2018年中考數(shù)學(xué)專題：構(gòu)造基本圖形巧解含45度角的問題

1、構(gòu)造基本圖形巧解含45º角的問題 本文以兩道含有45º角的中考試題為載體，分析這類問題的共同特點和解法，供同學(xué)們參考. 一、試題呈現(xiàn) 題1 (2017年麗水中考題)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于、兩點，已知點. (l)略;(2)設(shè)為線段的中點，連結(jié)，若，則的值是 . 題2 (2017年金華中考題)如圖2，已知點和點，點在反比例函數(shù)的圖象上.作射線，再將射線繞點按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)45º，交反比例函數(shù)的圖象于點，則點的坐標(biāo)是 . 上面的兩道中考填空題，雖然形式上不太一樣，但是有著一個共同的特點，都存在一個45º的特殊角.因此，如何利用45&#

2、186;角成為了解題的突破口，45º角的兩邊與軸的交點都形成了一個類似的三角形，因此這兩道題有著如下的共同解法. 二、共同解法展示 1.構(gòu)造“一線三等角”，利用相似三角形麗水題解法1 如圖3，在軸截取，此時，可以證得，.進(jìn)而得到方程，解得.金華題解法1 如圖4，過點作等腰直角，作，連結(jié)，易得，. 設(shè)，可以證得，得，解得，.求出的解析式為, 再與聯(lián)列方程，得到點坐標(biāo)為. 分析 “一線三等角”是一種常見的建立三角形相似的方法.該模型在這兩小題的應(yīng)用中看上去有些異常，一個只有兩等角，另一個根本不存在等角，所以我們利用45º的角去構(gòu)造等腰直角三角形，形成“一線三等角”的基本模型，再

3、利用相似三角形的基本性質(zhì)列出方程. 2.構(gòu)造“三垂型”模型，利用全等三角形麗水題解法2 如圖5，過點作，交于點，再作軸，易得，.，列出方程，解得.金華題解法2 如圖6，過點作，構(gòu)造如圖所示的輔助線，易得 .設(shè)的坐標(biāo)為，可得，.因為點在直線上，可以求得點的坐標(biāo)為，進(jìn)而求得，.，列出方程2:， 解得(舍去). 所以點的坐標(biāo)為. 分析 “三垂型”模型是一個基本圖形.該模型不僅可以找到全等的三角形，也可以用來證明勾股定理.看到45º角可以構(gòu)造等腰直角三角形，進(jìn)而形成“三垂型”模型. 3.構(gòu)造“角平分線”，運(yùn)用內(nèi)角平分線的性質(zhì)預(yù)備知識:如圖7， 是的角平分線，則有(證略).麗水題解法3 如圖8

4、，過點作.，所以為的角平分線，并且求出的坐標(biāo)，可得，解得. 金華題解法3 如圖9，方法同上. 分析 由于45º是90º的一半，構(gòu)造了角平分線，恰好可以利用三角形內(nèi)角平分線的基本性質(zhì)，45º這一條件，讓人產(chǎn)生了很多遐想，補(bǔ)全直角也是一種常見的手段. 4.構(gòu)造“正方形”，借用正方形旋轉(zhuǎn)預(yù)備知識:如圖10，正方形，點、分別在和上，且，求證:.(證略)麗水題解法4 如圖11，過點構(gòu)造正方形.，根據(jù)預(yù)備知識得到.又，在中有，解得.金華題解法4 如圖12 ，.設(shè)點為，則，.利用預(yù)備知識，可得.在直角中， 解得，得到. 分析 “半角模型”也是一種常見的基本圖形，這類問題一般利用

5、旋轉(zhuǎn)完成，可以得到全等三角形，進(jìn)而得到線段之間的關(guān)系. 5.構(gòu)造 “三角形的高”，回到勻股定理 麗水題解法5 如圖13，作，可知為等腰直角三角形. 由， ，易得，.在中，利用勾股定理，得，解得. 金華題解法5 如圖14，作(后面計算可得和重合). 設(shè)，則，.又，得到，. 分析遇到直角問題，有時要回歸到勾股定理，利用勾股定理能夠列出方程.尤其在折疊問題中，我們經(jīng)常會利用勾股定理構(gòu)造方程.本題中依靠構(gòu)造等腰直角三角形，同時得到，一箭雙雕. 6.構(gòu)造“四點共圓”，運(yùn)用兩點間的距離公式麗水題解法6 如圖15，以為直角邊構(gòu)造等腰直角.，所以、四點共圓，且以為直徑，為圓心.，根據(jù)，可得，解得. 金華題解法

6、6如圖16，方法同上. 分析“四點共圓”是一種常見的基本圖形，它可以運(yùn)用同弧所對的圓周角相等，半徑相等直徑所對的圓周角是直角等一系列知識點，靈活多變. 三、解題后的反思 1.明確解題方向，確定解題途徑 這兩道中考題都是以函數(shù)為載體的幾何問題，以上的解法都充分利用了數(shù)形結(jié)合，把題中的“形”轉(zhuǎn)化為運(yùn)算，達(dá)到“化形為數(shù)”的目的，這是解決問題的關(guān)鍵所在，也是基本思路，有了這些基本思路就有了解決問題的方向在解決函數(shù)中的幾何問題時，一定要充分利用幾何的基本性質(zhì)，抓住問題表象中的隱含條件，利用幾何性質(zhì)的同時結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)計算，達(dá)到幾何與代數(shù)的完美結(jié)合.上述解法中的勾股定理和三角形的相似與全等，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，既在意料之外，又在情理之中，順其自然，水到渠成. 2.抓住問題本質(zhì)，學(xué)會異中求同 以上兩道題目看似不同，卻有著共同的本質(zhì)，可以稱得上是多題一解.數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，僅僅依靠題海戰(zhàn)術(shù)是很難抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，盲目地做題還不如靜下心來去思考.我們應(yīng)該由表及里，發(fā)現(xiàn)題與題之間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住問題的本質(zhì)達(dá)到有效的解題.一題多解能拓展思維的廣度，多題一解更能挖掘思維的深度，因此，我們在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要兩者兼顧，做到收放自如. 3.活用解題模型，呈現(xiàn)多樣解法基本圖形是解決綜合性