三角恒等變形難題高考加競賽有答案

1、 三角恒等變形競賽三角恒等變形涉及范圍廣泛，包括三角式的化簡、求值、恒等式的證明、三角級數(shù)的求和、三角不等式的證明等，其變形的主要途徑如下：1兩角和與差的三角函數(shù)2倍角公式3半角公式4和化和差公式5和差化積公式6萬能公式設，則7三倍角公式8，其中解題示范例1：求下列各式的值。（1）；（2）···；（3）.思路分析：此例中的求值，都是給角求值。在利用三角變形時，總體思路是化繁為簡，產(chǎn)生約分項或相消項或特殊角的三角函數(shù)。解：（1）原式（2）因為··，所以原式=1。（3）因為·，而，所以原式=1。點評：三角函數(shù)的求值，實質(zhì)上是從角、名、結(jié)構(gòu)

2、進行變換，抓住角之間的關(guān)系，合理進行積與和式變換即可。例2 化簡思路分析：從本題結(jié)構(gòu)聯(lián)想，用進行化簡。解：因為，所以原式點評：此題的技巧在于公式的靈活運用，而在公式選擇中，關(guān)鍵要抵消1，從而簡化結(jié)構(gòu)。例3：已知為銳角，且，求的值.思路分析：此題給出一個方程，兩個未知數(shù)，屬不定方程類型。要求解此問題，應從在變形入手，通過配方法解決。解：因為，即，從而，于是，且.由是銳角可知所以，從而引申：此題可從考慮其幾何意義求解。由題意得設，則P點是直線與圓的公共點，所以，化簡得所以，同理可得同時，構(gòu)造幾何意義解題，常常能得到奇數(shù)。例如：設是方程的相異兩根，且，求證：證明：設，則是圓與直線的兩個相異點。聯(lián)立消

3、元得所以即同理得即所以由2+2得故另外，相除得例4：求證：··思路分析：從三角數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為一個三次方程的根與系數(shù)求解。證明：設，則，即令，則.因為是上述方程的根，所以··.故··引申：（1）由韋達定理還可得，·（2）三倍角的變化情況較復雜，還有另一組公式對三倍角的變換很有效。例如化簡··例5：求證：思路分析：左邊的求和式表示成裂項求和，其結(jié)構(gòu)便化繁為簡，而裂項時，考慮的因素。證明：因為，所以·故點評：此題的裂項遷移了數(shù)列求和，同時也是以角為突破口。另外第25屆美國數(shù)學奧林匹克題“證明的平均值為

4、”與此題是“異曲同工”。便6：設，試證：思路分析：從左邊三有函數(shù)內(nèi)各角度成等差數(shù)列入手。證明：設，則而，當是偶數(shù)時，有，當是奇數(shù)時，有，所以M·N故點評：題解中的M、N是一組對偶式，構(gòu)造對偶式解題，也是三角變換的一個途徑，其對偶式的應用，讓公式得到應用，對稱的性質(zhì)得以作用。例7：設三邊的長度為，其所對角分別為，且滿足求證：該三角形是等腰三角形。思路分析：作邊角轉(zhuǎn)化，利用三角變換處理已知等式。證明：由已知得，則，所以整理得即化簡得所以或，即或解得或所以故是等腰三角形。點評：三角變換既能求值、化簡、證明三角恒等式，同時也是工具，可以廣泛解決相關(guān)的問題。能力測試能力測試1已知都是銳角，且，那么的關(guān)系是（ ）ABCD2設，則的大小關(guān)系為（ ）ABCD3等于（ ）ABCD4已知成公比為2的等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列，則的值依次為（ ）ABCD5的值為（ ）ABCD6已知，那么的最大值為（ ）ABCD7在中，已知，則。8已知，則 =。9設是公差為的等差數(shù)列，那么。10設三內(nèi)角成等比數(shù)列，且公比為3，則。11計算：。12已知，則。13求證：14設整數(shù)滿足，求的值。15在中，求證：，其