史上最難的全國高考理科數(shù)學試卷

1、數(shù)學月刊七月號創(chuàng)難度之最的1984年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題編者說明1984年，是中國高考改革有創(chuàng)意的一年。就在這一年，數(shù)學命題組提出了高考“出活題，考基礎，考能力”的命題指導思想。自1977年恢復高考以來，高考命題基本上是“模仿命題”，模仿課本上的例習題，模仿教參上的參考題，考場上出現(xiàn)了“解題有套”的現(xiàn)象，高校傳出了“高分低能”的說法。1984年的數(shù)學試卷，創(chuàng)造了大批新題，即所謂活題。廣大考生第一次見到這樣的新題或活題，感到非常之難。當年，北京市的分數(shù)，人均只有17分，創(chuàng)下了新中國成立以來，數(shù)學高考難度之“最”。（這份試題共八道大題，滿分120分第九題是附加題，滿分10分，不

2、計入總分）一（本題滿分15分）本題共有5小題，每小題選對的得3分;不選，選錯或多選得負1分1數(shù)集X=（2n+1），n是整數(shù)與數(shù)集Y=（4k1），k是整數(shù)之間的關系是（ C ）（A）XY （B）XY （C）X=Y （D）XY2如果圓x2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點，那么（ C ）（A）F=0，G0，E0. （B）E=0，F(xiàn)=0，G0.（C）G=0，F(xiàn)=0，E0. （D）G=0，E=0，F(xiàn)0.3.如果n是正整數(shù)，那么的值 （ B ）（A）一定是零 （B）一定是偶數(shù)（C）是整數(shù)但不一定是偶數(shù) （D）不一定是整數(shù)4.大于的充分條件是 （ A ）（A） （B）（C） （D）5如果是第二象限

3、角，且滿足那么 （ B ）（A）是第一象限角 （B）是第三象限角 （C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D）是第二象限角編者說明數(shù)學試題選擇題，同上一年，即1983年一樣多，也是5道小題，但考生感到比上年難得多。有的考生拿到第1小題就不能動筆。首先是因為1984年對選擇題的考題要求很嚴。第一次也是唯一一次提出“得負分”的評分要求。第二是選擇題的設計，命題人第一次考慮到選擇題“淘汰法”解題方法。比如第1小題，排除3個錯誤答案比選擇1個正確答案要迅速得多。可是，在剛剛出現(xiàn)選擇題（1983年第一次用選擇題）的考場上，考生幾乎沒有這種解題思想。許多交白卷的考生，首先就被第1題擋住了“去路”。二（

4、本題滿分24分）本題共6小題，每一個小題滿分4分只要求直接寫出結果）1已知圓柱的側面展開圖是邊長為2與4的矩形，求圓柱的體積答：2.函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？答：x-2.3求方程的解集答：4求的展開式中的常數(shù)項答：-205求的值答：06要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少種不同的排法（只要求寫出式子，不必計算）答：編者說明1984年的第二大題，含6個小題，比1983年的2個小題多出了4個，從而使整個試卷的題量比1983年多出了3道。題目很活，題量又大，多數(shù)考生在規(guī)定的時間不能完成解答，這也是1984年數(shù)學得分很低的原因之一。三（本題滿分12分）本

5、題只要求畫出圖形1設畫出函數(shù)y=H(x-1)的圖象2畫出極坐標方程的曲線解（1） （2）1. 2.解：編者說明1984年的第三大題，是1983年第二大題的發(fā)展。雖然仍為作圖題，但比1983年的考題難得多。1983年的題設式子是簡單式子，看式便可作圖；而1984年的題設式子是“復雜式子”，需要首先將式子變形化簡，從而增加了試題難度。四（本題滿分12分）已知三個平面兩兩相交，有三條交線求證這三條交線交于一點或互相平行證：設三個平面為，且從而c與b或交于一點或互相平行1若c與b交于一點，設，所以，b，c交于一點（即P點）2.若cb，則由所以，b，c互相平行編者說明1984年的第四大題，考查立體幾何內(nèi)

6、容。題目從表面看去，似乎不難。然而，由于命題人故意沒有給“題圖”，使得廣大考生不知如何畫圖，從而陷入困境。五（本題滿分14分）設c，d，x為實數(shù)，c0，x為未知數(shù)討論方程在什么情況下有解有解時求出它的解解：原方程有解的充要條件是：由條件（4）知，所以再由c0，可得又由及x0，知，即條件（2）包含在條件（1）及（4）中再由條件（3）及，知因此，原條件可簡化為以下的等價條件組：由條件（1）（6）知這個不等式僅在以下兩種情形下成立：c0，1-d0，即c0，d1；c0，1-d0，即c0，d1.再由條件（1）（5）及（6）可知編者說明1984年的第五題，考查對數(shù)函數(shù)。具體考查對數(shù)方程的有解條件。然而設計

7、“創(chuàng)新到了對數(shù)底數(shù)”，使得一直看慣了“底數(shù)只為單一字母”的考生不知所云。從而，當c0，d1且時，或者當c0，d1且時，原方程有解，它的解是六（本題滿分16分）1設，實系數(shù)一元二次方程有兩個虛數(shù)根z1，z2.再設z1，z2在復平面內(nèi)的對應點是Z1，Z2求以Z1，Z2為焦點且經(jīng)過原點的橢圓的長軸的長（7分）2求經(jīng)過定點M（1，2），以y軸為準線，離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程（9分）解：1.因為p，q為實數(shù)，z1，z2為虛數(shù)，所以由z1，z2為共軛復數(shù)，知Z1，Z2關于x軸對稱，所以橢圓短軸在x軸上又由橢圓經(jīng)過原點，可知原點為橢圓短軸的一端點根據(jù)橢圓的性質，復數(shù)加、減法幾何意義及一元二次方程根與

8、系數(shù)的關系，可得橢圓的短軸長=2b=|z1+z2|=2|p|，焦距離=2c=|z1-z2|=，長軸長=2a=2.因為橢圓經(jīng)過點M（1，2），且以y軸為準線，所以橢圓在y軸右側，長軸平行于x軸設橢圓左頂點為A（x，y），因為橢圓的離心率為，所以左頂點A到左焦點F的距離為A到y(tǒng)軸的距離的，從而左焦點F的坐標為設d為點M到y(tǒng)軸的距離，則d=1根據(jù)及兩點間距離公式，可得這就是所求的軌跡方程編者說明1984年的第六題，考查解析幾何。第1小題將橢圓參數(shù)藏在復數(shù)方程的根中；第2小題求橢圓的軌跡方程，給出的“衍生軌跡”而不是“直接軌跡”。使得廣大考生無模式可套。本題得分率也很低。事實上，當年考生，能解答到本卷

9、第六大題的人很少。七（本題滿分15分）在ABC中，A，B，C所對的邊分別為，b，c，且c=10，P為ABC的內(nèi)切圓上的動點求點P到頂點A，B，C的距離的平方和的最大值與最小值解：由，運用正弦定理，有因為AB，所以2A=-2B，即A+B=由此可知ABC是直角三角形由c=10，如圖，設ABC的內(nèi)切圓圓心為O，切點分別為D，E，F(xiàn)，則AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2.如圖建立坐標系，則內(nèi)切圓方程為：(x-2)2+(y-2)2=4設圓上動點P的坐標為(x，y)，則因為P點在內(nèi)切圓上，所以，于是S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72解二：同解一，設

10、內(nèi)切圓的參數(shù)方程為從而因為，所以S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72編者說明1984年的第七大題，已經(jīng)進入后三大題的范疇，是一道典型的綜合題。它是三角、解析幾何和代數(shù)內(nèi)容的交叉。由于考查的內(nèi)容常規(guī)，本題的設計難度并不大，滿分15分，比上一題第六題還少一分。但由于多數(shù)考生已被前面的低檔、中檔題所難倒，因此，大部分考生無緣與第七題見面，因而，從第七題開始，交白卷的甚多。八（本題滿分12分）設2，給定數(shù)列xn，其中x1=，求證：1231證：先證明xn2(n=1，2，）用數(shù)學歸納法由條件2及x1=知不等式當n=1時成立假設不等式當n=k(k1)時成立當n=k+1時，因為由條件及歸納假設知

11、再由歸納假設知不等式成立，所以不等式也成立從而不等式xn2對于所有的正整數(shù)n成立(歸納法的第二步也可這樣證：所以不等式xn2(n=1，2，）成立）再證明由條件及xn2(n=1，2，）知因此不等式也成立（也可這樣證：對所有正整數(shù)n有還可這樣證：對所有正整數(shù)n有所以）2證一：用數(shù)學歸納法由條件x1=3知不等式當n=1時成立假設不等式當n=k(k1)時成立當n=k+1時，由條件及知再由及歸納假設知，上面最后一個不等式一定成立，所以不等式也成立，從而不等式對所有的正整數(shù)n成立證二：用數(shù)學歸納法證不等式當n=k+1時成立用以下證法：由條件知再由及歸納假設可得3證：先證明若這是因為然后用反證法若當時，有則

12、由第1小題知因此，由上面證明的結論及x1=可得即，這與假設矛盾所以本小題的結論成立編者說明1984年的第八大題，是本卷正卷的壓軸題，是當年正卷上難度最大的題目?？疾榈膬?nèi)容是數(shù)列與不等式的綜合。數(shù)列不是用通項公式給定，而是用遞推式給定。遞推式實為教材的延伸，使得絕大多數(shù)考生可望而不可及。90%以上的考生與此題無緣，當年在北京本題得滿分的僅僅只有兩人。本題的遞推數(shù)列對以后的若干年影響很大，在全國高中數(shù)學界掀起了研究遞推數(shù)列的熱潮。九（附加題，本題滿分10分，不計入總分）如圖，已知圓心為O、半徑為1的圓與直線l相切于點A，一動點P自切點A沿直線l向右移動時，取弧AC的長為，直線PC與直線AO交于點M又知當AP=時，點P的速度為v求這時點M的速度解：作CDAM，并設AP=x，AM=y，COD=由假設，AC的長為，半徑OC=1，可知考慮APMDCM，而編者說明這是1984年的附加題，在1983年中斷一年以后。附加題的重現(xiàn)，是經(jīng)過了一番討論的，主要是北大、清華的命題人堅持用附加題選拔尖子學生。當然，這個目的并沒有達到，因