2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷 教師版

1、2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷 一、填空題（本大題滿分36分）本大題共有12題，要求直接填寫(xiě)結(jié)果，每題填對(duì)得3分，否則一律得0分 1（3分）（2013?上海）函數(shù)y=log（x+2）的定義域是 （2，+） 2 【分析】要使函數(shù)有意義，只需令x+20即可 【解答】解：欲使函數(shù)有意義，須有x+20，解得x2， 所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+） 故答案為：（2，+） x=8的解是 3 上海）方程3分）（2013?22（ x3，可得x=3=8=2，由此可得此方程的解【分析】由已知條件2 x3，可得x=3，即此方程的解為3【解答】解：由2，=8=2 故答案為 3 2=8x的準(zhǔn)線方程是 x=y2 3（3分）

2、（2013?上海）拋物線 【分析】根據(jù)拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，可得拋物線以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右，由 2p=8算出=2，即可得到拋物線的準(zhǔn)線方程 2=8x解：拋物線的方程為y【解答】 拋物線以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右 由2p=8，可得=2，可得拋物線的焦點(diǎn)為F（2，0），準(zhǔn)線方程為x=2 故答案為：x=2 4（3分）（2013?上海）函數(shù)y=2sinx的最小正周期是 2 ，運(yùn)算可得結(jié)果 y=2sinx的最小正周期是【分析】根據(jù)函數(shù) ，=2y=2sinx的最小正周期是 =【解答】解：函數(shù) 2故答案為 ， ， 若 ，則實(shí)（532013?（上海）已知向量 分） 數(shù)k= 【分析】根據(jù)向量平行的充要條件可得關(guān)于

3、k的方程，解出即可 ，k=6） 【解答】解：由9k=0，解得，得1（k 故答案為： 6（3分）（2013?上海）函數(shù)y=4sinx+3cosx的最大值是 5 【分析】利用輔助角公式把所給的函數(shù)解析式化為y=5sin（x+?），再根據(jù)正弦函數(shù)的值域，求得它的最大值 【解答】解：函數(shù)y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+?），（其中，cos? =，sin?=） 故函數(shù)的最大值為5， 故答案為5 7（3分）（2013?上海）復(fù)數(shù)2+3i（i是虛數(shù)單位）的模 ，代入計(jì)算即可得出復(fù)數(shù)2+3i（i|【分析】利用模長(zhǎng)公式z|= 是虛數(shù)單位） 的模 【解答】解：復(fù)數(shù)2+3i， =

4、 的模2+3i 故答案為： 8（3分）（2013?上海）在ABC中，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若a=5，c=8，B=60，則b= 7 2222=25+6422accosB，代入題中的數(shù)據(jù)得b【分析】根據(jù)余弦定理b=a5+c8cos60=49，解之即可得到b=7 【解答】解：在ABC中，a=5，c=8，B=60， 根據(jù)余弦定理，得 2222accosB=25+64258cos60=49b=ac+ 解之得b=7（舍負(fù)） 故答案為：7 9（3分）（2013?上海）正方體ABCDABCD中，異面直線AB與BC所成角111111的大小為 60 ，根據(jù)正方體的幾何特征及異面直線夾角的定義，我們

5、可得D連接A【分析】1即可得BADC所成的角，連接BD后，解三角形BAD即為異面直線AB與B1111所成的角BC到異面直線AB與 11，BCADD【解答】解：連接A，由正方體的幾何特征可得： 111所成的角，BCAB與則BAD即為異面直線 111，易得：連接BD BBD=AD=A 11D=60BA故 160故答案為： 人參加某社3名男同學(xué)和6名女同學(xué)中隨機(jī)選取3分）（2013?上海）從410（ （結(jié)果用數(shù)值表示） 團(tuán)活動(dòng)，選出的3人中男女同學(xué)都有的概率為 的概率，然后根”3人中只有男同學(xué)或只有女同學(xué)【分析】先求對(duì)立事件“選出的可得答案1據(jù)對(duì)立事件的概率和為 ，人中只有男同學(xué)或只有女同學(xué)的概率為

6、：3=解：從10人中選出的【解答】 =則選出的3人中男女同學(xué)都有的概率為：1 故答案為： ，則數(shù)列57，前9項(xiàng)和為（2013?上海）若等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為23311（分） S的前n項(xiàng)和= n 2，解項(xiàng)和S+bn=an，則由題意可得 設(shè)等差數(shù)列的前【分析】n n 的解析式項(xiàng)和Sn得a、b的值，即可求得數(shù)列的前 n 2，則由題意可得bn=an項(xiàng)和設(shè)等差數(shù)列的前【解答】解：nS+， n ，解得 ， =故數(shù)列的前n項(xiàng)和S n 故答案為 236=2的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)樯虾＃?63分）（2013?12（22222+（2+23232336，所以的所有正約數(shù)之和為（1+3+3）+（2+222

7、2）=91，參照上述方法，可求得32000的所有正21）（+23+33+）=（1+2+約數(shù)之和為 4836 【分析】這是一個(gè)類(lèi)比推理的問(wèn)題，在類(lèi)比推理中，參照上述方法，2000的所43，所以2000的所有正約5有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?000=223423），即可得出答案+5（1+2+25+2+25）1數(shù)之和為（ 【解答】解：類(lèi)比36的所有正約數(shù)之和的方法，有： 43，5的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?0002000=2 23423）=4836+55+2+）（1+5所以2000的所有正約數(shù)之和為（1+2+2+2 可求得2000的所有正約數(shù)之和為 4836 故答案為：4836

8、二選擇題（本大題滿分36分）本大題共有12題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的考生必須把真確結(jié)論的代碼寫(xiě)在題后的括內(nèi)，選對(duì)得3分，否則一律得0分 13（3分）（2013?上海）展開(kāi)式為adbc的行列式是（ ） DCBA 叫做二階行列式，它的算法是：adbc，再根據(jù)所給的式子根據(jù)【分析】 即可得出答案 叫做二階行列式，它的算法是：adbc，解：根據(jù)【解答】 =adbc由題意得， 故選：B 1（x）為函數(shù)f（x）= 14（3分）（2013?上海）設(shè)f的反函數(shù)，下列結(jié)論正確 的是（ ） 1111（4）DCff=4（fA4）（2）=2Bf=2=4（2） 【分析】本題的關(guān)鍵是求函數(shù)f（x

9、）= 的反函數(shù)，欲求原函數(shù)的反函數(shù)，即從 原函數(shù)式f（x）= 中反解出x，后再進(jìn)行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式 1（x）為函數(shù)f（x【解答】解：f）= 的反函數(shù)， 12，（x0）（x）=x，f 11（4）=16，（2）=4f，f 故選：B 15（3分）（2013?上海）直線2x3y+1=0的一個(gè)方向向量是（ ） A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（3，2） 【分析】題意可得首先求出直線的斜率為：k=，即可得到它的一個(gè)方向向量（1， k），再利用平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案 【解答】解：由題意可得：直線2x3y+1=0的斜率為k=， 所以直線2x3y+1=0的一個(gè)方向向量 =

10、（1，），或（3，2） 故選：D 的大致圖象是（ ）x3分）（2013?上海）函數(shù)f（）=（16 BA DC 篩選法：利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的定義域進(jìn)行篩選即可得到答案【分析】 、B0f，所以（x）在（，+）上單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)0解：因?yàn)椤窘獯稹?；C ，）的定義域?yàn)椋ㄓ謋x0+，） 故排除選項(xiàng)D， 故選：A 17（3分）（2013?上海）如果ab0，那么下列不等式成立的是（ ） 22 abAaDBabbC 【分析】由于ab0，不妨令a=2，b=1，代入各個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)，只有D正確，從而得出結(jié)論 ， =，不妨令a=2，b=1可得1解：【解答】由于ab0， 故A不正確 22，故Bb不正確=1，ab可

11、得ab=2，b 22，故Ca不正確4，ab可得ab=2，a= 故選：D 18（3分）（2013?上海）若復(fù)數(shù)z，z滿足z= ，則z，z在復(fù)數(shù)平面上對(duì)應(yīng) 22111的點(diǎn)Z，Z（ ） 21A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) DC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng) 【分析】由題意可得z，z的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，故z，z在復(fù)數(shù)平面2121上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z，Z關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) 21【解答】解：若復(fù)數(shù)z，z滿足z= ，則z，z的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)， 21211故z，z在復(fù)數(shù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z，Z關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)， 2112故選：A 10的二項(xiàng)展開(kāi)式中的一項(xiàng)是（ +x）119（3分）（2013?上海）（ 234252x

12、D120x90xA45xBC 10r?x，= x）即可得出結(jié)論的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T（【分析】根據(jù)1+ 1r+ 10r?x，故當(dāng)r=3= T 1【解答】解：（+x）時(shí)，此的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 1r+3，項(xiàng)為120x 故選：C 20（3分）（2013?上海）既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減的函數(shù)是（ ） Ay=sinxBy=cosxCy=sin2xDy=cos2x B，經(jīng)檢驗(yàn)D，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除C、A根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除【分析】中的函數(shù)滿足條件，從而得出結(jié)論 【解答】解：由于函數(shù)y=sinx和 y=sin2x都是奇函數(shù)，故排除A、C 由于函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，周期等于2，

13、且在（0，）上是減函數(shù)，故滿足條件 由于函數(shù)y=cos2x是偶函數(shù)，周期等于，在（0，）上是減函數(shù)，在（，） 上是增函數(shù)，故不滿足條件 故選：B 21（3分）（2013?上海）若兩個(gè)球的表面積之比為1：4，則這兩個(gè)球的體積之比為（ ） A1：2B1：4C1：8D1：16 【分析】設(shè)兩個(gè)球的半徑分別為r、r，根據(jù)球的表面積公式算出它們的表面積21 之比為=，解之得=，由此結(jié)合球的體積公式即可算出這兩個(gè)球的體積 之比 【解答】解：設(shè)兩個(gè)球的半徑分別為r、r，根據(jù)球的表面積公式， 21 S =4，可得它們的表面積分別為S=4 21兩個(gè)球的表面積之比為1：4， =，解之得=（舍負(fù)） 3因此，這兩個(gè)球的

14、體積之比為=（）= 即兩個(gè)球的體積之比為1：8 故選：C 22（3分）（2013?上海）設(shè)全集U=R，下列集合運(yùn)算結(jié)果為R的是（ ） AZ?NBN?NC?（?）D?0 UUUUu【分析】根據(jù)題目中條件“全集U=R”，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)一一進(jìn)行集合的運(yùn)算，即可得出答案 【解答】解：全集U=R， Z?N=R，N?N=?，?（?）=?，?0=xR|x0 UuUUU故選：A 22+bx=ax+c函數(shù)f（xR，“b）4ac0”是“2013?23（3分）（上海）已知a，b，c的圖象恒在x軸上方”的（ ） A充分非必要條件B必要非充分條件 DC充要條件既非充分又非必要條件 22+bx+c（x）=ax“bf4ac0”

15、與“函數(shù)【分析】根據(jù)充要條件的定義可知，只要看的圖象恒在x軸上方”能否相互推出即可 2+bx+c=ax的圖象恒在x軸上方，則必a0，欲保證函數(shù)f（x）【解答】解：若須保證拋物線開(kāi)口向上，且與x軸無(wú)交點(diǎn)； 24ac且=b0則a0 2+bx+c=c的圖象恒在x）0，則函數(shù)f（x=ax軸上但是，若a=0時(shí)，如果b=0，c24ac=b0；方，不能得到 22+bx+c的圖象恒在）x=axx軸上方”反之，“b，如4ac0”并不能得到“函數(shù)f（a0時(shí) 22+bx+c的圖象恒在=axx軸上方”的既非充分又4ac0”是“函數(shù)f（x從而，“b）非必要條件 故選：D 24（3分）（2013?上海）已知A，B為平面內(nèi)

16、兩個(gè)定點(diǎn)，過(guò)該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)m作 的m為常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)N若 = ? ，其中的垂線，垂足為直線AB） 軌跡不可能是（ 拋物線雙曲線DA圓B橢圓C 【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出A、B坐標(biāo)，以及M坐標(biāo)，通過(guò)已知條件求出M的方程，然后判斷選項(xiàng) 【解答】解：以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸，建立坐標(biāo)系， 設(shè)M（x，y），A（a，0）、B（a，0）； ， 因?yàn)? ? 2，）x（y所以x=（+a）a 222時(shí)，軌跡是圓，當(dāng)y=a=1x即+ 時(shí)，是橢圓的軌跡方程；0當(dāng)且1 當(dāng)0時(shí)，是雙曲線的軌跡方程 當(dāng)=0時(shí)，是直線的軌跡方程； 綜上，方程不表示拋物線的方程 故選：D 三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有

17、7題，解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟 25（7分）（2013?上海）如圖，在正三棱柱ABCABC中，AA=6，異面直線1111 BC與AA所成角的大小為，求該三棱柱的體積 11 BC為異面直線BCC 因?yàn)镃CAA根據(jù)異面直線所成角的定義得【分析】1111 ，S從而求出中，求得BC，從而B(niǎo)CC=在RtBCC所成的角，與AAABC111 最后利用柱體的體積公式即可求出該三棱柱的體積 CCAA【解答】解：因?yàn)?11 BCC=BCC為異面直線BC與AA所成的角，即所以 1111 ， C=6=2tanRt在BCC中，BC=CCBC 111 ，從而S= =3 ABC =3 6=18AAV=S因此該三棱柱的

18、體積為 1ABC的空地，其中上海）如圖，某校有一塊形如直角三角形726（分）（2013?ABC米，現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房，其50BC40ABB為直角，長(zhǎng)米，長(zhǎng)為矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，求該健身房的最大占地面積B占地形狀為矩形，且 【分析】設(shè)出矩形的邊FP的邊長(zhǎng)，利用三角形相似求出矩形的寬，表示出矩形面積，利用二次函數(shù)的最值求解即可 【解答】解：如圖，設(shè)矩形為EBFP，F(xiàn)P長(zhǎng)為x米，其中0x40， 健身房占地面積為y平方米因?yàn)镃FPCBA， ， 以BF=50，求得 ?x ）50從而y=BF?FP=（ = = 500 時(shí)，等成立當(dāng)且僅當(dāng)x=20 平方米答：該健身房的最大占地面積為500 b，數(shù)列 的

19、前n項(xiàng)和為S27（8分）（2013?上海）已知數(shù)列a nn ，求滿足b 是無(wú)窮等bba，進(jìn)而得到b，由的表達(dá)式可判斷數(shù)列【分析】先由S求出nnnnn比數(shù)列，從而可得答案 ，2=2n+ 2時(shí)，【解答】解：當(dāng)n 22n+=S且a=0，所以a= n11 的無(wú)窮等比數(shù)列1、公比為，所以數(shù)列因?yàn)?b =是首項(xiàng)為 n = =故 ，（10）、F1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（28（13分）2013?上海）已知橢圓CF（，21B，），短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B0 21的方程；為等邊三角形，求橢圓BBF1（）若C 211（2）若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且2 ，求直線l的方程 2222，可求+

20、c=1，集合ac=ba【分析】（1）由FBB為等邊三角形可得a=2b，又2112，則橢圓C的方程可求；b （2）由給出的橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，結(jié)合c=1求出橢圓方程，分過(guò)點(diǎn)F的直線2l的斜率存在和不存在討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由 轉(zhuǎn)化為數(shù)量積等于0把根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和， ， 代入坐標(biāo)后可求直線的斜率，則直線l的方程可求 的方程為C（1）設(shè)橢圓解：【解答】 ，解得， 根據(jù)題意知 的方程為C故橢圓 222 的方程為=2，得b=1，所以a=b+c，得橢圓C（2）由2b=2 ，不符合題意；x=1當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為 ）y=k（x1當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，

21、設(shè)直線l的方程為 2222由12k1+）x）4kx+2（k=0，得（ ，則y）（設(shè)Px，y），Q（x， 2112 ， ， ，即 因?yàn)?，所以 = = ，解得 ，即=k= 或 故直線l的方程為 2=4x 的焦點(diǎn)為F：y12分）（2013?上海）已知拋物線C29（ 的軌跡C 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P當(dāng)點(diǎn)A在拋物線（1）點(diǎn)A，P滿足方程； 上？y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線C軸上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q關(guān)于直線（2）在x的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由如果存在，求所有滿足條件的點(diǎn)Q 得出 F的坐標(biāo)，由【分析】（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P和A的坐標(biāo)，求出拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程；PP點(diǎn)和A點(diǎn)的關(guān)系，由代入法求動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)，由斜率關(guān)Q

22、的坐標(biāo)，在設(shè)出其關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（2）設(shè)出點(diǎn)Q在拋物線上，把Q系及中點(diǎn)在y=2x上得到兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)其坐標(biāo)代入拋物線方程即可求得Q ，則x，y），點(diǎn)）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）A的坐標(biāo)為（【解答】解：（1AA ， ， ， ），所以因?yàn)镕的坐標(biāo)為（1，0 ）x1， y，得（xx，yy）=2（由 AAAA ，解得即 22=8y4x=4x，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為代入y （x，yy=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q），）設(shè)點(diǎn)2Q的坐標(biāo)為（t，0）點(diǎn)Q關(guān)于直線（ 則，解得 22+15t=0，即t=0或，得4t 若Q 在C上，將Q的坐標(biāo)代入y=4x ， ） ，其坐標(biāo)為（0，0）和（所以存在

23、滿足題意的點(diǎn)Q 30（13分）（2013?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)P在x軸上，其橫坐標(biāo)為x，且x 是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，記nnn*Nn，=PAP nn1n+ ，求點(diǎn)A 1（）若的坐標(biāo)； （2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8 ），求的最大值及相應(yīng)n的值 n 的等比數(shù)列，確定通項(xiàng)，利用差角2是首項(xiàng)為1、公比為1）利用x 【分析】（n的坐標(biāo)；A的正切公式，建立方程，即可求得 ，利用基本不等式，結(jié)合正切函數(shù)的）OAPOAP（2）表示出tan=tan（nnn1+單調(diào)性，即可求得結(jié)論 1n=20），根據(jù)題意，x（1）設(shè)A（0，t）（t【解答】解： n ，由 ，知 ，=）=t

24、an（OAP而OAPtan 334 t=8，解得t=4或所以 ），8故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）或（0 1nOAP=，tan（2）由題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0） nn ）=tan=tan（OAPOAP nnn1+ ，= ，所以因?yàn)閠an n 時(shí)等成立，即當(dāng)且僅當(dāng)n=4 ）上為增函數(shù)，在（，y=tanx00 n n=4時(shí)，最大，其最大值為當(dāng) n ），bxy=f（）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a“分）31（18（2013?上海）已知真命題：函數(shù)）b 是奇函數(shù)”+函數(shù)成中心對(duì)稱(chēng)圖形”的充要條件為“y=f（xa 23個(gè)單位，個(gè)單位，再向上平移21=x（）將函數(shù)（1gx）3x的圖象向左平移）圖象對(duì)x（g求此時(shí)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)稱(chēng)中心的坐標(biāo)； （2）求函數(shù)h（x）= 圖象對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)； （3）已知命題：“函數(shù) y=f（x）