高考圓錐曲線經(jīng)典考點

1、解圓錐曲線問題常用方法+經(jīng)典結(jié)論+對偶性質(zhì)總結(jié)解圓錐曲線問題常用以下方法： 1、定義法（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，當(dāng)r1>r2時，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將 半徑與“點到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。 （3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達(dá)定理法 因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問

2、題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。 3、解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設(shè)弦的兩個端點A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中點為M(x0,y0)，將點A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有： （1）與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點為M(x0,y0)，則有。 （2）與直線l相交于A、B，

3、設(shè)弦AB中點為M(x0,y0)則有（3）y2=2px（p>0）與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例題】例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點P到點A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點 P的坐標(biāo)為_ (2)拋物線C: y2=4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小,則點Q的坐標(biāo)為。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點共線時，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRl交于R，則當(dāng)B、Q、R三點共線時，距離和最小。解：（1）（2，）連PF，當(dāng)A、P、F三點共線時，最小，此時AF的方程為

4、 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交點為()，它為直線AF與拋物線的另一交點，舍去）（2）（）過Q作QRl交于R，當(dāng)B、Q、R三點共線時，最小，此時Q點的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，Q()點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細(xì)體會。例2、F是橢圓的右焦點，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點，P為橢圓上一動點。（1）的最小值為（2）的最小值為分析：PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑或準(zhǔn)線作出來考慮問題。解：（1）4-設(shè)另一焦點為，則(-1,0)連A,P當(dāng)P是A的延長線與橢圓的交點時,取得最小值為4-。（2）3 作出右準(zhǔn)線l，

5、作PHl交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，當(dāng)A、P、H三點共線時，其和最小，最小值為例3、動圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓C2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。分析：作圖時，要注意相切時的“圖形特征”：兩個圓心與切點這三點共線（如圖中的A、M、C共線，B、D、M共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”（如圖中的）。解：如圖， （*）點M的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15軌跡方程為點評：得到方程（*）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出，再移項，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一

6、遍，較繁瑣！例4、ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求點A的軌跡方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R（R為外接圓半徑），可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA即 （*）點A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求軌跡方程為 （x>3）點評：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例5、定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M，求點M到x軸的最短距離。分析

7、：（1）可直接利用拋物線設(shè)點，如設(shè)A(x1,x12)，B(x2，X22)，又設(shè)AB中點為M(x0y0)用弦長公式及中點公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（2）M到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。解法一：設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點M(x0，y0)則由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x2·1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)·1+(2x0)2=9，當(dāng)4x02+1=3 即

8、時，此時法二：如圖， 即， 當(dāng)AB經(jīng)過焦點F時取得最小值。M到x軸的最短距離為點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關(guān)于x0的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證AB是否能經(jīng)過焦點F，而且點M的坐標(biāo)也不能直接得出。例6、已知橢圓過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A、B、C、D、設(shè)f(m)=

9、,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。分析：此題初看很復(fù)雜，對f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算，因A、B來源于“不同系統(tǒng)”，A在準(zhǔn)線上，B在橢圓上，同樣C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防此時問題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。解：（1）橢圓中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點F1(-1,0)則BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=-（2）當(dāng)m=5時， 當(dāng)m=2時，點評：此題

10、因最終需求，而BC斜率已知為1，故可也用“點差法”設(shè)BC中點為M(x0,y0),通過將B、C坐標(biāo)代入作差，得，將y0=x0+1，k=1代入得，可見當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對的認(rèn)識，通過線段在x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)是解此題的要點。【同步練習(xí)】1、已知：F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，過F1作直線交雙曲線左支于點A、B，若，ABF2的周長為（ ）A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，則P點的軌跡方程是 （ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3、已知ABC的三邊AB、BC、AC的長依次

11、成等差數(shù)列，且，點B、C的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(1，0)，則頂點A的軌跡方程是（ ）A、 B、C、 D、4、過原點的橢圓的一個焦點為F(1，0)，其長軸長為4，則橢圓中心的軌跡方程是 （ ）A、 B、C、 D、5、已知雙曲線上一點M的橫坐標(biāo)為4，則點M到左焦點的距離是6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是7、已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過定點p(-2，0)，則弦AB中點的軌跡方程是8、過雙曲線x2-y2=4的焦點且平行于虛軸的弦長為9、直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點個數(shù)只有一個，則k=10、設(shè)點P是橢圓上的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點

12、，求sinF1PF2的最大值。11、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，左焦點到坐標(biāo)原點、右焦點、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于A、B兩點，且AB中點M為(-2，1)，求直線l的方程和橢圓方程。12、已知直線l和雙曲線及其漸近線的交點從左到右依次為A、B、C、D。求證：?！緟⒖即鸢浮?1、C，選C2、C點P到F與到x+4=0等距離，P點軌跡為拋物線 p=8開口向右，則方程為y2=16x，選C3、D，且點A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又A、B、C三點不共線，即y0，故選D。4、A設(shè)中心為(x，y)，則另一焦點為(2x-1，2y)，則原點到兩焦點距離和為4得，又c<a,

13、(x-1)2+y2<4 ，由，得x-1，選A5、左準(zhǔn)線為x=-，M到左準(zhǔn)線距離為 則M到左焦點的距離為6、設(shè)弦為AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中點為(x，y)，則y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22)2=2·2x，將代入y=2x2得，軌跡方程是(y>)7、y2=x+2(x>2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點M(x，y)，則，即y2=x+2又弦中點在已知拋物線內(nèi)P，即y2<2x，即x+2<2x，x>28、4，令代入方程得8-y2=4y2=4，y=±2，弦長為49、y=kx+1代入x2-

14、y2=1得x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0得4k2+8(1-k2)=0，k=1-k2=0得k=±110、解：a2=25，b2=9，c2=16設(shè)F1、F2為左、右焦點，則F1(-4，0)F2(4，0)設(shè)則2-得2r1r2(1+cos)=4b21+cos=r1+r2， r1r2的最大值為a21+cos的最小值為，即1+coscos， 則當(dāng)時，sin取值得最大值1，即sinF1PF2的最大值為1。11、設(shè)橢圓方程為由題意：C、2C、成等差數(shù)列，a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案 000),a2=2b2橢圓方程為，設(shè)A(x1，y1)，B(x

15、2，y2)則-得2222222即k=1直線AB方程為y-1=x+2即y=x+3， 代入橢圓方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=03x2+12x+18-2b2=0， 解得b2=12， 橢圓方程為，直線l方程為x-y+3=012、證明：設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中點為M(x0，y0)直線l的斜率為k，則-得設(shè)，則-得由、知M、均在直線上，而M、又在直線l上 ，若l過原點，則B、C重合于原點，命題成立若l與x軸垂直，則由對稱性知命題成立若l不過原點且與x軸不垂直，則M與重合橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)總結(jié)橢 圓1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.2

16、. PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,(,).9. 設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點

17、F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點，則MFNF.10. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12. 若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.13. 若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.雙曲線1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.2. PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必

18、與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：(,當(dāng)在右支上時，,.當(dāng)在左支上時，,9. 設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點，則MFNF.10. 過雙曲線一個焦點F的直線與

19、雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11. AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.13. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論橢 圓1. 橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過橢圓 (a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3. 若P為橢圓（ab

20、0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則.4. 設(shè)橢圓（ab0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若橢圓（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0e時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.6. P為橢圓（ab0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立.7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是.8. 已知橢圓（ab0），O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9

21、. 過橢圓（ab0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10. 已知橢圓（ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則.11. 設(shè)P點是橢圓（ ab0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).12. 設(shè)A、B是橢圓（ ab0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).13. 已知橢圓（ ab0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點.14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的

22、切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.）17. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.雙曲線1. 雙曲線（a0,b0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3. 若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）.4. 設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)1e時，可在雙