關(guān)于Hilbert不等式的一個推廣應(yīng)用[特約]

1、關(guān)于Hilbert不等式的一個推廣應(yīng)用楊必成(廣東教育學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 廣東 廣州 510303)0 引言 設(shè),.則有 , (1)這里,常數(shù)因子為最佳值.上式以Hardy-Hilbert不等式著稱.其等價式為, (2)這里,常數(shù)因子仍為最佳值.當(dāng)p=q=2時,不等式(1),(2)變?yōu)?; (3). (4)上式的常數(shù)因子與仍為最佳值.稱(3)為Hilbert不等式,(4)為其等價式.不等式(1)-(4)在分析學(xué)中有重要的應(yīng)用.最近,2引入?yún)?shù)A,B,C,及函數(shù),給(3)以如下形式的推廣: 當(dāng)0<A,B時, 基金項目: 廣東高校自然科學(xué)基金資助項目(No.0177)作者簡介: 楊必成(1947

2、-), 男,廣東汕尾人, 教授, 主要從事可和性、不等式等方面的研究., (5)這里,常數(shù) (B(u,v)是函數(shù))是最佳值.當(dāng)=A=B=C=1時,(5)變?yōu)?3). 本文的任務(wù)是引入?yún)?shù)A, B和C,運用2的權(quán)系數(shù)方法,建立如下二重級數(shù) (6) 的具有最佳常數(shù)因子的且與p, q有關(guān)的不等式,給不等式(3)以新的推廣.作為應(yīng)用,建立(4)的推廣式.為此,先介紹若干引理.1 若干引理 引理 1 若(為非負整數(shù)集), 定義函數(shù)為 . (7) 則有.證明 由分部積分法,得 .由(7),由于,因而有 >. (8)因,由(8),顯然有.證畢.設(shè)f(x)在具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù),且及 (n=0,1,2,3

3、,4). 則有 . (9)在引理 1的條件下,設(shè)為:.則滿足使(9)成立的f(x)的條件.作變換u=(2Bx+1)/(2Am+1),有 .還可算得,及 , . 引理 2 若,定義權(quán)系數(shù)為 . (10)則有不等式 . (11)證明 由(7),(8),(9)及上面計算結(jié)果,有 再由引理1的結(jié)論,有(11). 證畢. 注 由(11 ),交換A與B的位置,且換p為q,注意到,還有不等式 (12) 引理 3 設(shè).若, 則 . (13)證明 由于,作變換.則有,及 . (14)由于我們有 ,再由(14)及極限的性質(zhì),我們有(13). 證畢.2 主要結(jié)果及應(yīng)用 定理 1 若,使 ,及 ,則有, (15)這里

4、,常數(shù)因子是最佳值.特別地,當(dāng)A=B=1時,有, (16)這里,常數(shù)因子仍是最佳值. 證明 由Holder不等式及(10),(12),有= 再由(11)及(12),我們有(15).對于,作如下: .則由引理3,有 . (17)可求得不等式 ;.因而有 . (18) 若(15)的常數(shù)因子不是最佳值,則有正數(shù)K< ,使(15)的常數(shù)因子 換為K時,嚴格不等式仍成立.特別地,應(yīng)有 .在上式中,令,由(17)及(18),應(yīng)得K.這與假設(shè)K< 矛盾.因而,不等式(15)的常數(shù)因子是最佳值. 證畢. 評注 1 不等式(16)與(1)相似而不相同,它是新的Hardy-Hilbert類不等式.顯然

5、,(16)是(3)的又一最佳推廣,它與(1)相互對應(yīng). 定理 2 若,使 , ,則 , (19)這里,常數(shù)因子是最佳值. 特別地,當(dāng)p=q=2時,有 . (20)證明 在(15)中,換A為A/C, B為B/C,化簡可得(19).當(dāng)C=1時,(19)變?yōu)?15),因而(19)與(15)等價.由等價性,易證(19)的常數(shù)因子與(15)一樣仍是最佳值. 證畢. 定理 3 若, , 使 ,則有 , (21)這里,常數(shù)因子是最佳值;且(21)與(19)等價.特別當(dāng)A=B=C=1時,有 . (22)證明 因,存在,使當(dāng)時,有 ,及.我們有 =.若視m, n>k時,則由(19),有 , (23)于是有

6、=. (24)這說明.故當(dāng)時,由(19),知(23),(24)仍取嚴格不等號.因而(21)為真.反之,設(shè)(21)為真.由Holder不等式,有 . (25)再由(21),有(19).故不等式(21)與(19)等價.若(21)的常數(shù)因子不是最佳值,由(25),將得出(19)的常數(shù)因子也不是最佳值的矛盾.因而(21)的常數(shù)因子是最佳值. 證畢.評注2 當(dāng)A=B=C=1時,不等式(19)變?yōu)?16).故(19)是(16),(15)及(3)的推廣,而不是(1)的推廣.不等式(22)與(16)等價,它(2)相似而不相同.顯然,不等式(21),(22)是(4)的推廣,但(21)卻不是(2)的推廣.參考文獻

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