均勻設(shè)計及軟件

1、報告的計的具體應用方法n均勻設(shè)計軟件關(guān)ignn試驗法Experimentationn均勻設(shè)計軟件Uniform Design Software1 什么是1.1 均勻ign)是一種試驗設(shè)計方法(Experimental Design Method),稱為均勻設(shè)計(Uniform Design)或均勻設(shè)計試驗法(Uniform Design Experimentation)。所有的試驗設(shè)計方法本質(zhì)上都是在試驗的范圍內(nèi)給出挑選代表性點的方法，均勻設(shè)計也不例外，它是只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)均勻散布的一種試驗設(shè)計方法。它由方開泰教授和數(shù)學家王元在1978年共同提出，是數(shù)論方法中的“偽蒙特卡羅方法”的一個

2、應用。1.2 均勻1.2 均勻設(shè)計做到充分“均勻分散”;為了達到“整齊可比”，試驗點的數(shù)目就必須比較多(例如用正交表安排每因素為q個水平數(shù)的多因素試驗,試驗的次數(shù)為rq2,r為自然數(shù))。均勻設(shè)計只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)充分“均勻散布”而不考慮“整齊可比”,因此它的試驗布點的均勻性會比正交設(shè)計試驗點的均勻性更好，使試驗點具有更好的代表性。由于這種方法不再考慮正交設(shè)計中為“整齊可比”而設(shè)置的實驗點，因而大大減少了試驗次數(shù)，這是它與正交試驗設(shè)計法1.2 均勻設(shè)計每個水平僅做一次試驗，當水平數(shù)增加時，試驗數(shù)隨水平數(shù)增加而增加，若采用正交設(shè)計，試驗數(shù)則隨水平數(shù)的平方數(shù)而增加。例如用正交設(shè)計需做961次5

3、因素31水平的試驗，采用均勻設(shè)計只需做31次試驗，其效果基本相同。由于均勻設(shè)計不再考慮正交試驗的整齊可比性，因此其試驗結(jié)果的處理要采用回歸分析方法線性回歸或多項式回歸分析?；貧w分析中可對模型中因素進行回歸顯著性檢驗，根據(jù)因素偏回歸平方和的大小確定該因素對回歸的重要性；在各因素間無相關(guān)關(guān)系1.2 均勻設(shè)計對試驗指標影響的重要性。這些一般都要借助計算機才能完成。2 均勻設(shè)義n均勻設(shè)計表的構(gòu)造方法n均勻設(shè)計表的使用表的產(chǎn)生方法n混合水平均勻設(shè)計表的產(chǎn)生方法2.2 均勻設(shè)計e Point)構(gòu)造均勻設(shè)計表的方法如下：(1) 定義試驗次數(shù)n,尋求比小的整數(shù)h,且使和的最大公約數(shù)為1,符合這些條件的正整數(shù)組

4、成一個向量h=(h1,hm)；(2) 均勻設(shè)計表的第列由uij=ihjmod n(同余運算) 產(chǎn)生，若jhi超過n,則用它減去n的一個適當?shù)谋稊?shù)，使差落在1,n之中。uij可以遞推來生成：u1j=hj，ui+1,j=uij+hj(若uij+hjn)或者ui+1,j=uij+hj-n(若uij+hjn)，這里i=1,n-1。2.2 均勻設(shè)計表如n=11時，可以形成象前面介紹的U11(116)表。向量h稱為該表的生成向量，可以將Un(nm)記成Un(h)。給定n,相應的h可以用上面的方法求得，從而m也就確定了，所以m是n的一個函數(shù)，稱為歐拉函數(shù)，記為E(n)。這個函數(shù)告訴我們均勻設(shè)計表最多可能有多

5、少列。根據(jù)數(shù)論結(jié)果可知：(1)當n為素數(shù)時,E(n-1)=n-1;(2)當n為素數(shù)冪時,即n可表示成n=pl,這里p為素數(shù),l為正整數(shù)，E(n)=n(1-1/p)，如n=9,可表為n=32,于是E(9)=9(1-1/3)=6,即U9最多可以有6列;(3)若n不屬于上述兩種情況，2.2 均勻設(shè)計表積，即：n=p1l1p2l2psls,這里p1,ps 為不同的素數(shù)，l1,ls為正整數(shù)，這時E(n)=n(1-1/p1)(1-1/ps),例如n=12可表為n=223,于是E(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4,即U12最多可能有4列。上述的三種情形中以n為素數(shù)時最好，最多可以有n-1列，非素

6、數(shù)時表的結(jié)構(gòu)中永遠不可能有n-1列，比如E(6)=2，則最多只能安排兩個試驗因素，為此,王元和方開泰建議，用Un+1表劃去最后一行構(gòu)造形成新的Un*表，如U6*(66)可有6列之多。2.3 均勻設(shè)計表的于進行試驗各因素水平組合的具體安排。這樣做的原因是：從均勻設(shè)計表Un(nm)中選出s列,則可能的選擇有(ms)種，但不同列組合起來所代表的點集的均勻性是不同的，所設(shè)計試驗的效果也是不同的，因而如何選用均勻設(shè)計表中的列必須引入一個判別表的均勻性好壞的準則。度量均勻性的準則很多,其中偏差(discrepancy)是使用歷史最久、最為廣泛接受的方法，均勻設(shè)計也同樣采用偏差來衡量其設(shè)計表的均勻性，偏差越

7、小，則設(shè)計表的均勻性越好。2.3 均勻設(shè)計表的使種試驗方法，而且關(guān)于偏差計算的內(nèi)容也很多，因而關(guān)于均勻性偏差的計算方法和具體產(chǎn)生使用表的方法在此不做介紹（有特別需要者可以參見參考文獻1 ）使用者只需要按每個均勻設(shè)計表所附的使用表進行試驗安排即可。比如，欲進行一個因素、每因素13水平的試驗，可以選用均勻設(shè)計表U13*(134)，使用表中推薦的列為1,3,4,則所有13次試驗時各因素的水平組合為：2.4 混合水平均勻2.4 混合水平均勻設(shè)計表的產(chǎn)生方法(續(xù)1)用U10*(108)產(chǎn)生3因素10計算出U10中的3列形成擬水平均勻設(shè)計表U10(1052)3 均勻設(shè)計應用方法n具體問題的解決方法3.1

8、試驗設(shè)試驗設(shè)計、旋轉(zhuǎn)設(shè)計、D-最優(yōu)設(shè)計等）過程必然離不開試驗基礎(chǔ)內(nèi)容的構(gòu)思（試驗的評價指標；試驗的因素、水平的選擇和試驗次數(shù)的擬定）、試驗結(jié)果數(shù)據(jù)的分析等共性方面的問題。試驗的因素和水平的選擇關(guān)系到一個試驗能否成功的關(guān)鍵，下列的注意事項和建議對使用試驗設(shè)計（當然也包括均勻設(shè)計）的人員應該是有益的：3.1 試驗設(shè)計的試驗指標的因素通常是很多的，通常固定的試驗因素在試驗方案中并不稱為因素，只有變化的因素才稱為因素；（2）關(guān)于因素數(shù)量：在一項試驗中，因素不宜選得太多(如超過10個)，那樣可能會造成主次不分；相反地，因素也不宜選得太少（如只選定一、二個因素），這樣可能會遺漏重要的因素，或遺漏因素間的交

9、互作用，使試驗的結(jié)果達不到預期的目的；3.1 試驗設(shè)計的范圍應當盡可能大一點。如果試驗在實驗室進行，試驗范圍大比較容易實現(xiàn)；如果試驗直接在生產(chǎn)中進行，則試驗范圍不宜太大，以防產(chǎn)生過多次品，或產(chǎn)生危險。試驗范圍太小的缺點是不易獲得比已有條件有顯著改善的結(jié)果；（4）關(guān)于因素的水平數(shù)：若試驗水平范圍允許大一些，則每一因素的水平個數(shù)最好適當多一些；3.1 試驗設(shè)計的大小和生產(chǎn)控制精度是密切相關(guān)的。如不切實際地降低試驗的水平間隔，在試驗范圍確定了的情況下必然會引起試驗次數(shù)的增加；而因素水平間隔太大，其試驗結(jié)果的中不確定性成分也必然增加；（6）因素和水平的含意可以是廣義的：例如五種棉花用于織同一種布，要比

10、較不同棉花影響布的質(zhì)量的效應，這時“棉花品種”可設(shè)定為一個因素，五種棉花就是該因素下的五個水平。3.2 均勻設(shè)下六個步驟：(1) 確定試驗指標、因素、因素水平范圍和因素水平數(shù)（這是關(guān)系到試驗成功與否的關(guān)鍵）；(2) 選擇合適的均勻設(shè)計表建立分次試驗的具體因素水平組合；(3) 執(zhí)行分次試驗并取得每次試驗的指標值；3.3 具體問建立n回歸模型優(yōu)化n試驗參數(shù)優(yōu)化n使用均勻設(shè)計時需要注意的其它問題3.3.1 試于因素的最大水平數(shù)，而不是平方的關(guān)系，試驗次數(shù)與被考察的因素的個數(shù)有關(guān)，建議試驗次數(shù)選為因素數(shù)的倍左右為宜，這樣選擇的均勻設(shè)計表的均勻性好，也有利于以后的建模和優(yōu)化。3.3.2 設(shè)要滿足試驗次數(shù)

11、的要求：即確定Un表n的問題，關(guān)于這一點，見前面的建議；(2) 表的列數(shù)要滿足試驗因素數(shù)的要求：如U6(62)表和U6*(66)表，雖然n值相同，可前者有列，只能安排因素試驗，而后者最多卻可以安排因素試驗。(3) Un*表比Un表有更好的均勻性，在確定了試驗次數(shù)n的情況下,若Un*表也能滿足因素數(shù)的要求，應優(yōu)先采用Un*表：Un*表是由Un+1表劃去最后一行3.3.2 設(shè)計多的列，若n為奇數(shù),則Un*表的列通常少于Un表。(4) Un*表比Un表更容易安排試驗：Un表的最后一行全部由組成，而Un*表則不然。例如在化工反應中，若所有因素的水平都按一個方向排列，則在表的最后一行的所有因素的水平值不

12、是最高就是最低，所有高水平組合很容易出現(xiàn)反應過分劇烈甚至爆炸，所有低水平組合則可能出現(xiàn)反應異常甚至不能進行的現(xiàn)象。3.3.3.2 非3.3.3.2 非線性變量的篩選。其回歸系數(shù)求解可經(jīng)過方程項的轉(zhuǎn)換按多元線性回歸的方法完成。(2) 多項式回歸模型一般地，包含多變量的任意多項式可表述為：可通過類似x1=Z1,x2=Z2,x3=Z12,x4=Z1Z2,x5=z22的變換，將其按多元線性回歸分析。多項式回歸在回歸分析中占特殊地位，因為任何函數(shù)至少在一3.3.3.2 非線性近，因此在比較復雜的的實際問題中，可以不問與各因素的確切關(guān)系如何，而采用多項式進行分析（一次多項式是多項式的特例）。在多項式回歸模

13、型中，常用的子模型結(jié)構(gòu)如下：3.3.3.2 非線性3.3.3.3 回3.3.3.3 回歸添加或不添加某個模型組成項的依據(jù)。下面用一個例子來說明建模的思路和過程：例子：為研究石墨爐原子吸收分光光度計法測定微量元素鈀的工作條件，確定了灰化溫度x1、灰化時間x2、原子化溫度x3 和原子化時間x4四個因素，其試驗評價指標為吸光度。由原子化機理可知，灰化溫度和原子化溫度對吸光度的的影響可擬合為二次函數(shù)，即在模型中應該有x12和x32項,這兩個因素發(fā)生在不同時間，因而不存在交互作3.3.3.3 回歸原子化時間對試驗指標的影響比較復雜，也可用二次項逼近，忽略它們的交互作用，方程中應該有x22、x42項。因為

14、還只是根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗進行推斷，具體每個因素對結(jié)果的影響到底如何還屬未知，那么，各因素的一次項理所當然也參加進方程中，這樣就可以擬定出一個y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x12+b6x22+b7x32+b8x42的原始的多項式回歸模型。至于這個模型的表達效果到底如何，暫時可以不用理會，只是試驗者3.3.4 回某一顯著性水平（本例中取=0.05)逐個進行顯著性檢驗，就可以發(fā)現(xiàn)，x1、x22、x3、x4及x42對回歸無顯著作用，將它們從模型中剔除，則可以確立如下的回歸模型：y=b0+b1x2+b2x12+b3x22+ b4x32回歸系數(shù)分別為：b0=-5.3510-2；b1

15、=-3.0510-3；b2=-3.1410-8；b3= 3.5310-5；b4= 3.4210-8。對模型進行回歸顯著性檢驗，其檢驗值為184.38，臨界值0.05(4,7)=4.1203,同樣高度著，3.3.4 回歸模建立了一個去偽存真的精簡的更能真實地表達因素和指標間關(guān)系的回歸模型。觀察上面的回歸模型，我們還可以發(fā)現(xiàn)，原子化時間x4這個試驗因素在回歸模型中沒有出現(xiàn)，證明它是一個對試驗指標影響不顯著的因素，在后續(xù)的進一步的試驗條件優(yōu)化過程中，我們完全可以放棄對這個因素的觀察，只將它保持在普通狀態(tài)，使之成為一個靜態(tài)的“因素”而將它從真正對試驗起顯著作用的行列中剔除，這樣就減輕了3.3.4 回歸

16、模若在其它試驗中通過回歸模型優(yōu)化后同樣發(fā)現(xiàn)了不顯著因素，而它又是個實際消耗資源的因素，那么模型優(yōu)化的意義則更加顯著了。3.3.5 試3.3.5 試驗參3.3.5 試驗參最優(yōu)值的問題間接地歸結(jié)為解它的一階導數(shù)為零的方程組，即將函數(shù)按各自變量求一階偏導數(shù)并使其等于零，解由此組成的方程組即可找到函數(shù)的極值點，將極值點的各變量值代入函數(shù)中即可求得函數(shù)極值（極值分極大值和極小值，但不對等于最大值或最小值),下面給出一個此方法的例子：3.3.5 試驗參x1-1x2-1+2.5105x2,其中0 x12200，0 x28。令函數(shù)關(guān)于x1和x2的兩個一階偏導數(shù)都為零,這樣得到兩個聯(lián)立方程：解此聯(lián)立方程，求得唯

17、一的極值點，即得x1=1000，x2=4，函數(shù)極值為y=3106,是極大值還是極小值呢？函數(shù)的限定條件是0 x12200，0 x28，01041000122191xxxy0104105 . 22211952xxxy3.3.5 試驗參3.3.6 使用均勻題若試驗優(yōu)化后發(fā)現(xiàn)個別因素的最優(yōu)條件在其試驗范圍的邊界上，那么一般說來這是一個試驗范圍不足的信號，這一點，在初次大范圍的試驗結(jié)束并進行了首次試驗優(yōu)化后就應該發(fā)現(xiàn)，無論如何也不應該在全部試驗都結(jié)束了才察覺到它，否則您找的最優(yōu)試驗條件則是真真正正的“局部最優(yōu)” 條件了。出現(xiàn)了這種現(xiàn)象，解決的辦法一般是在進一步的試驗中大力縮小該因素另外一端的范圍而適3

18、.3.6.1 最優(yōu)條件在試適當加寬，還是前面提到的模型適用范圍的問題，因為進一步優(yōu)化的基礎(chǔ)是試驗者承認了先前的那個試驗范圍條件下建立的模型，而偏偏個別因素最優(yōu)值在邊界上，實在是有進一步探詢的必要。否定先前的模型是沒有根據(jù)的，放棄模型不用更是不應該的，欲發(fā)現(xiàn)真正的最優(yōu)試驗條件，調(diào)整試驗范圍是必須的。型是否有效的當然依據(jù)，一般情況下，回歸平方和與剩余平方和的比值越大，則模型的可信度愈高，表現(xiàn)在復相關(guān)系數(shù)或相關(guān)系數(shù)上，R2數(shù)值就越大（一元線性回歸分析常用相關(guān)系數(shù)表述相關(guān)關(guān)系的大小，且R值可正可負）,但是建模的過程中，我們不能簡單地追求高的回歸平方和與剩余平方和的比值（或大的R2值),模型的建立一定要

19、根據(jù)專業(yè)的知識進行，數(shù)理統(tǒng)計中一個重要的概念是自由度，若選進方程中的項過多，使誤差自由度為甚至為，雖然R2更加接近于1,模型看上去3.3.6.2 模型好壞3.3.6.2 模型好壞的很差的。一般應保持誤差自由度（即剩余平方和自由度)5，這也就是為什么主張選用值大一些的設(shè)計表進行設(shè)計或有前面的“試驗次數(shù)選為因素數(shù)的倍左右為宜” 觀點的原因了。4 均勻n均勻設(shè)計方面軟件的介紹n均勻設(shè)計軟件功能的介紹4.1 對均勻設(shè)計軟見的能夠用于指導試驗者進行試驗安排的均勻設(shè)計表；2、必須能對試驗者的原始設(shè)計數(shù)據(jù)根據(jù)均勻設(shè)計表進行排列并產(chǎn)生供試驗者進行試驗的試驗方案；3、程序必須具備回歸模型建立和模型優(yōu)化功能的模塊；4、必須具備試驗最優(yōu)條件判定功能的模塊。下面簡單闡述一下這幾個“必須”的理由：4.1 對均勻設(shè)計軟件便于用戶對試驗設(shè)計進行綜合的考慮，對用戶更加深入地理解均勻設(shè)計亦有好處；(2) 作為均勻設(shè)計的軟件，試驗方案的建立必須在用戶輸入了原始設(shè)計數(shù)據(jù)后由系統(tǒng)自動生成，試驗方案的輸出可以是多樣的，但在當前階段，必須包括可以由打印機打印的輸出方式；(3) 均勻設(shè)計對試驗數(shù)據(jù)的分析采用回歸分析方法進行，而且用均勻設(shè)計方法設(shè)計的多是多因素、多水平的試驗，其數(shù)據(jù)計算量非常巨大，這個工4.1 對均勻設(shè)計軟件一種通用的試驗法，它的建模功能必須強勁，為適應多項式回歸分