一階常微分方程解法總結(jié)

1、第、可分離變量的方程：、形如 當(dāng)時，得到，兩邊積分即可得到結(jié)果； 當(dāng)時，則也是方程的解。例 1.1 、 解：當(dāng)時，有，兩邊積分得到 所以 顯然是原方程的解； 綜上所述，原方程的解為、形如 當(dāng)時，可有，兩邊積分可得結(jié)果； 當(dāng)時，為原方程的解，當(dāng)時，為原方程的解。例 1.2 、 解：當(dāng)時，有兩邊積分得到 ，所以有； 當(dāng)時，也是原方程的解； 綜上所述，原方程的解為?？苫癁樽兞靠煞蛛x方程的方程： 、形如 解法：令，則，代入得到為變量可分離方程，得到再把 、形如解法：令，則，代入得到為變量可分離方程，得到再把 、形如解法：、，轉(zhuǎn)化為，下同； 、，的解為，令 得到，下同； 還有幾類：章 一階微分方程的解法

2、的小結(jié)u 代入得到。u 代入得到。以上都可以化為變量可分離方程。例 2.1 、解：令，則，代入得到，有 所以，把 u 代入得到。例 2.2 、 解：由得到，令，有，代入得到，令，有，代入得到，化簡得到， ，有，所以有，故代入得到 （3）、一階線性微分方程：一般形式：標(biāo)準(zhǔn)形式：解法： 1、直接帶公式：2、積分因子法：3、IVP ：，例 3、解：化簡方程為： ，則 代入公式得到 所以，(4) 、恰當(dāng)方程：形如解法：先判斷是否是恰當(dāng)方程：如果有恒成立，那么原方程是個恰當(dāng)方程，找出一個有；例 4、 解：由題意得到， 由得到，原方程是一個恰當(dāng)方程； 下面求一個由得，兩邊對 y 求偏導(dǎo)得到，得到，有， 故

3、，由，得到(5) 、積分因子法： 方程，那么稱是原方程的積分因子；積分因子不唯一。且為， 兩邊同乘以， 化為恰當(dāng)方程， 下同 (4)。 且為， 兩邊同乘以， 化為恰當(dāng)方程， 下同 (4)。當(dāng)且僅當(dāng)， 原方程有只與 x 有關(guān)的積分因子，得到解為當(dāng)且僅當(dāng)， 原方程有只與 y 有關(guān)的積分因子， 例 5.1 、 解：由得，且有，有，原方程兩邊同乘，得到化為， 例 5.2 、 解:由題意得到，有 有，有，原方程兩邊同乘，得到，得到原方程的解為：(6) 、貝努力方程：形如 ,解法：令，有，代入得到，下同( 3)例 6、解：令，有，代入得到，則，有，把 u 代入得到 .(7) 、一階隱式微分方程： 一般形式

4、：，解不出的稱為一階隱式微分方程。 下面介紹四種類型： 、形如，一般解法：令，代入得到，兩邊對 x 求導(dǎo)得到，這是關(guān)于 x，p 的一階線性微分方程，仿照(3)，1、得出解為，那么原方程的通解為2、得出解為，那么原方程的通解為3、得出解為，那么原方程的通解為、形如一般解法：求出通解，、形如一般解法：設(shè)， ，兩邊積分得到，于是有原方程的通解為、形如一般解法：設(shè)，由關(guān)系式得，有，兩邊積分得到，于是有令，代入有，兩邊對 y 求導(dǎo)，得到，此方程是一階微分方程， 可以按照以上 (1)(5) 那么原方程的通解為例 7.1解：令，得到，兩邊對 y 求導(dǎo)，得到，有，得到，于是通解為 例 7.2解：令，得到，兩邊對 x 求導(dǎo)，得到，有 ，兩邊積分得到，于是通解為 例 7.3 解：設(shè)有，所以 于是通解為 例 7.4 解：設(shè)有，所以 于是通解為(8) 、里卡蒂方程：有，代入原方程得到解出，代入滿足原方程。一般形式： 一般解法：先找出一個特解，那么令， 化簡