加強逆向思維教學

1、加強逆向思維教學，培養(yǎng)學生思維能力建湖縣岡西初中 周 平摘要：逆向思維是數(shù)學思維的一個重要組成部分，是進行思維訓練的載體。加強從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維的培養(yǎng)，能有效地提高學生思維能力和創(chuàng)新意識。本文以概念、定義、公式逆用、法則、定理、逆定理等教學及習題中的逆向變式訓練等方面闡述了如何加強學生數(shù)學逆向思維能力的培養(yǎng)。關鍵詞：逆向思維 拓展 自主探究逆向思維是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向著手的一種思維。它是數(shù)學思維的一個重要原則，是創(chuàng)造思維的一個組成部分，也是進行思維訓練的載體，培養(yǎng)學生逆向思維過程也是培養(yǎng)學生思維敏捷性的過程。課堂教學結(jié)果表明：許多學生之所以處于低層次的學習水平，有一個

2、重要因素，即逆向思維能力薄弱，定性于順向?qū)W習公式、定理等并加以死板套用，缺乏創(chuàng)造能力、觀察能力、分析能力和開拓精神。因此，加強逆向思維的訓練，可改變其思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問題和解決問題的能力。迅速而自然地從正面思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力，正是數(shù)學能力增強的一種標志。因此，我們在課堂教學中務必加強學生逆向思維能力的培養(yǎng)與塑造。中學數(shù)學教學的目的是為了使學生獲得一定的數(shù)學知識，更是為了使學生獲得一定的數(shù)學能力，形成一定的數(shù)學意識，最終能分析問題，解決問題。對學生進行思維能力的培養(yǎng)，顯然是實現(xiàn)這一目的的重要手段。而逆向思維是數(shù)學思維的一個重要方面，更是創(chuàng)造性思維的一個重要

3、組成部分。當人們在處理某些問題上習慣于正向思維而處于“山重水復疑無路”的困境時，逆向思維往往會使我們面前呈現(xiàn)“柳暗花明又一村”的醉人情景。因此在數(shù)學教學中，要重視學生思維的靈活性、敏捷性和深刻性的培養(yǎng)，從而提高學生的思維品質(zhì)和思維能力。下面談談如何在初中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生逆向思維能力的點滴體會。傳統(tǒng)的教學模式和現(xiàn)行數(shù)學教材往往注重正向思維而淡化了逆向思維能力的培養(yǎng)。為全面推進素質(zhì)教育，本人在多年教學實踐中常注重以下幾個方面的嘗試，獲得了一定的成效，現(xiàn)歸納如下：一、加強基礎知識教學中的逆向思維訓練1、在概念教學中注意培養(yǎng)反方向的思考與訓練。數(shù)學概念、定義總是雙向的，我們在平時的教學中，只秉承了從

4、左到右的運用，于是形成了定性思維，對于逆用公式法則等很不習慣。因此在概念的教學中，除了讓學生理解概念本身及其常規(guī)應用外，還要善于引導啟發(fā)學生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展。例如：講述：同類二次根式時明確化簡后被開方數(shù)相同的幾個二次根式是同類二次根式。反過來，若兩個根式是同類二次根式，則必須在化簡后被開方數(shù)相同。例如：若與 是同類二次根式，求a，解題時，只要將2a+3 =4+a，即可求出a的值。在平面幾何定義、定理的教學中，滲透一定量的逆向思考問題，強調(diào)其可逆性與相互性，對培養(yǎng)學生推理證明的能力大有裨益。例如：“互為余角”的定義教學中，可采用以下形式：A+B=90,A、B互為余角（正向思

5、維）。A、B互為余角。A+B90（逆向思維）。當然，在平常的教學中，教師本身應明確哪些定理的逆命題是真命題，才能適時給學生以訓練。任何一個數(shù)學概念都是可逆的。在進行概念教學時，不僅要從正面講清其含義，也應重視定義的逆向應用。使學生對概念有一個完整的了解，幫組學生透徹理解，形成牢固記憶。特別是在平面幾何入門階段，逆向思維訓練尤為重要，能為以后的推理論證打下良好的基礎。如線段中點的概念，我們知道，若點C為線段AB的中點，則有：AC=BC或AC=BC= 1/2AB或AB=2AC=2BC，反之也應理解，若以、式中的任一式為已知，且點C在線段AB上，都可以得到點C為線段AB中點的結(jié)論。又如對“兩條不同的

6、直線不能有兩個或更多個公共點”，可以從逆向思維的角度來幫組學生理解：如果兩條直線有兩個或更多個公共點，那么經(jīng)過這兩個公共點就有兩條直線，這與公理“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾，因此兩條不同的直線不能有兩個或更多個公共點。有時逆用定義還可以更簡捷流暢地解決問題。2、重視公式逆用的教學數(shù)學公式是我們解題的重要依據(jù)之一，但我們往往習慣于公式的正向思維，對學生進行逆向使用公式的訓練明顯不足。因此，我們在進行公式教學時，應強調(diào)公式是可以逆用的，并要進行適當?shù)挠柧殹９綇淖蟮接壹皬挠业阶?，這樣的轉(zhuǎn)換正是由正向思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力的體現(xiàn)。因此，當講授完一個公式及其應用后，緊接著舉一些公式的逆應用的例子

7、，可以給學生一個完整、豐滿的印象，開闊思維空間。在代數(shù)中公式的逆向應用比比皆是。如（a+b）(a-b)=a2-b2的逆應用a2-b2（a+b）(a-b)，多項式的乘法公式的逆用用于因式分解、同底數(shù)冪的運算法則的逆用可輕而易舉地幫助我們解答一些問題，如：計算（1） 2200052001；（2）（ 2 ）100（-2）200；（3）2m4m0.125m等，這組題目若正向思考不但繁瑣復雜，甚至解答不了，靈活逆用所學的冪的運算法則，則會出奇制勝。故逆向思維可充分發(fā)揮學生的思考能力，有利于思維廣闊性的培養(yǎng)，也可大大刺激學生學習數(shù)學的主觀能動性與探索數(shù)學奧秘的興趣性。3、法則的逆向教學數(shù)學法則反映了一定的

8、數(shù)學規(guī)律，同時也揭示了解決某一類問題的方法。數(shù)學中的運算都有一個需要遵循的法則，而且許多運算也都有一個與之并存的逆運算。如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方等運算，并且在一定的條件下它們之間還可以相互轉(zhuǎn)化，如利用相反數(shù)可以互化加法與減法，利用倒數(shù)可以互化乘法與除法等等。在教學中講清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系并給以必要的逆向訓練，能使學生深刻理解法則和靈活運用法則.4、定理的逆向教學數(shù)學定理并非都是可逆的，在教學中除了要探討教材中給出的某些定理的逆定理，如勾股定理及其逆定理等，同時也要探索某些教材中沒有給出但卻存在的某些定理的逆定理，這樣不僅能鞏固、完備所學知識，激發(fā)學生探究新知識的興趣，更能使學生的思

9、維多樣化，提高思維能力。如在教學定理“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線互相重合”后，可組織學生探討下列命題是否為真：有一角平分線平分對邊的三角形是等腰三角形，有一角平分線垂直于對邊的三角形是等腰三角形，有一邊上的中線垂直于這邊的三角形是等腰三角形等等。再如韋達定理的逆用等。5、加強逆定理的教學。每個定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，如：對頂角相等；相等的角是對頂角，經(jīng)過證明后成立即為逆定理。逆命題是尋找新定理的重要途徑。在平面幾何中，許多的性質(zhì)與判定都有逆定理。如：平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，垂徑定理的性

10、質(zhì)與判定切線的性質(zhì)與判定等，舉例說明：平行四邊形對邊平行；平行四邊形的對邊相等；平行四邊形對角相等；平行四邊形的對角線互相平分；反過來，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；仍然成立。注意它的條件與結(jié)論的關系，加深對定理的理解和應用，重視逆定理的教學應用對開闊學生思維視野，活躍思維大有益處。6、多用“逆向變式”訓練，強化學生的逆向思維。作為思維的一種形式，逆向思維蘊育著創(chuàng)造思維的萌芽，它是創(chuàng)造性人才必備的思維品質(zhì)，也是人們學習和生活中必備的一種思維品質(zhì)。在數(shù)學教學中充分認識逆向思維的

11、作用，結(jié)合教材內(nèi)容，注重學生的逆向思維能力的訓練，不僅能進一步完善學生的知識結(jié)構(gòu)、開闊思路，更好地實現(xiàn)教學目標，還能達到激發(fā)學生創(chuàng)造精神、提升學習能力的目的。 “逆向變式”即在一定的條件下，將已知和求證進行轉(zhuǎn)化，變成一種與原題目似曾相似的新題型。例如：已知，如圖，直線AB經(jīng)過0上的點C，且OA=OB，CA=CB，求證：直線AB是O的切線?？筛淖?yōu)椋阂阎鐖D，直線AB切O于C，且OA=OB，求證：AC=BC?；蛑本€AB切BCA O O于C，且AC=BC，求證：AC=BC。再如：不解方程，請判斷方程2x2-6x+3=0的根的情況?？勺兪綖椋阂阎P于x的方程2x2-6x+k=0，當K取何值時？（1）

12、方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）方程沒有實數(shù)根。經(jīng)常進行這些有針對性的“逆向變式”訓練，創(chuàng)設問題情境，對逆向思維的形成起著很大作用。7、強調(diào)某些基本教學方法，促進逆向思維。數(shù)學的基本方法是教學的重點內(nèi)容。其中的幾個重要方法：如逆推分析法，反證法等都可看做是培養(yǎng)學生逆向思維的主要途徑。比如在證明一道幾何命題時（當然代數(shù)中也常用），老師常要求學生從所證的結(jié)論著手，結(jié)合圖形，已知條件，經(jīng)層層推導，問題最終迎刃而解。養(yǎng)成“要證什么，則需先證什么，能證出什么”的思維方式，由果索因，直指已知。反證法也是幾何中尤其是立體幾何中常用的方法。有的問題直接證明有困難，可反過來思考，假

13、設所證的結(jié)論不成立，經(jīng)層層推理，設法證明這種假設是錯誤的，從而達到證明的目的。8、采用直觀教學，為學生提供逆向思維的基礎馬克思主義哲學告訴我們，感性認識是理性認識的基礎，理性認識依賴于感性認識。在數(shù)學教學中利用必要的教具、模型、幻燈、多媒體等進行直觀教學，能使學生的多種器官協(xié)同參與思維活動，獲得較多的感性認識，提高思維的興趣和效率。必要的教具、模型、幻燈和多媒體可以逼真地展現(xiàn)某個事物、某個事件、某種活動的全貌，可以更有效地激發(fā)學生的思維，使學生的正向思維清晰明了，也為學生進行逆向思維提供了可靠的基礎。另一方面，通過使用多媒體等現(xiàn)代教學手段，可反向呈現(xiàn)某些活動或過程，有利于學生的逆向思維的進行。

14、通過這些數(shù)學基本方法的訓練，使學生認識到，當一個問題用一種方法解決不了時，常轉(zhuǎn)換思維方向，可進行反面思考，從而提高逆向思維能力。二、加強解題教學中的逆向思維訓練解題教學是培養(yǎng)學生思維能力的重要手段之一，因此教師在進行解題教學時，應充分進行逆向分析，以提高學生的解題能力。1.順推不行則逆推有些數(shù)學題，直接從已知條件入手來解，會得到多個結(jié)論，導致中途迷失方向，使得解題無法進行下去。此時若運用分析法，從命題的結(jié)論出發(fā)，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解題途徑。2.正面不行用反面這里的反面指的是用反證法，是初中階段兩大間接證發(fā)中的一種，另一種是同一法。3.直接不行換間接還有一些數(shù)學題，當我們直接去尋求結(jié)果十分困難時，可考察問題中的其他相關元素從而間接求得結(jié)果?？傊?，培養(yǎng)學生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學生學習數(shù)學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發(fā)學生的創(chuàng)新開拓精神，培養(yǎng)良好的思維品性，提高學習效果、學習興趣，及提高思維能力和整體素質(zhì)。當然，在初中數(shù)學教學中，要培養(yǎng)學生逆向思維能力，必須具備豐富而扎實的“雙基”知識，量力而行，適可而止，且有機有節(jié)地長期進行養(yǎng)成訓練，切不可急于求成，特別是對中、下面學生而言，過于強調(diào)這方面的能力，會增加其課業(yè)負擔與精神壓