2003年高等考試.江蘇卷.數(shù)學(xué)試題及答案解析

1、2003 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分3 至 10 頁考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回+第I卷（選擇題共 60 分）-、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的2f（1）如果函數(shù)y ax bx a的圖象與x軸有兩個交點，貝 U 點（a,b）在aOb平面上的區(qū) 域（不包含邊界）為（）（A）（B）2（2）拋物線y ax的準線方程是y 2,11(A)(B )- 88(3) 已知x (,0),co4sx -,則tg2x2577(A)(B )- -

2、24242x1,x0,(4) 設(shè)函數(shù)f（x）1若f (x)x2, x 0(C)(D)則a的值為( )(C) 8(D)- 8( )2424(C) (D)-771,則 X。的取值范圍是（)+第I卷 1 至 2 頁，第n卷(A) (-1,1)(C)(汽一 2)U(0 , +s)(B)( 1,)(D) (-s,-1) U(1,+s)B、C是平面上不共線的三個點，動點0,則P的軌跡一定通過 ABC的P滿足（5 ）O 是平的取值范圍為0,則P到曲線y4f （x）對稱軸距離的取值范圍（A）0,1a2（9）已知方程（x(B)0三（C）0,2a(A)12x m)(x22x n)(C)0的四個根組成一個首項為（D

3、）0，|；|1的的等差數(shù)列,4（D）38F 7，0），直線（B）-4（10 ）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為21 與其相交于N 兩點，MN 中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是32-1（ C）32 2 2（A）乞乙 1（ B）丄344（11 ）已知長方形的四個頂點 A（ 0，0 ），B（ 2，從 AB 的中點P0沿與 AB 的夾角2 2乞乂1520)，C( 2，1 )和 D( 0，(D)2丄151），一質(zhì)點1X42，則tg的取值范圍是( )(A)(1,1 )1（B）（1，2)2 1（C）（二，1）(D)化，纟）3335253(A)3(B)4(C)3 3(D)63a3a3a3a(A)(B)(C)

4、(D)34612(8)設(shè)a 0, f(x) ax2bx c，曲線y f (x)在點P(x, f(x)處切線的傾斜角x 1（6）函數(shù)yln,x(1,）的反函數(shù)為（)x 1xe1xe1(A)yx,x(0,)(B)yx,x(0,)e1e1xe1xe1(C)yx,x(,0)(D)yx,x(,0)e1e1（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心（7）棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為的方向射到P1后，依次反射到 CD、DABC 上的點和 AB 上的點P2、P3和F4（入射角等于反射角），設(shè)P4的坐標為（X4，0 ），若（12 ） 個四面體的所有棱長都為2，四個頂點在同一

5、球面上，則此球的表面積為2003 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第H卷（非選擇題共 90 分）二.填空題：本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分.把答案填在題中橫線上（13）（x2”）9的展開式中X9系數(shù)是_（14） 某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200 輛，6000 輛和 2000 輛為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46 輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取_ _ _ *不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的（16）對于四面體 ABCD，給出下列四個命題（15）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6 個部分（

6、如圖）花，不同的栽種方法有 _業(yè)（以數(shù)字作答）現(xiàn)要栽種 4 種1若AB AC, BD CD,則BC AD-2若AB CD, AC BD,貝VBC AD3若AB AC, BD CD,則BC AD若AB CD, AC BD,貝VBC AD其中真命題的序號是 _ 寫出所有真命題的序號)三、解答題：本大題共6 小題，共 74 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或或演算步驟(17 )(本小題滿分 12 分)有三種產(chǎn)品，合格率分別為0.90,0.95 和 0.95，各抽取一件進行檢驗+(I)求恰有一件不合格的概率；(H)求至少有兩件不合格的概率 + (精確到 0.001 )(18 )(本小題滿分 12 分)

7、已知函數(shù)f(x) sin( x )(0,0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點3M ( ,0)對稱，且在區(qū)間0,上是單調(diào)函數(shù)求 禾口的值42(19 )(本小題滿分 12 分)如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90，側(cè)棱AA12，D、E 分別是CC1與 AB 的中點，點 E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的重(I)求A1B與平面 ABD 所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)(H)求點A到平面 AED 的距離(20 )(本小題滿分 12 分)已知常數(shù)a與經(jīng)過定點A(0, a)以i 2 c為方向向量的直線相交于P,其中i為方向向量的直線R +試問：是否存在兩個定

8、點 E、F,使得PEPF為定值+若存在，求出 E、F 的坐標；若不存在，說明理由(21 )(本小題滿分 12 分)已知a 0,n為正整數(shù).(I)設(shè)y (x a)n，證明y n(x a)n 1；(n)設(shè)fn(x)xn(x a)n，對任意n a，證明fn 1(n 1) (n 1)/(n) +(22)(本小題滿分 14 分)設(shè)a 0，如圖，已知直線l : y ax及曲線C: y x2,C上的點Q1的橫坐標為4(0 a1a).從C上的點Qn(n 1)作直線平行于x軸，交直線I于點巳卩再從點 巳1作直線平行于y軸，交曲線C于點Qn1. Qn(n 1,2,3,)的橫坐標構(gòu)成數(shù)列務(wù)(I)試求an 1與an的

9、關(guān)系，并求an的通項公式；1n1(n)當(dāng)a 1,ai時，證明(akak 1)ak 22k 132n(川)當(dāng)a 1時，證明 (akaki)ak2k 12003 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（江蘇卷）答案一、 選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5 分，滿分 60 分.1 . C 2. B 3. D 4. D 5. B 6. B 7. C 8 . B 9 . C 10 . D 11 . C二、 填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4 分，滿分 16 分.13 .2114 . 6,30,1015 . 12016 .2三、解答題17.本小題要主考查相互獨立事件概率的計算，運用數(shù)學(xué)

10、知識解決問題的能力，滿分 解：設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件，抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A、B 和 C.12 . A12 分.(I)P(A) 0.90,P(B) P(C) 0.95,P(A) 0.10, P(B) P(C) 0.05.因為事件 A, B, C 相互獨立，恰有一件不合格的概率為P(A B C) P(A B C) P(A B C)P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C)2 0.90 0.95 0.05 0.10 0.95 0.950.176答：恰有一件不合格的概率為 0.176.解法一：至少有兩件不合格的概率為P(A B C) P( A B C)

11、 P(A B C) P(A B C)0.90 0.0522 0.10 0.05 0.95 0.10 0.0520.012解法二：三件產(chǎn)品都合格的概率為P(A B C) P(A) P(B) P(C) 0.90 0.9520.812由(I)知，恰有一件不合格的概率為0.176，所以至有兩件不合格的概率為1 P(A B C) 0.1761(0.812 0.176)0.012.答：至少有兩件不合的概率為 0.012.(18 )在小題主要考查三角函數(shù)的圖象和單調(diào)性、奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計算能力，滿 12 分分。解：由f (x)是偶函數(shù),得 f ( x) f (x),即 sin( x )

12、sin( x ),所以 cos sin x cos sin x對任意 X 都成立，且0,所以得 cos 0.19 本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力.滿分 12 分.解法一：(I)解：連結(jié) BGU BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即/ EBG 是 A1B 與平面 ABD 所成的 角設(shè) F 為 AB 中點，連結(jié) EF、FC,D,E 分別是 CC1,AB 的中點，又 DC 平面 ABC, CDEF 為矩形 連結(jié)DE,G 是 ADB 的重心，G DF .在直角三角形 EFD 中AB 與平面 ABD 所成的角是 arcsi .3(U)連結(jié)A1D，有7AA

13、EDVD AA1EED AB, ED EF,又EF AB F,ED 平面 AAB,設(shè) A1到平面 AED 的距離為 h，依題設(shè) 0,所以解得23由 f(x)的圖象關(guān)于點 M 對稱,得 f(4x)3f(x),4取 x 0,得 f (3)33f () Sin=443cos-42(2k3sin(340時,2 時,所以,綜合得0,又1),k2)0,得 4-?)3cos 43cos4k ,k21,2,3,0,1,2,.23f(x)sin(- x3)在0,上是減函數(shù);2 f(x)sin(2x )在 0, 上是減函數(shù)；2 210Tf(x)-或3sin( x)在 0, 上不是單調(diào)函數(shù)；2 22.3于是 EDE

14、G1爲(wèi)J 33FCCD2, AB2 2,AB 2 3,EBEBGEG i61 2sin= .EB333212EF FG FD FD , EF 1,FD3.12則SAEDh SA1ABED1又 SA1AESA1AB1AA AB 2, SAED41AE ED2h222即宀到平面 AED 的距離為乙6恵33解法二:(I)連結(jié) BG,則 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即/ A1BG 是 A1B 與平 ABD 所成的角.如圖所示建立坐標系，坐標原點為O,設(shè) CA=2a ,則 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)33 3-a a 2h.-CE (,),BD3 3 3(0, 2a

15、,1).GE BD_ *_24 1BA1(2, 2,2), BG$BA1BG14/3cos A1BG _ a.2a 2a 1A(2a,0,2), E(a,a,1),G(-,，).|BAi|BG|2 312132 a2 - 3a得釋角3A B 與平面 ABD 所成角是 arccos7.3(U)由(I)有 A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)AE ED ( 1,1,1) ( 1, 1,0) 0,AA ED (0,0,2) ( 1, 1,0) 0,ED 平面 AAE,又 ED 平面 AED.20.(I)當(dāng)彳a2時，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點E 和 F;(n

16、)當(dāng)勺0 a2時，方程表示橢圓，焦點E( V12 222a亍11a ,)和F (一 .一2 2 2aa,2)(山)當(dāng)勺 a_22 時,方程也表示橢圓，焦點E(0,丄(日丫日2112)和 F(0,：(a a 222)為合乎題意的兩個定點.(21 )本小題主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識，考查綜合運用所數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，滿分分.12n證明：(I)因為(X a)nC：( a)n kxk,k 0fn(x)nxn 1n(x a)n 1,所以 fn(n) nnn 1(n a)n 1.當(dāng) x a0 時，fn(x)0.當(dāng) x a 時，fn(x)xn(x a)n是關(guān)于 x 的增函數(shù).因此,當(dāng) n a 時,(

17、n 1)n(n 1 a)nnn(n a)n- fn 1(n 1) (n 1)(n 1)n(n 1 a)n (n 1)(nn(n a)n)(n 1)(nnn(n a)n 1) (n 1) fn(n).即對任意n a, fn 1(n 1) (n 1) fn(n).22 本小題主要考查二次函數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，滿分 14 分.VQn(an2),Pn 11221214、I)解:1,an(an,an),Qn1(an,2an).aaa1212112、2,1、1 2 22an 1an,anan 1(an2)()an 2aaa aa“ 1、1 212 22“ 1、1 22223(一)(-an 3)()an 2aaa(丄)122n 22“ 1a1(1 2n 1a1a(a1 2n 1-)，記a(邑faaaau)證明：由a=1知an