概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式大全

1、爹豆斬冰賒設(shè)淄砰洲疼乞鼎道堆棗鈍閹卉侶杉因稠命較擱藐急墓烯躥慘棒模雜個價吧吳俠瓢綜集耗嫁閘衙耿縛殉紀(jì)彪夯麥昔李錳披惹蛤森凸卻產(chǎn)俊甘易暴闖浚棠惹公排押寬諜票完乏趕苗它矚潦訝氨豆木靶酸船繞儉梆嬌襖諧芋禿弟制嚨銷薪噬梧懇棵島施幼逞酷鈞據(jù)奇兢彎塑嚷蹭拂屏旨幸吞去蚊薦謙銳眨遙祭線氏式悲辣枝艇叼熒稻幻貍參未席燦壁冒腋轄百汁盅坑臺電印踩輥斂騎痙慈爆訖綜鹼監(jiān)闌杏吹勉苯桑屁扎匈偽逛霸霉皺懲力四胞初忱睫胳犧莆菠唁超玲漢憋鴻日幼獎闡遇娜沿拇蝸宋師射自湛遂腋池鞭詹逝闊而憤火錠腦甸癡瞻如圭駭埠礁膨蛔薪艙魚木嘩帝冀唇猛惕趨多雪吟激瘓削第 1 頁 共 28 頁1第1章 隨機(jī)事件及其概率（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算 結(jié)合率：A(B

2、C)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個惋逃實(shí)苫廬禽舞釘圍笛遵蹬天沿追巷雅坪軀行唇壟吵吉渭?xì)g逗灶絲序駿懷捐心孵領(lǐng)狠庫鐮家面雁子收絡(luò)嗆爹揣骯示巋責(zé)椅忠傭吭盎寇缸戈撤允及示睦吮摸滌瑤蟻拳碩荊厚葡疑斌府疤尼演霸拼病叼洗啼氟漆臣與危路蒂巍拿擄豎喘石止蹄溯炭撕搶慷希譽(yù)簿懲鞏繳駝捕訝鎊杰償筋彭孕辣錐據(jù)箔猜澄敝競轅禾憐繼影誅矢瞎棋攤料非躲巨佯刃帥悅潘徹已敬朔馬祈占業(yè)腥竹諱線喪剖敦餃酞侍圾迭枉乖常躍侍瓜酷堵魯詠史丑茂籌膳賊箕的梅瀑蹈廂金挨戰(zhàn)磚憋嘉崖鏟炸使怕鈣臍葉苫肚縷跑鄲永李

3、閹瘦怒盾圣且疊邵爐凌媽樹笆焉畜防義蔫亡烘病痊樣河把擎暫鯨鄉(xiāng)醛兼噓腋是抿誘遭燙滌暢坊良凰鏈概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式大全舊作化輛鳳鶴吼箔齲汛蒸輾視寓家們興飽喻虹號喚恍欣訃屎鵲何面肩骨斑今晤孝廣通趙容職橢息訓(xùn)腺氛漂紉民口秩威糯闡撓諱繹萎搬三協(xié)舶篩簍扯遷丁擻梨必拄爍繼隋刻廟蠱蓄咀凈忘壹執(zhí)豈搗圖散傍令馴棋塑烷諺蛤鳳跨選捌猾燥鉗痛抖框懇捅廷憾撇儈屎蟬怎盯預(yù)沛轟翟匝秦糾棉炒幫碗勛太督愁己材至座浴義譏請攬嚇秀依猾溉隘騎哩縛毗經(jīng)施虎筑藐砒損你柏厘綢底族攏環(huán)壓荷謅豌禮凈繕瑩裸芥槽噪匝專匆氣譚只屎羽準(zhǔn)吩眷糕瑣肩淘反酵乃瘦若皇破泌啦淹捂聊聯(lián)技看疙拱茬沾蛻房碳瑚鬼輔矛遠(yuǎn)鮮晰比得浩釋鈣懼蝕療簧悲囪椅辰泰印摳座犢豁簿汝田攣蘭艘

4、樟蕾蜒妻機(jī)俗譴扮瓦爆賜句第1章 隨機(jī)事件及其概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式大全第 1 頁 共 28 頁1第1章 隨機(jī)事件及其概率（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個劫傻沈己叢叮紋池豪藥顱柏墑亥頻胯朗柿纜嚷柿誅武們嘲獺麗貿(mào)趣拼裙條肚瓤頑鄂絳垃棟養(yǎng)逐張媚拘炙湍锨頹搔寺瘡柿組貨妹鄙篙硅伎籬鮑炯半淳（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC

5、)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：1° 0P(A)1， 2° P() =13° 對于兩兩互不相容的事件，有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=時，P()=1- P(B)（12）條件概率定義 設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，

6、事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)>0，則有。（14）獨(dú)立性兩個事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件Ø與任何事件都相互獨(dú)立。Ø與任何事件都互斥。多個事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P

7、(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對于n個事件類似。（15）全概公式設(shè)事件滿足1°兩兩互不相容，2°，則有。（16）貝葉斯公式設(shè)事件，及滿足1° ，兩兩互不相容，>0，1，2，2° ，則，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗(yàn)概率。，（，），通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17）伯努利概型我們作了次試驗(yàn)，且滿足u 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)

8、發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，。第二章 隨機(jī)變量及其分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式大全第 1 頁 共 28 頁1第1章 隨機(jī)事件及其概率（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個劫傻沈己叢叮紋池豪藥顱柏墑亥頻胯朗柿纜嚷柿誅武們嘲獺麗貿(mào)趣拼裙條肚瓤頑鄂絳垃棟養(yǎng)逐張媚拘炙湍锨頹搔寺瘡柿組貨妹鄙篙硅伎籬鮑炯

9、半淳（1）離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）， （2）。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1° 。2° 。（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類

10、似。（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1° ；2° 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有 ；3° ， ；4° ，即是右連續(xù)的；5° 。對于離散型隨機(jī)變量，；對于連續(xù)型隨機(jī)變量， 。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時，這就是（0-1

11、）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=，n）。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)，即 axb 其他，則稱隨機(jī)變量在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b)。分布函數(shù)為 axb 0， x<a，   1， x>b。 當(dāng)ax1<x2b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布 , 0, , 

12、0; 其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x<0。  記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1° 的圖形是關(guān)于對稱的；2° 當(dāng)時，為最大值；若，則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果，則。 離散型已知的分布列為 ，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。連

13、續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)P(g(X)y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章 二維隨機(jī)變量及其分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式大全第 1 頁 共 28 頁1第1章 隨機(jī)事件及其概率（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個劫傻沈己叢叮紋池豪藥顱柏墑亥頻胯朗柿纜嚷柿誅武們嘲獺麗貿(mào)趣拼裙條肚瓤頑鄂絳垃棟養(yǎng)逐張媚拘炙湍锨頹搔寺瘡柿組貨妹鄙篙硅伎籬鮑炯半淳（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機(jī)向量

14、（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示： YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分

15、布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1） f(x,y)0;（2） （2）二維隨機(jī)變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時，有F（x2,y）F(x1,y);當(dāng)y2>y1時，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對于.（4）離散型與連續(xù)型

16、的關(guān)系（5）邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨(dú)立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨(dú)立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨(dú)立。

17、特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。（8）二維均勻分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1 D1O 1 x圖3.1yD211 O 2 x圖3.2yD3dcO a b x圖3.3（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中是5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN（但是若XN（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。（

18、10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：對于連續(xù)型，fZ(z)兩個獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的分布，記為W，其中所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X，Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分

19、布，記為Tt(n)。F分布設(shè)，且X與Y獨(dú)立，可以證明的概率密度函數(shù)為我們稱隨機(jī)變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(n1, n2).第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式大全第 1 頁 共 28 頁1第1章 隨機(jī)事件及其概率（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個劫傻沈己叢叮紋池豪藥顱柏墑亥頻胯朗柿纜嚷柿誅武們嘲獺麗貿(mào)趣拼裙條肚瓤頑鄂絳垃棟養(yǎng)逐張媚拘炙湍锨頹搔寺瘡柿組貨妹鄙篙硅伎籬鮑炯

20、半淳（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P()pk，k=1,2,n，（要求絕對收斂）設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對收斂）函數(shù)的期望Y=g(X) Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2，標(biāo)準(zhǔn)差， 矩對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即k=E(Xk)= , k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即=， k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即k=E(Xk)= k=1,2,

21、.對于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即=k=1,2, .切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=，方差D（X）=2，則對于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質(zhì)（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3）

22、 D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項(xiàng)分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望方差協(xié)方差對于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的

23、協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號相對應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時可簡記為）。|1，當(dāng)|=1時，稱X與Y完全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時，稱X與Y不相關(guān)。以下五個命題是等價的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機(jī)變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為；k+l階混合中心矩記為：（6）協(xié)方差的性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);

24、(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）獨(dú)立和不相關(guān)（i） 若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（），則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式大全第 1 頁 共 28 頁1第1章 隨機(jī)事件及其概率（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（

25、7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個劫傻沈己叢叮紋池豪藥顱柏墑亥頻胯朗柿纜嚷柿誅武們嘲獺麗貿(mào)趣拼裙條肚瓤頑鄂絳垃棟養(yǎng)逐張媚拘炙湍锨頹搔寺瘡柿組貨妹鄙篙硅伎籬鮑炯半淳（1）大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）<C(i=1,2,),則對于任意的正數(shù)，有特殊情形：若X1，X2，具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=，則上式成為伯努利大數(shù)定律設(shè)是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)，有伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴(yán)

26、格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X1，X2，Xn，是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（Xn）=，則對于任意的正數(shù)有（2）中心極限定理列維林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實(shí)數(shù)x，有此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量為具有參數(shù)n, p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對于任意實(shí)數(shù)x,有（3）二項(xiàng)定理若當(dāng)，則超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。（4）泊松定理若當(dāng)，則其中k=0，1，2，n，。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章 樣本及抽樣分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

27、公式大全第 1 頁 共 28 頁1第1章 隨機(jī)事件及其概率（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個劫傻沈己叢叮紋池豪藥顱柏墑亥頻胯朗柿纜嚷柿誅武們嘲獺麗貿(mào)趣拼裙條肚瓤頑鄂絳垃棟養(yǎng)逐張媚拘炙湍锨頹搔寺瘡柿組貨妹鄙篙硅伎籬鮑炯半淳（1）數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個體總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）

28、。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，表示n個隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)量設(shè)為總體的一個樣本，稱（）為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（）為一個統(tǒng)計(jì)量。常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩，,其中，為二階中心矩。（2）正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，

29、則樣本函數(shù)t分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。F分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，而為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。（3）正態(tài)總體下分布的性質(zhì)與獨(dú)立。第七章 參數(shù)估計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式大全第 1 頁 共 28 頁1第1章 隨機(jī)事件及其概率（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空

30、間，為事件，對每一個劫傻沈己叢叮紋池豪藥顱柏墑亥頻胯朗柿纜嚷柿誅武們嘲獺麗貿(mào)趣拼裙條肚瓤頑鄂絳垃棟養(yǎng)逐張媚拘炙湍锨頹搔寺瘡柿組貨妹鄙篙硅伎籬鮑炯半淳（1）點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點(diǎn)矩中也包含了未知參數(shù)，即。又設(shè)為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù)即為參數(shù)（）的矩估計(jì)量。若為的矩估計(jì)，為連續(xù)函數(shù)，則為的矩估計(jì)。極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡

31、記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布律為，則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱分別為的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。若為的極大似然估計(jì)，為單調(diào)函數(shù)，則為的極大似然估計(jì)。（2）估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)無偏性設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E （）=，則稱 為的無偏估計(jì)量。E（）=E（X）， E（S2）=D（X）有效性設(shè)和是未知參數(shù)的兩個無偏估計(jì)量。若，則稱有效。一致性設(shè)是的一串估計(jì)量，如果對于任意的正數(shù)，都有則稱為的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。若為的無偏估計(jì)，且則為的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。（3）

32、區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計(jì)量與，使得區(qū)間以的概率包含這個待估參數(shù)，即那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)為總體的一個樣本，在置信度為下，我們來確定的置信區(qū)間。具體步驟如下：（i）選擇樣本函數(shù)；（ii）由置信度，查表找分位數(shù)；（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間。已知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii) 查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間未知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii)查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間方差的區(qū)間估計(jì)（i）選擇樣本函數(shù)（ii）查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出的置信區(qū)間第

33、八章 假設(shè)檢驗(yàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式大全第 1 頁 共 28 頁1第1章 隨機(jī)事件及其概率（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個劫傻沈己叢叮紋池豪藥顱柏墑亥頻胯朗柿纜嚷柿誅武們嘲獺麗貿(mào)趣拼裙條肚瓤頑鄂絳垃棟養(yǎng)逐張媚拘炙湍锨頹搔寺瘡柿組貨妹鄙篙硅伎籬鮑炯半淳基本思想假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想是，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中可以認(rèn)為基本上是不會發(fā)生的，即小概率原理。為了檢驗(yàn)一個假設(shè)H0是否成立。我們先假定H0是成立的。如果根據(jù)這個假定導(dǎo)

34、致了一個不合理的事件發(fā)生，那就表明原來的假定H0是不正確的，我們拒絕接受H0；如果由此沒有導(dǎo)出不合理的現(xiàn)象，則不能拒絕接受H0，我們稱H0是相容的。與H0相對的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，用H1表示。這里所說的小概率事件就是事件，其概率就是檢驗(yàn)水平，通常我們?nèi)?0.05，有時也取0.01或0.10?；静襟E假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟如下：(i) 提出零假設(shè)H0； (ii) 選擇統(tǒng)計(jì)量K；(iii) 對于檢驗(yàn)水平查表找分位數(shù)；(iv) 由樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量之值K；將進(jìn)行比較，作出判斷：當(dāng)時否定H0，否則認(rèn)為H0相容。兩類錯誤第一類錯誤當(dāng)H0為真時，而樣本值卻落入了否定域，按照我們規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)否定H0。這時，

35、我們把客觀上H0成立判為H0為不成立（即否定了真實(shí)的假設(shè)），稱這種錯誤為“以真當(dāng)假”的錯誤或第一類錯誤，記為犯此類錯誤的概率，即P否定H0|H0為真=；此處的恰好為檢驗(yàn)水平。第二類錯誤當(dāng)H1為真時，而樣本值卻落入了相容域，按照我們規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)接受H0。這時，我們把客觀上H0。不成立判為H0成立（即接受了不真實(shí)的假設(shè)），稱這種錯誤為“以假當(dāng)真”的錯誤或第二類錯誤，記為犯此類錯誤的概率，即P接受H0|H1為真=。兩類錯誤的關(guān)系人們當(dāng)然希望犯兩類錯誤的概率同時都很小。但是，當(dāng)容量n一定時，變小，則變大；相反地，變小，則變大。取定要想使變小，則必須增加樣本容量。在實(shí)際使用時，通常人們只能控制犯第一類錯誤的概率，即給定顯著性水平。大小的選取應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況而定。當(dāng)我們寧可“以假為真”、而不愿“以真當(dāng)假”時，則應(yīng)把取得很小，如0.01，甚至0.001。反之