卡方分布與F分布

1、2009-9-8要解決的問(wèn)u在日帶生活中，我們經(jīng)常關(guān)注總體方差，甚 至超過(guò)高于總體平均數(shù).匕教育均衡i可題匕生產(chǎn)過(guò)程中的質(zhì)量管理匕投資風(fēng)險(xiǎn)的控制12009-9-8#2009-9-8抽樣分布的作用卡方分布(chi-square distribution)#2009-9-8u卡方分布的定義 u卡方分布的密度函數(shù) u卡方分布的形狀u卡方分布的性質(zhì) u卡方分布的臨界值u卡方分布定理一 u卡方分布定理二U在推估總體平均值時(shí)，基于樣本平均數(shù)的抽 樣分布U在用樣本方差來(lái)推估總體方差時(shí)，必須知道 樣本方崔的抽樣分布如果要比較兩個(gè)總體的方差是否相竽時(shí)，必 須知道樣本方差的聯(lián)合抽樣分布#2009-9-8#2009

2、-9-8卡方分布的定義卡方分布的密度函數(shù)#2009-9-8U設(shè)Z, z2,. z°相互獨(dú)立且都為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī) 變童，則稱變量 # =公+君+Z：所服從的分布為自由度為Q的f分布F»r v ： 2:2) _ 一'2； 厲二從')叭erf心2 二 Z；+Z；定義：如果隨機(jī)變量U的概率密度函數(shù)/(u)為f(u)=-u3 !e ,0 <u vsr()27則稱隨機(jī)變她服從自由度為V的卡方分4 記22009-9-8#2009-9-8KIM #2009-9-832009-9-8卡方分布的性質(zhì)（1）U卡方曲線所圍的面積和為1U卡方分布為在大于等于0（正數(shù)）范國(guó)的正僞分

3、布U不同的白由度決黑不同的卡方分布卡方分布的性質(zhì)（2）卡方分布的性質(zhì)（3）#2009-9-8U卡方分布只有一個(gè)養(yǎng)數(shù)即自由度.為八卡方分 布的平均數(shù)與方差為：Var() = 2vu卡方分布的加法定理E兩個(gè)技立的卡方隨機(jī)變量相加所得的隨機(jī)變量仍 満足卡方分布，其自由度為其自由度之和.#2009-9-8#2009-9-8U卡方分布隨著自由度增加而逐漸越于對(duì)稱，當(dāng)自 由度建近于無(wú)窮大時(shí)，卡方分布趨近于正態(tài)分布vts、加N(v,2v)#2009-9-8#2009-9-8卡方分布的臨界值Table VII: Chi-Square Probabilities0.10050.02S0.010.0052JD63

4、S41.246 6357.8794 6055P917.37S9.21010.59762517 8159 34SUS451283S7 7799 4SS11.14313.27714S609 2361107012.S33150S616.750510645 12.017 13 362 146S4 15987 17.275 1S54919S1221 0M22 3071239214 067 15507 1691915 307 19675 21026 22362 236S5 2499614.4491601317.53519.02320 4S321.92023.33724.7362611927.4SSQ906

5、66209725.2176S3578一20,2123.24.%27.030.IS.548620278721955823.5S9925.1SS1026.757112S3001229 8191316.S121S.475313191432.8011542009-9-852009-9-8dt0991Q拓I一0 00100040.0162 7D63S41I001002005101030.2114®55991IQD720.115021603520.JS462517S15I0J070J970 48407119 4SS§0 41203M083111451107606760S71237163

6、5D5M/09891239216714 067613441646273315507>1.7352 OSS33251691910215623S83247IS 30711260330533816437519675It307435714 4O»5 2M210361)35654 107500958922236211407556296571B6851$40152296X27J61249961651425SU6 90S7962M2M175 6976 40S7 56»S宀18626570158131fI 1Ve艸'633SPQ710 11'1165127 20430

7、 144207.4348 36959110S51114432S4D31412180348 $971028311.591BJ42961532j671TuJ*7378934S2186439342 10982 D33S 14041 30>B13277 15 OM 1681218 47520 09*17 35479303783233 40934 805 36191 37366 38932-S115 o O 一olmO10742O-6SS317692S5 329.554.87.B648.55391046D9.sl.40m,63 0001122334 5 5 6 7 7 sssss 00001122

8、33445566 456?89WUUUUMruD000100510216 rzsr0£31 1J3733473 £164 4045 0095 629626169087.5648J318907W 74S4826 9 591a S0348 897 1028322S6439 5« 109820211 4 605 5J91 7378 9 21 ID 0 5S4 6251 7S15 9348 1134$ DlTom777994S8 11143 1327715 OM16 SUIS 475X09 2166623 20924 723 16217V6S329 14130 57832

9、33 40934 805M19137 56638 PM161923622(M10 MS2833D017349133624 16814 6844 865159875378172756301183497DW19SD779210648 54722307931223975-9.59111 «112 44313 2414 (Ml16 751 IS 549 X2?d 21955) 233S$j X 1SS Q5?283 29S19 31319 32 SOI 34卅 35 ns 37 156 3S 5S2 3999' 41401卡方分布定理一11D7 12392 14D67 15507 1

10、6919 18307 19675 21DJ6 22362 236S5 24 S% 26.2%30.14431413M71DS3314.449 16013 17335 19 OB 204832192 23337 24 736 36119 374S8 28S45 30191 31326 32*5234 17 35 47914Sd1675 1S5« 30 rs 21955 B589 25 1SSX N(“&)n il洽總體中抽取n個(gè)隨機(jī)樣本（冷 冷冷.則27J04284122961530 9&齊対3 %剛* Q邸26®31qM35.37.3s3941一3為11比度

11、力n的匸方分布a162009-9-8#2009-9-8卡方分布定理二fl正態(tài)總體中抽取n個(gè)隨機(jī)樣木EX令勸丁樣本平均數(shù).S，為樣木方疋（5 聳（X®7?-忌卻為"山皮為a的卜方分布o(jì)u證明匹羋i為門由度加-啲k方分布S(x-x)2a1a3Kb2kx-u)-(x-u)f £kx7)Kx-m(xu)+(X7円Z(X - u)2 2 工(X - uXX - u)亠工(X-u)* - - 、&b&=2二+nfX：u, .x衛(wèi)常數(shù)Gba，efBm)mo AwM <>¥#2009-9-8U證明為門由度為啲K方分布(n-l)S' &

12、#163;(X-u)2 2(X-u£(X-u)n(£-u)： a2a:oa2v(X-u)» 工 X 工u nXnu n(*u) Jt&S(X-X) = 00i£(X-u)*0(n- 1)S: V (X- u)'2(X- u)n(Z- u) n(X-u)' i?:+: ba2crbu證明(1)S為n由度為n-啲K方分布 Q 工(X*. (n-l)SJ iXnjgFF*_為"由度為n的匸方分布(舟二q "為fl山度為1的卡方分布72009-9-8很據(jù)卡方分布的加法定理寫豎總KhMt »*<«

13、;tow ftctMl efBm>mo MvM#2009-9-8#2009-9-8單一總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為o的正態(tài)分布中取n個(gè)樣本(n-l)S2總體方羞的區(qū)間估計(jì) 卜總體方差的顯著性檢驗(yàn)SchMi “ f F.總體方差的置信區(qū)間總體方差的置信區(qū)間(例子)U在一次全區(qū)統(tǒng)考中，某枚40名學(xué)生成績(jī)的方差為144分，問(wèn)仝區(qū)學(xué)生成績(jī)的方差95%的置信區(qū)間是多 少？U解：df=40-l=39= Zo«s = 59 3 z；M>0S(2l = z；975 = 24(¥)Sy<(n-l)SJ39x14459.339x14424.4it區(qū)學(xué)生咸域的方星95%的鼻

14、仕區(qū)間(94.7, 230.2 )UhMi 總體方差的顯著性檢驗(yàn)建立假設(shè)H(, a: =a; H, a: #a(； (twotaik test) HHl a:<ff (left tel test)H., ：a <a;H： a1 >al (nghttailteut)82009-9-8例題U某工廠生產(chǎn)10an的螺釘，假設(shè)所生產(chǎn)的螺絲釘直徑 為常態(tài)分布且期望值為10o)雖然毎支螺釘?shù)闹睆?不一定會(huì)剛好等于1血，生管部門希望將方差控制 在0. 09m以內(nèi)，抽取12支螺釘樣本來(lái)檢臉，得出以 下歎據(jù)根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù).在x5%的水平下，推 論所生產(chǎn)的椽釘是否合乎品管的要求？10 05100

15、010029 9710 0710039 9811109 959 9910.00100892009-9-8#2009-9-8F 分布(Fdistribution )兩個(gè)總體方差的統(tǒng)計(jì)推論#2009-9-8uf分布的密度函敗UF分布的形狀UF分布的臨界值UF分布的定理一UF分布的定理二U兩總體方差是否相等可以用利F分布作估計(jì)與檢驗(yàn) 如果隨機(jī)變量X有密度函數(shù)/(x)為廠了 "i + 5f(x)(冬)? xF(l + 冬 x)寧,x > 0 I)則稱隨機(jī)«XM從自由度為g力的F分布(Ronald Fisher ),計(jì)為 XF(%.耳)#2009-9-8#2009-9-8F分布

16、的形狀102009-9-8112009-9-8F分布的性質(zhì)U性質(zhì)1: F曲線所國(guó)的面積和為1U性質(zhì)2: F曲線橫軸數(shù)值從0向右伸展至無(wú)限, 與橫軸沒(méi)有相交U性質(zhì)3: F曲線為正偏分布，其形狀由兩個(gè)自 由度Vl, v2決定，不同自由度有不同F(xiàn)分布定理一u於 w龍:如果U與W自由度分別為V】及V*勺 獨(dú)立卡方分布，則兩個(gè)獨(dú)立的卡方隨機(jī)變量分別冷以其自由度后，兩 者相除可得F隨機(jī)變量.其中分子的自由度決定F分 布的第一個(gè)自由度，分母的自由度決定F分布的第 二個(gè)自由度.SchMl of f F.呎證明定理二F分布的性質(zhì)U性質(zhì)4:E（F） =4 （叫 >2）（嶺 >4）定理二假彳殳X與X?獨(dú)

17、立:且£N3&） X N（“q：）分別從這兩個(gè)總體中抽取獨(dú)立隨機(jī)樣本珥與n?s，（xxyqi z（x-xy1n -1n -1恥：匸ScteMi nt »«YC*ok>t*ActmI l>Mv«rtf>v定理二根據(jù)卡方分布的定理,4噸為I由度為（幾-lXft卡方分布 同理洱歲乙心 辿學(xué)i 根據(jù)定理一.兩個(gè)心1）艙立的卡方隨機(jī)交量分別除以其自由 廢后，兩者相除可 得F隨機(jī)CT.植據(jù)定理二:迪Fs/7?翳Fa2IM韋：我們可以根據(jù)這個(gè)知識(shí)，從兩樣本的方星的 比校來(lái)推論兩總體方差是否相等.122009-9-8132009-9-8F分布的

18、臨界值找出 df=(5 10)F005=?找出 df =(10,5) Foo<#2009-9-8U右側(cè)臨界值U左側(cè)臨界值F分布表(o=0D5)分子訂由度找 UldfK10.5)FOO5-?F的倒數(shù)仍為F隨機(jī)變量?jī)蓚€(gè)粒立的卡方隨機(jī)交 量分別除以其自由度后. 兩者相除可得Ffit機(jī)變 量.i'i山度的分子分母對(duì)調(diào)u. /V12345910- 120811614 199.5 215 7 224 636.5240 32419 253 3 254321831 19 00 19 16 19239.3019 3819 40 19 49 19.50310 139359 289129.018818

19、 79 S558 5347.716946 596396.266 00596 5 665 63| 56615 795415195.05.4 77 74| 4 404" 沖4 964 103713坷3333 022 982 582.54114 843 983 593363.202 902 852452 40a-3 843 002 602312.2118S183 1 221#2009-9-8#2009-9-8F的左側(cè)臨界值F表中為右側(cè)柢率為a的F值，因?yàn)樽髠?cè)的F值可 用F分布的倒數(shù)值求得，左側(cè)槪率為a的HMI為:F(%勺)(vbv2)«1F.M")#2009-9-8F-

20、Table a=0.025c an>23456789101647 79799 5>d64 16»9 S9921 859 J? 1193 22為6 6C乂q385139 003917392539 3039 33393639 3?39 39394031?A4163154415 1014 8814 7314 6214 5414 4?14 42412 2210 «9 989609%9.209.88.988 908別510018437767397 156.986.856."6 686 6268817 266 606235 995.825.705.605 525

21、4678 076M5 895.525 29524.994.904 824 7687 576 065425 054 824.634.5344S4 164 307215715 084 724 4fi4.224.204.104 0173106/5464 834474 244.073.953.853 783 72F.oh(9,8>=4J6 F 0.975(9,8)= =l/F0.025(&9)“/4W024兩總體方差比的區(qū)間估計(jì)U要對(duì)總體方差作區(qū)間估計(jì)必須假設(shè)兩總體為 正態(tài)分布且獨(dú)立，(l-c)F的概率區(qū)間(1 - c)F的概率區(qū)間P( F, (S v J S F S F.何,V】)=1

22、 - ar2P(F a(vbv3)<F Fa(vbv3) = l-aP(F葉(.v2)< 黑尋S ,V?) = 1 - a P%(*vJ備備F?(q ,Vj)=l-a總體方差比的置信區(qū)間s； 1< 桿 < S； 1ST F<(VI,V2)"可 F (w)T1 T兩總體方差比的區(qū)間估計(jì)(例子)兩總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)U比較兩方差的比值H. & tH。:尊1,巴:卑<16 6Two tails testLeft tail testRight tail test IU 巳知nlTO, S；4-5, n2-15,s；rl -6,求二總體方 差之比的置體區(qū)間，能否說(shuō)二總體方差相等：u解：計(jì)算自由度V9, v2-14Fom5(94 ) -3. 21 F0W5(9,14)= 1/3.77=0.27y 1<<r：<sf15 l 于