(shù)，并且y () = f F(ty)匚0 5血十召(血陽心3-3S)三、傅里葉變換的存在條件前面根據(jù)周期信號的傅里葉級數(shù)導(dǎo)出了傅里葉變換。而從理論上講，傅里葉 變換也應(yīng)滿足一定條件

31、才能存在。傅里葉變換存在的必要和充分條件的證明需要 較多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，在此僅對其充分條件加以討論。如果信號"。滿足絕對可積條件，即曲 era (3-39)則其傅里葉變換只伽存在，并滿足反變換式。所有能量信號都能滿足上述絕對 可積條件。這一條件是傅里葉變換存在充分條件而不是必要條件。一些不滿足絕sm at對可積條件的函數(shù)也可有傅里葉變換，例如抽樣函數(shù)；：廠，階躍函數(shù)卩(f)，符 號函數(shù)和周期函數(shù)等。F面說明為什么式(3-39)成立時，/和鞏Jd) 定存在。因?yàn)橐轨柮?存在必須滿足弘斫匸幾)宀必2 式(3-40)中的被積函數(shù) 伽F是變量藝的函數(shù)，它可正可負(fù)。但如果取絕對值再 進(jìn)行積分

32、，則必有匸/嚴(yán)恥匸/嚴(yán)* =匚艸又,穴Ji ,故匸皿嚴(yán)恥匸口咖£(3-11)由式(3-41)可知，如果幾皆：則匸/如ig)必然存在。四、典型信號的頻譜函數(shù)1單邊指數(shù)信號單邊指數(shù)信號X ©的表達(dá)式為O 0(3-42)2 <0代入式(3-33)得J金（3-43）幅度頻譜為戸心胡"品牛心了，相位頻譜為arctaii 一a?？梢姺阮l譜和相位頻譜函數(shù)分別是頻率也的偶函數(shù)和奇函數(shù)。單邊指數(shù)信號/1®波形，幅度譜熱伽 和相位譜3（心）如圖3-12所示。冊）0S 3 - 121/df2偶雙邊指數(shù)信號偶雙邊指數(shù)信號人（°的表達(dá)式為加）二戶I-00 <

33、;/ <00 Ct >0（3-44）其頻譜函數(shù)為巧（購=工宀+1宀叫=（3-45）肉0也）1二故幅度頻譜2h爲(wèi)a品，相位頻譜d （少）八。伽波形和幅度頻譜肉（皿）1如圖3-13所示。奇雙邊指數(shù)信號對于奇雙邊指數(shù)信號上 D O 0(3-46)2>0其頻譜函數(shù)也伽）=-亡如+f尹嚴(yán)=P故31=2 fl?1Qa +flj血<0in>0其波形和幅度頻譜如圖3-14所示。f少(D罔 3-154符號函數(shù)信號符號函數(shù)或正負(fù)號函數(shù)以'別記，其表示式為/k (£) = sgn(i)= + "1i > 0-1Z<0(3-43)顯然，這種信號不滿

34、足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。對奇雙邊指數(shù) 信號K(Q=|-T F a>0日七/ >0當(dāng)0時，有國仲）=沖,故符號函數(shù)的頻譜函數(shù)(3-4S)尸4 0 出)| = E (妙=*其波形和幅度頻譜如圖3-15所示。單位直流信號對于單位直流信號，其表達(dá)式為咒=1 -M <£ <M (3-&0)可見該信號也不滿足絕對可積條件，但可利用上述無/f）取極限，可求得其傅里 葉變換。即去（）=叫/1（匸）=叫廠國=qtOqttO（3嗨fs）七怎顯然，這表明耳g 為一個沖激強(qiáng)度為2兀，出現(xiàn)在=0的沖激函數(shù)，即耳0曲)=2更肉£)(3-51)其波形和頻譜如

35、圖3-16所示。6單位階躍信號對于單位階躍信號 九（£）= 口®，可利用/1（f）求其傅里葉變換，即U « =兀2 to 71W =toffTO0TD故耳餉啷嚴(yán)皿二忸兀訂忸并尹諾莎Inn°_ =冗鳳眄利用”仏=+少2，有(3-52)其波形和頻譜如圖3-17所示。屈3 - 1百S3 - 177單位沖激信號聯(lián)d)單位沖激信號的時域表示式為死)=|5(必=1耳(g) = WQ) = 1其傅里葉變換式為0-53)1，它均勻分布于整個頻率范圍。其可見，單位沖激信號的頻譜函數(shù)是常數(shù) 波形和頻譜如圖3-18所示。A碼(7少)(1)08矩形脈沖信號矩形脈沖信號©

36、;的表達(dá)式為Ein（ 耳廿印）二允民-泗曲二&匸2其頻譜函數(shù)并有IDT2CFrOw) =St洱”0U守<0-r/2(>rZ2A砂做）E其波形和頻譜如圖3-19所示?？梢钥闯?，矩形脈沖信號在時域中處于有限g （）范圍內(nèi)，而其頻譜卻以'2規(guī)律變化，分布于無限寬的頻率范圍內(nèi)，但其主2疝要能量處于丁范圍。所以，通常認(rèn)為這種信號的占有頻帶為 曳=加"或巧=1"。表3-2列出 了常用信號的傅里葉變換。表3-2常用信號的傅里葉變換時間函數(shù)/傅立葉變換F （阿單邊指數(shù)信號i（£2 hg o > 0Ig + joj)偶雙邊指數(shù)信號2口 ©

37、cP奇雙邊指數(shù)信號符號函數(shù)呂gn(0 = “+1 r > 0-1 t <0直流信號/(f) = 5-00 </ <00單位階躍信號單位沖激信號1 £>0gg。.<0"（也）+ El炎忙=1幾）=矩形脈沖信號E k| <r<2"0|£| r/2郵如2）三角脈沖信號非正弦周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)周期信號是定義在（-3詞區(qū)間，每隔一定時間丁，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信 號。一般表示為f©二代+尬0燉=Q土毗聞（3- 式中，T為該信號的重復(fù)周期，其倒數(shù)稱為該信號的頻率，記為或角頻率對于非正弦周期函數(shù)，根據(jù)定理

38、3-1，可以用在區(qū)間Gq/d中巧內(nèi)完備的正交 函數(shù)集來表示。下面討論幾種不同形式的表示式。二角函數(shù)表示式由上節(jié)討論可知，三角函數(shù)集肚畀血用W2在區(qū)間皿 +G內(nèi)為完備正交函數(shù)集。根據(jù)定理3-1，對于周期為于的一類信號（函數(shù)）中任一個信號加）都可以精確地表示為山上購沁的線性組合，即對于代K+T卄9QU/(t) = + 工ccs/tQ 卓 sin席Ct)(3-13)2B_1由式（3-10），得Lj Lj U 2 -72 -72 一丁加sill艸匚滋(3-M)/(f)必式(3-13)稱為周期信號了的三角型傅里葉級數(shù)展開式。從數(shù)學(xué)上講，當(dāng)周期信 號丁滿足狄里赫利條件時才可展開為傅里葉級數(shù)。 但在電子、通

39、信、控制等工 程技術(shù)中的周期信號一般都能滿足這個條件，故以后一般不再特別注明此條件。若將式(3-13)中同頻率項(xiàng)加以合并，還可寫成另一種形式，即比較式(3-13)和式(3-15)，可看出傅里葉級數(shù)中各量之間有如下關(guān)系: _JJ_J nr4二J口；十廳A唱二-arctan 叫=4匚"埔2 右E =-A軋口帆4旦勺2式(3-15)稱為周期信號了。)的余弦型傅里葉級數(shù)展開式。式(3-13)和式(3-15)表明，任何周期信號，只要滿足狄里赫利條件，都可以分 解為許多頻率成整數(shù)倍關(guān)系的正(余)弦信號的線性組合。在式(3-13)中，呦是直流成分;聽53単Gf稱為基波分量，T為基波頻率;耳eQ，沁

40、""稱n次諧波分量。直流分量的大小，基波分量和各次諧波的 振幅、相位取決于周期信號了的波形。從式(3-14)和式(3-16)可知，各分量的 振幅口”，&和相位是烈G的函數(shù)，并有:4,耳是左的偶函數(shù)，即乞是總G的奇函數(shù)，即例3-2圖3-3所示鋸齒波，求其三角型傅里葉級數(shù)展開式。由圖3-3可知，該信號"。在一個周期區(qū)間(-n , n內(nèi)，有周期Z = 2jr由式(3-14)，得務(wù)二 00,12)常22b* 二一f f £in =- gf 占= (-1廣"一故該信號了。)的三角型傅里葉級數(shù)展開式為f (f) = 2(£in Qz- s

41、ill 2Q + sin 3Ck+ -)指數(shù)形式因?yàn)閺?fù)指數(shù)函數(shù)集 嚴(yán) go,士啓)在區(qū)間(2d+門內(nèi)也是一個完備的T -正交函數(shù)集，其中 0 ,因此，根據(jù)定理3-1，對于任意周期為r的信號/(j)， 可在區(qū)間(如心+T)內(nèi)表示為9網(wǎng)的線性組合。即(3-17M- «-0蛋馬專比八)沖(5)式中氏由式(3-10)可求得為丄式(3-17)稱為周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)展開式。由于*"通常為復(fù) 數(shù)，所以式(3-17)又稱為復(fù)系數(shù)傅里葉級數(shù)展開式。同一個周期信號了，既可以展開成式(3-13)所示的三角型傅里葉級數(shù)式, 也可以展成式(3-17)所示的指數(shù)型傅里葉級數(shù)式，所以二者之間必有

42、確定的關(guān) 系。因?yàn)?2(33/總)=+為仙我co3?3 電Sin科Q0代入式(3-13)，得27=y另牛(嚴(yán)+尹=1吃軌嚴(yán) J 沖2兀圧嚴(yán)£K./S-1Btd所以評血)二¥少"12耳=托2(S-19)2 宓 +兀» =衛(wèi)二 7一2-在周期信號展開式（3-17）中表示成復(fù)頻率為3±厲±2°±加的指數(shù)函 數(shù)之和。雖然由于引用而出現(xiàn)了角頻率-mG，但這并不表示實(shí)際上存在負(fù)頻 率，而只是將第n項(xiàng)諧波分量寫成了兩個指數(shù)項(xiàng)而出現(xiàn)的一種數(shù)學(xué)形式。 事實(shí)上, 總網(wǎng)斥M釦必然成對出現(xiàn)，且都振蕩在幵上，它們的和給出了一個振蕩頻率為?5

43、0的時間實(shí)函數(shù)，即生2加+企汀九.尹4 =如（曲S +?。┲芷谛盘柕膶ΨQ性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系要把已知周期信號了展開為傅里葉級數(shù)，如果y（f）為實(shí)函數(shù)，且它的波形 滿足某種對稱性，則在其傅里葉級數(shù)中有些項(xiàng)將不出現(xiàn)，留下的各項(xiàng)系數(shù)的表示 式也變得比較簡單。周期信號的對稱關(guān)系主要有兩種：一種是整個周期相對于縱 坐標(biāo)軸的對稱關(guān)系，這取決于周期信號是偶函數(shù)還是奇函數(shù)， 也就是展開式中是 否含有正弦項(xiàng)或余弦項(xiàng)；另一種是整個周期前后的對稱關(guān)系，這將決定傅里葉級 數(shù)展開式中是否含有偶次項(xiàng)或奇次項(xiàng)。下面簡單說明函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù) 的關(guān)系。1偶函數(shù)若周期信號/波形相對于縱軸是對稱的，即滿足AO = /（&#

44、163;（3-20）則是偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式中只含直流分量和余弦分量，即丸=0，（円= 0,12）4嚴(yán)耳務(wù)二L j cos胚吐2奇函數(shù)若周期信號/波形相對于縱坐標(biāo)是反對稱的，即滿足丙)T(£(3-21)此時Hf）稱為奇函數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式中只含有正弦項(xiàng)，即盤04仏瓦二一sin 肚出3奇諧函數(shù)若周期信號了波形沿時間軸平移半個周期后與原波形相對于時間軸像對 稱，即滿足(3-22)則/W稱為奇諧函數(shù)或半波對稱函數(shù)。這類函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式中只含有正 弦和余弦項(xiàng)的奇次諧波分量。4偶諧函數(shù)若周期信號了波形沿時間軸平移半個周期后與原波形完全重疊，即滿足（3-23）則為偶諧函數(shù)或半周期

45、重疊函數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式中只含有正弦和余弦 波的偶次諧波分量。熟悉并掌握了周期信號的奇、偶和奇諧、偶諧等性質(zhì)后，對于一些波形所包 含的諧波分量常可以作出迅速判斷，并使傅里葉級數(shù)系數(shù)的計(jì)算得到一定簡化。表3-1給出了周期信號波形的各種對稱情況、性質(zhì)，以及對應(yīng)的傅里葉系數(shù) an和bn的計(jì)算公式。表3-1周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)/性質(zhì)口 0也*0）偶函數(shù)/©=心只有直 流分量 和余弦 項(xiàng)2廠H4嚴(yán)吟0奇函數(shù)幾）=-川-0只有正 弦項(xiàng)00奇諧函數(shù)T/"） = -川£ 士?。┲挥衅?次諧波 分量0（n為奇數(shù)）4 rni£ /（»FB&l

46、t;nOr）（i（n為奇數(shù)）偶諧函數(shù)T ZG） = /G±）只有偶 次諧波 分量4 44（n為偶數(shù)）（n為偶數(shù)）四、傅里葉級數(shù)的性質(zhì)9若Sf" ，則/的傅里葉級數(shù)展開式具有以下性質(zhì)（證明略）:vG（1）/G）=IK 嚴(yán)«九叫）=工回嚴(yán)叫尹nvQ/w = 2：隘門嚴(yán)世0隕vO嚴(yán)q）= 2X>cF即肝fl-HOCd） /©cosQ=遲fl列 + 垃"前口iH-卻2(5) f(f) sin a M 工1應(yīng) E 網(wǎng)ti-7 馬用完備正交函數(shù)集表示信號正交矢量在平面空間中，兩個矢量正交是指兩個矢量相互垂直。如圖3-1(a)所示的直1 和是正交的，它

47、們之間的銳夾角為 90°顯然，平面空間兩個矢量正交的條 件是A| = 0C3-L)這樣，可將一個平面中任意矢量 A ,在直角坐標(biāo)系中分解為兩個正交矢量的 集合"曲2甩 (3-2)同理，對一個三維空間中的矢量 A必須用三維的正交矢量集 表示，如圖3-1(b)所示。有其中A1,直：，直審相互正交。在三維空間中 宀是一個完備的正交矢量集，而二維正交矢量集則在此情況下是不完備的。依次類推，在n維空間中，只有n個正交矢量A1，直2 ,止3 ,，A.構(gòu)成 的正交矢量集才是完備的，也就是說，在n維空間中的任 矢量曲，必須用n維正交矢量集來表示，即A二q爲(wèi)+CA +隔為+【+ 0厶雖然n維

48、矢量空間并不存在于客觀世界，但是這種概念有許多應(yīng)用。例如, n個獨(dú)立變量的一個線性方程，可看做 n維坐標(biāo)系中n個分量組成的矢量。正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交矢量分解的概念，可推廣應(yīng)用于信號分析，信號常以時間函數(shù)來表示， 故信號的分解，也就是時間函數(shù)的分解。仿照矢量正交概念，也可定義函數(shù)的正 交。設(shè)川勺和/衛(wèi)）是定義在山血）區(qū)間上的兩個實(shí)變函數(shù)（信號），若在山七）區(qū)Jtj龍 #2©戲=0©吒）間上有 則稱和了,。在&厶）內(nèi)正交。若血©，從）,.X（0定義在區(qū)間（厶上，并且在山上J，內(nèi)有杯皿加哪:(3-6)則/1在01心）內(nèi)稱為正交函數(shù)集，其中i, r=1,2,n

49、; 為一正數(shù)。如果(3-?>則稱為歸一化正交函數(shù)集。對于在區(qū)間（5上內(nèi)的復(fù)變函數(shù)集了準(zhǔn)）山）人（切，若滿足-nEr=ri則稱此復(fù)變函數(shù)集為正交復(fù)變函數(shù)集。其中斤®為£©的共軛復(fù)變函數(shù)。完備的正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集W（f）/之外，找不到另外一個非零函數(shù)與該 函數(shù)集（伽 中每一個函數(shù)都正交，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。否則為不 完備正交函數(shù)集。對于完備正交函數(shù)集，有兩個重要定理。定理3-1設(shè)航®4©在乩上2）區(qū)間內(nèi)是某一類信號（函數(shù)）的完備 正交函數(shù)集，則這一類信號中的任何一個信號f（t）都可以精確地表示為厲的線性組合。即/co = Q

50、/i© + % (0 +0+ cmC3-9)式中，G為加權(quán)系數(shù)，且有(3-10>式(3-9)常稱正交展開式，有時也稱為歐拉傅里葉公式或廣義傅里葉級數(shù)，G稱為傅里葉級數(shù)系數(shù)。定理3-2在式(3-9)條件下，有3® dt3 -11式(3-11)可以理解為:的能量等于各個分量的能量之和，即反映能量守恒。定理3-2也稱為帕塞瓦爾定理。例3-1 已知余弦函數(shù)集cost,cos2t,cosnt(n為整數(shù))(1)證明該函數(shù)集在區(qū)間(0,2 n內(nèi)為正交函數(shù)集;解:該函數(shù)集在區(qū)間(0,該函數(shù)集在區(qū)間(0,(1)因?yàn)楫?dāng)i工時2n內(nèi)是完備正交函數(shù)集嗎？)內(nèi)是正交函數(shù)集嗎？I -廣惱沖8曲=

51、丄廠誠S異誠.0'2 i +ri 一廣 0rf11備；出仇好£曲£ =卩 Sin 2刑 =戲可見該函數(shù)集在區(qū)間(0, 2n 內(nèi)滿足式(3-6),故它在區(qū)間(0, 2n)內(nèi)是一個正交函 數(shù)集。因?yàn)閷τ诜橇愫瘮?shù)Sint,有當(dāng)?shù)墓時ofl inZ=0ofi in/ c恥泌亢=0即Sint在區(qū)間（0, 2n內(nèi)與cosnt正交。故函數(shù)集cosnt在區(qū)間（0, 2n）內(nèi)不是 完備正交函數(shù)集。1 r . 侃 5i 潛.ZTTcosi； COE rtdt = i sin cos -r cos sm 對于任意整數(shù)廠，此式并不恒等于零。因此，根據(jù)正交函數(shù)集的定義，該 函數(shù)集cosnt在區(qū)間（0，堪吃）內(nèi)不是正交函數(shù)集。由上例可以看到，一個函數(shù)集是否正交，與它所在區(qū)間有關(guān)，在某一區(qū)間可 能正交，而在另一區(qū)間又可能不正交。另外，在判斷函數(shù)集正交時，是指函數(shù)集 中所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交，不能從一個函數(shù)集中的某n個函數(shù)相互正交，就判斷該 函數(shù)集是正交函數(shù)集。四、常見的完備正交函數(shù)集 三角函數(shù)集池垃曲）在區(qū)間內(nèi)，有0 Qt芒沁ff