《實(shí)變函數(shù)》第四章 可測函數(shù)

1、第四章 可測函數(shù)（總授課時(shí)數(shù) 14學(xué)時(shí)）由于建立積分的需要，我們還必須引進(jìn)一類重要的函數(shù)Lebesgue 可測函數(shù)，并討論其性質(zhì)和結(jié)構(gòu).§1 可測函數(shù)及其性質(zhì)教學(xué)目的 本節(jié)將給出可測函數(shù)的定義并討論其基本性質(zhì)教學(xué)要點(diǎn) 可測函數(shù)有若干等價(jià)的定義. 它是一類范圍廣泛的函數(shù), 并且有很好的運(yùn)算封閉性. 可測函數(shù)可以用簡單函數(shù)逼近, 這是可測函數(shù)的構(gòu)造性特征.本節(jié)難點(diǎn) 可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系.授課時(shí)數(shù) 4學(xué)時(shí)1可測函數(shù)定義定義：設(shè)是可測集上的實(shí)函數(shù)(可取)，若可測，則稱是上的可測函數(shù).2可測函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1 零集上的任何函數(shù)都是可測函數(shù)。注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可

2、數(shù)并仍為零集性質(zhì)2 簡單函數(shù)是可測函數(shù)若 (可測且兩兩不交），在每個(gè)上取常值，則稱是上的簡單函數(shù)； 其中注：Dirichlet函數(shù)是簡單函數(shù)性質(zhì)3 可測集上的連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù)設(shè)為上有限實(shí)函數(shù)，稱在處連續(xù)對比：設(shè)為上有限實(shí)函數(shù)，在處連續(xù)(對閉區(qū)間端點(diǎn)則用左或右連續(xù))證明：任取, 則,由連續(xù)性假設(shè)知，對使得即.令則G為開集，當(dāng)然為可測集，且另外所以，故為可測集性質(zhì)4 中的可測子集上的單調(diào)函數(shù)必為可測函數(shù)。證明：不妨設(shè)單調(diào)增，對任意令. 由單調(diào)增知下面的集合為可測集可測函數(shù)的等價(jià)描述定義：設(shè)是可測集上的實(shí)函數(shù)，則在上可測（即（1）可測）可測可測可測可測（充分性要求）證明：利用（1）與（4），（2

3、）與（3）互為余集，以及， ， 對前面等式的說明， ， 可測函數(shù)的性質(zhì) 可測函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì)若是上的可測函數(shù), 可測，則限制在上也是可測函數(shù)；反之，若 , 限制在上是可測函數(shù)，則在上也是可測函數(shù)。注：在一零測度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測性即： 設(shè) （almost everywhere）于，在上可測，則在上也可測 若,則稱在上幾乎處處成立,記作 于.證明：令，則，從而在上可測，另外在上可測，從而在上也可測 ，進(jìn)一步在上也可測.注：用到了可測函數(shù)關(guān)于子集、并集的性質(zhì) 可測函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉若是上的可測函數(shù),則仍為上的可測函數(shù).證明：只要證可測，任取，則從而使即從而，反之也成立，

4、從而可測類似可證：設(shè)是上可測函數(shù)，則為可測集.若是上的可測函數(shù),則仍為上的可測函數(shù).證明：首先在上可測，因?yàn)閷θ我庠倮眉纯勺鳂I(yè)：若是上的可測函數(shù),則, 為上的可測函數(shù)可測函數(shù)類關(guān)于確界運(yùn)算和極限運(yùn)算封閉.若是上的可測函數(shù),則下列函數(shù)仍為上的可測函數(shù). 推論：可測函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測函數(shù)（連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)不一定為連續(xù)函數(shù)）。對上式的說明：，比較：例：上的可微函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是可測函數(shù)證明：由于從而是一列連續(xù)函數(shù)（當(dāng)然是可測函數(shù)）的極限，故是可測函數(shù).利用了可測函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測函數(shù).例 設(shè)是可測函數(shù)列，則它的收斂點(diǎn)全體和發(fā)散點(diǎn)全體是可測集.證明：發(fā)散點(diǎn)全體為；收斂點(diǎn)全體為再利用和是可

5、測函數(shù)即可注意：函數(shù)列收斂與函數(shù)列收斂于之間的不同 可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系可測函數(shù)總可表示成一列簡單函數(shù)的極限若是上的可測函數(shù),則總可表示成一列簡單函數(shù)的極限，而且還可辦到注：當(dāng)是有界函數(shù)時(shí)，上述收斂可做到一致收斂作業(yè)：P98 3, 4, 6練習(xí)題1 任何點(diǎn)集上的常值函數(shù)是可測函數(shù)，對嗎？ 2 已知“若在上可測，則可測”，反之，若可測，能斷定在上可測嗎？3 從函數(shù)或可測能否推出在上可測？4 由可否推出、都可測？ 5 能否斷定“零集上任何函數(shù)均可測”？§2 葉果洛夫定理教學(xué)目的 1、深刻理解“幾乎處處收斂”，“近一致收斂”（由葉果洛夫定理結(jié)論引出）等概念，弄清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.2

6、、理解葉果洛夫定理，了解定理的證明.教學(xué)要點(diǎn)“幾乎處處收斂”，“近一致收斂”的概念及葉果洛夫定理的內(nèi)容.本節(jié)難點(diǎn) 葉果洛夫定理的證明.授課時(shí)數(shù) 3學(xué)時(shí)在數(shù)學(xué)分析中，我們已經(jīng)知道，即使函數(shù)列在每一點(diǎn)收斂，也不能保證一致收斂，因此，對可能在某個(gè)零測度集上不收斂的函數(shù)列而言，更談不上一致收斂.例：函數(shù)列在(0,1)上處處收斂到,但不一致收斂，究其原因是自變量越靠近0 越收斂速度慢，只有更慢沒有最慢，從而不可能一致收斂。但去掉一小測度集合,在留下的集合上一致收斂。著名的俄國數(shù)學(xué)家葉果落夫（）任何可測函數(shù)都有類似結(jié)果，即有下述定理成立.引理：設(shè)，在上幾乎處處有限且可測，若于則 有證明：由于為零測度集，故

7、不妨令在上處處有限，從而有：從而當(dāng)時(shí)，有定理1 () 設(shè)，在上幾乎處處有限且可測，若于，則于（即：可測函數(shù)列的收斂 “基本上”是一致收斂）于，即 即：去掉某個(gè)零測度集，在留下的集合上處處收斂去掉某個(gè)小（任意?。y度集，在留下的集合上一致收斂證明：由引理知有，從而有 令，則可測，而故有即在上一致收斂到注：葉果洛夫定理的逆定理成立，無論或，即：若于則于證明：由條件知,存在可測集，使，且在上一致收斂于 ，當(dāng)然在上點(diǎn)點(diǎn)收斂于，令，則，從而另外顯然在上點(diǎn)點(diǎn)收斂于所以在上收斂于.注: 葉果洛夫定理中條件不可少.例 在上處處收斂于=1 ,但不幾乎一致收斂于于. 幾乎一致收斂:去掉某個(gè)小（任意?。y度集，在留

8、下的集合上一致收斂可測子集有不幾乎一致收斂：去掉任意小（適當(dāng)?。y度集，在留下的集合上任不一致收斂任意可測子集有任意可測子集使得注：葉果洛夫定理中的結(jié)論不能加強(qiáng)到.設(shè),則處處收斂于f(x)=0，但不一致收斂于 ，即使去掉任意一零測度集，在留下的集合上仍不一致收斂于.說明：去掉任意一個(gè)零測度集，留下的集合仍然以1為聚點(diǎn)從而可找到中一點(diǎn)列, 使得收斂到1，故：有從而上不一致收斂于. 作業(yè)：P99 7練習(xí)題1 葉果洛夫定理的條件“”是否可以取消？2 葉果洛夫定理的結(jié)論能否改為“，使在上一致收斂于”？3 葉果洛夫定理的逆定理是否成立？ §3 可測函數(shù)的構(gòu)造教學(xué)目的 本節(jié)將考察歐氏空間上的可測

9、函數(shù)和連續(xù)函數(shù)關(guān)系. 本節(jié)將證明重要的Lusin定理, 它表明Lebesgue 可測函數(shù)可以用性質(zhì)較好連續(xù)函數(shù)逼近.這個(gè)結(jié)果在有些情況下是很有用的.本節(jié)要點(diǎn) 一方面, 可測集上的連續(xù)函數(shù)是可測的, 另一方面, Lusin 定理表明，Lebesgue可測函數(shù)可以用連續(xù)函數(shù)逼近. Lusin 定理有兩個(gè)等價(jià)形式. 另外, 作為準(zhǔn)備定理Tietze 擴(kuò)張定理本身也是一個(gè)很有用的結(jié)果.本節(jié)難點(diǎn) Lusin定理的證明.授課時(shí)數(shù) 3學(xué)時(shí)可測集上的連續(xù)函數(shù)定為可測函數(shù)，但可測函數(shù)不一定連續(xù).本節(jié)討論可測函數(shù)和連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系，從而揭示可測函數(shù)的結(jié)構(gòu).我們已經(jīng)知道可測函數(shù)Dirichlit函數(shù)在上處處間斷，

10、這是否意味著這樣的函數(shù)與連續(xù)不沾邊呢？否！事實(shí)上，它是在充分接近于定義域的范圍內(nèi)相對連續(xù)的。這就是著名的魯津（）定理魯津（）定理：設(shè)為上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則閉集使得且在上連續(xù).（去掉一小測度集，在留下的集合上成為連續(xù)函數(shù)）即：可測函數(shù)“基本上”是連續(xù)函數(shù).證明：由于 ，故不妨令為有限函數(shù)(1) 當(dāng)為簡單函數(shù)時(shí)，令 （其中可測且兩兩不交）對每個(gè)，作中的閉子集，使當(dāng)時(shí)，所以在上連續(xù)，而為兩兩不交閉集，故在 上連續(xù)顯然為閉集，且有(2)當(dāng)為有界可測函數(shù)時(shí)，存在簡單函數(shù)列 在上一致收斂于，利用(1)的結(jié)果知及每個(gè)，存在閉集，使且在上連續(xù).令，則且由在連續(xù)及一致收斂于，易知在閉集上連續(xù).(3)當(dāng)為

11、一般可測函數(shù)時(shí)，作變換則為有界可測函數(shù)，應(yīng)用(2)即得我們的結(jié)果.（連續(xù)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉）注：對在連續(xù)的說明：若在上連續(xù)，而為兩兩不交閉集，則在上連續(xù)證明：任取則存在，使得，又為兩兩不交閉集，從而在開集中所以存在, 使得從而故對任意，有，故連續(xù)條件為兩兩不交閉集必不可少，如：函數(shù)在每一塊上為常值，故在每一塊上都連續(xù)，但函數(shù)在R上處處不連續(xù).說明：取閉集的原因在于閉集的余集為開集，開集中的點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)，從而可取足夠小的鄰域不含其他中的點(diǎn).注 魯津定理推論：若為上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則 及上的連續(xù)函數(shù)使得在上且（對維空間也成立）（在某個(gè)小測度集上改變?nèi)≈挡⒀a(bǔ)充定義變成連續(xù)函數(shù)）魯津定理（限制

12、定義域）（即：去掉某個(gè)小測度集，在留下的集合上連續(xù)）魯津定理的第二形式：若在上的幾乎處處有限的可測函數(shù)，則對，存在閉集及整個(gè)直線上的連續(xù)函數(shù)（及依賴于）使在上，且 證明略其實(shí)，以上兩定理結(jié)果也是可測函數(shù)的本質(zhì)特征，即具有上述結(jié)果的函數(shù)一定是可測函數(shù)，證明留作習(xí)題。可測函數(shù)在一個(gè)充分接近定義域的閉集上連續(xù)這一本質(zhì)特征明示我們：盡管可測函數(shù)的范圍比連續(xù)函數(shù)的范圍廣得多，但通過牛頓萊布尼茲公式計(jì)算積分仍為主渠道。作業(yè)：P99 8練習(xí)題1 魯津定理結(jié)論中的能否取為0，即結(jié)論是否能表述為：“閉集，使，且在上連續(xù).”？2 當(dāng)時(shí)魯津定理是否依然成立？3 魯津定理的逆定理是否成立？ 魯津定理能否改為：“為上幾

13、乎處處有限的可測函數(shù)，則，存在閉集，使，且在上可表為多項(xiàng)式”？ 4試作上的可測函數(shù)，使對任何連續(xù)函數(shù)都有，此結(jié)果與魯津定理有無矛盾？§4 依測度收斂教學(xué)目的 可測函數(shù)列可以定義各種收斂性. 本節(jié)討論幾乎處處收斂,依測度收斂和幾乎一致收斂. 幾種收斂性之間存在一些蘊(yùn)涵關(guān)系. 通過本節(jié)的學(xué)習(xí), 可以使學(xué)生對可測函數(shù)列的幾種收斂性和相互關(guān)系有一個(gè)較全面的了解.教學(xué)要點(diǎn) 本節(jié)引進(jìn)的幾種收斂是伴隨測度的建立而產(chǎn)生的新的收斂性.特別是依測度收斂是一種全新的收斂, 與熟知的處處收斂有很大的差異. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了這幾種收斂之間的關(guān)系. Riesz 定理在幾乎處處收斂和較

14、難處理的依測度收斂之間架起了一座橋梁.本節(jié)難點(diǎn)依測度收斂的概念及各種收斂之間的關(guān)系.授課時(shí)數(shù) 4學(xué)時(shí)改造積分定義的目的一是為了擴(kuò)展可積范圍，二是為了使得操作更方便。對()積分而言，積分與極限交換順序需要驗(yàn)證一個(gè)較為苛刻的條件：“在上一致收斂于”，將“一致收斂”削弱為“處處收斂”甚至“幾乎處處收斂”是一種思路，在此介紹另一種削弱“一致收斂”條件的方法。從集合論的角度講：“在上一致收斂于”是指，當(dāng)時(shí)，之所以我們認(rèn)為“一致收斂”條件苛刻，就在于它要求從某項(xiàng)以后永遠(yuǎn)為空集。能否改成允許不空，甚至允許為正測度集，但必須滿足呢？ 這就導(dǎo)致了一個(gè)新的收斂概念的產(chǎn)生.一、依測度收斂1定義：是上的一列有限的可測

15、函數(shù).若有上有限的可測函數(shù)滿足下列關(guān)系：對有，則稱函數(shù)列依測度收斂于.度量收斂到，記為：.語言：當(dāng)時(shí)，.2測度收斂的性質(zhì)（唯一性和四則運(yùn)算）定理1 令，于， 于，則(1) 若又有于, 則a.e.于.于于于注：(1),(2),(4)當(dāng)時(shí),也成立；條件對(3)來說不可少.3依測度收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系依測度收斂與處處收斂或幾乎處處收斂的概念是有很大區(qū)別的.例1依測度收斂，但處處不收斂的函數(shù)列.處處不收斂但子列處處收斂于例2 不依測度測度收斂但收斂的函數(shù)列： 盡管兩種收斂區(qū)別很大，一種收斂不能包含另一種收斂，但下面定理反映出他們還是有密切聯(lián)系的.定理2（Riesz）若,則必有的子列，使得于證明：由

16、于可知 從而可取得，使得故對， 當(dāng)時(shí),有從而 (*)故于注：其實(shí)從證明中的(*)式我們可看出于.定理3（Lebesgue），在上幾乎處處有限且可測，若于，則于二、函數(shù)列幾種收斂之間的關(guān)系先歸納一下幾種收斂的定義.1函數(shù)列的幾種收斂定義點(diǎn)點(diǎn)收斂: 記作于有一致收斂:有注：近似地說一致收斂是函數(shù)列收斂慢的程度能有個(gè)控制. 近似地說一致連續(xù)是函數(shù)圖象陡的程度能有個(gè)控制例：函數(shù)列在(0,1)上處處收斂到,但不一致收斂，但去掉一小測度集合(1-,1),在留下的集合上一致收斂幾乎處處收斂: 記作于 （almost everywhere）即：去掉某個(gè)零測度集，在留下的集合上處處收斂幾乎一致收斂:記作于 (almo