高中數(shù)學(xué) 排列教案 新人教A版選修2-3

1、排 列【教學(xué)目的】理解排列、排列數(shù)的概念，了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)；能用“樹型圖”寫出一個(gè)排列中所有的排列；能用排列數(shù)公式計(jì)算?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】排列、排列數(shù)的概念?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】排列數(shù)公式的推導(dǎo)一、問(wèn)題情景問(wèn)題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中一名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，一名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的方法？分析：這個(gè)問(wèn)題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取2名同學(xué)，按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午活動(dòng)在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問(wèn)題，共有6種不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的對(duì)象叫做元素。問(wèn)題2從這四個(gè)字母中，每次取出3個(gè)按順序排成一列，

2、共有多少種不同的排法？分析：解決這個(gè)問(wèn)題分三個(gè)步驟：第一步先確定左邊的字母，在4個(gè)字母中任取1個(gè)，有4種方法；第二步確定中間的字母，從余下的3個(gè)字母中取，有3種方法；第三步確定右邊的字母，從余下的2個(gè)字母中取，有2種方法由分步計(jì)數(shù)原理共有：4×3×2=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法二、數(shù)學(xué)構(gòu)建1排列的概念：從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列。說(shuō)明：（1）排列的定義包括兩個(gè)方面：取出元素，按一定的順序排列； （2）兩個(gè)排列相同的條件：元素完全相同，元素的排

3、列順序也相同2排列數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從個(gè)不同元素中，任取個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)所以符號(hào)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列。3排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：由的意義：假定有排好順序的2個(gè)空位，從個(gè)元素中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列，反過(guò)來(lái)，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)由分步計(jì)數(shù)原理完成上述填空共有種填法，=由此，求可以

4、按依次填3個(gè)空位來(lái)考慮，=，求以按依次填個(gè)空位來(lái)考慮，得排列數(shù)公式如下：（）說(shuō)明：（1）公式特征：第一個(gè)因數(shù)是，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是，共有個(gè)因數(shù)；（2）全排列：當(dāng)時(shí)即個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列。全排列數(shù)公式如下：（叫做n的階乘） 4階乘的概念：個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，這時(shí)；把正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘表示： ， 即規(guī)定5排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式： 即 =。三、知識(shí)運(yùn)用【例1】計(jì)算：（1）； （2）； （3）解：（1） 3360 ；（2） 720 ；（3）360。【例2】（1）若，則 ， （2）若則用排列數(shù)符號(hào)表示為 解：（1）17

5、，14 （2）若則 【例3】（1）從這五個(gè)數(shù)字中，任取2個(gè)數(shù)字組成分?jǐn)?shù)，不同值的分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？（2）5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？（3）某年全國(guó)足球甲級(jí)（A組）聯(lián)賽共有14隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場(chǎng)分別比賽1次，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？解：（1）；（2）；（3）【例4】計(jì)算：； 解：原式=；原式【例5】解方程：3解：由排列數(shù)公式得：， ，即，解得 或，且，原方程的解為【例6】解不等式：解：原不等式即，也就是，化簡(jiǎn)得：，解得或，又，且，所以，原不等式的解集為【例7】求證：（1）；（2）證明：（1），原式成立（2）右邊 原式成立說(shuō)明：（1）解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù)中，且

6、這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；（2）公式常用來(lái)求值，特別是均為已知時(shí)，公式=，常用來(lái)證明或化簡(jiǎn)?！纠?】化簡(jiǎn)：；。解：原式提示：由，得，原式。說(shuō)明：【例9】（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是：，所以，共有60種不同的送法（2）由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購(gòu)方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法

7、種數(shù)是：，所以，共有125種不同的送法說(shuō)明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問(wèn)題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到那種書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算【例10】某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？解：分3類：第一類用1面旗表示的信號(hào)有種；第二類用2面旗表示的信號(hào)有種；第三類用3面旗表示的信號(hào)有種，由分類計(jì)數(shù)原理，所求的信號(hào)種數(shù)是：，答：一共可以表示15種不同的

8、信號(hào)例3將位司機(jī)、位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機(jī)和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個(gè)問(wèn)題可以分為兩步，第一步：把位司機(jī)分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，有種方法；第二步：把位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有種方法，利用分步計(jì)數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計(jì)數(shù)原理，分配方案共有（種）答：共有576種不同的分配方案【例11】用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法1：用分步計(jì)數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個(gè)，個(gè)位

9、數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè)，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè)，由分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：解法3：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為，其中以0為排頭的排列數(shù)為，因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是-說(shuō)明：解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惡头植?，直接?jì)算符合條件的排列數(shù)如解法1，2；間接法：對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來(lái)，然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法3對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，要恰當(dāng)?shù)卮_定分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)，防止重復(fù)與遺漏【例12】（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：7

10、個(gè)元素的全排列5040（2）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7×6×5×4×3×2×17！5040（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列=720（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有種；第二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種，所以，共有=240種排列方法（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其

11、余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有種方法，所以一共有2400種排列方法解法2：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有=2400種說(shuō)明：對(duì)于“在”與“不在”的問(wèn)題，常常使用“直接法”或“排除法”，對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮【例13】從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：（從特殊位置考慮）；解法二：（從特殊元素考慮）若選：；若不選：，則共有種；解

12、法三：（間接法）【例14】 7位同學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法所以這樣的排法一共有種（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有720種（3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有種方法；最后將甲、

13、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法所以這樣的排法一共有960種方法解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，若丙站在排頭或排尾有2種方法，所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有種方法，再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以，這樣的排法一共有960種方法（4）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)必須站在一起，另外四個(gè)人也必須站在一起解：將甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，另外四個(gè)人“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，時(shí)一

14、共有2個(gè)元素，一共有排法種數(shù)：（種）說(shuō)明：對(duì)于相鄰問(wèn)題，常用“捆綁法”（先捆后松）【例15】位同學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）；解法二：（插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置（空）有種方法，所以一共有種方法（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有種方法，此時(shí)他們留下五個(gè)“空”，再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空”有種方法，所以一共有1440種說(shuō)明：對(duì)于不相鄰問(wèn)題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）【例16】5男5女排成一排，按下列要求各

15、有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定順序排列。解：（1）先將男生排好，有種排法；再將5名女生插在男生之間的6個(gè)“空擋”（包括兩端）中，有種排法。故本題的排法有（種）；（2）方法1：；方法2：設(shè)想有10個(gè)位置，先將男生排在其中的任意5個(gè)位置上，有種排法；余下的5個(gè)位置排女生，因?yàn)榕奈恢靡呀?jīng)指定，所以她們只有一種排法。故本題的結(jié)論為（種）四、課堂練習(xí)（一） 1四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠、亞軍，不同的結(jié)果有（） 種 10種 12種 16種2信號(hào)兵用3種不同顏色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信號(hào)有（ ）3種 6種 1種 27種3且則用排列數(shù)符號(hào)表示為（ ） 45人站成一排照相，甲不站

16、在排頭的排法有（ ） 24種 72種 96種 120種5給出下列問(wèn)題：有10個(gè)車站，共需要準(zhǔn)備多少種車票？有10個(gè)車站，共有多少中不同的票價(jià)？平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，共可作出多少條不同的有向線段？有10個(gè)同學(xué)，假期約定每?jī)扇送娫捯淮危残柰ㄔ挾嗌俅?？?0個(gè)同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競(jìng)賽，有多少中選派方法？以上問(wèn)題中，屬于排列問(wèn)題的是 （填寫問(wèn)題的編號(hào)）6若 ，則以為坐標(biāo)的點(diǎn)共有 個(gè)7從參加乒乓球團(tuán)體比賽的5名運(yùn)動(dòng)員中選出3名進(jìn)行某場(chǎng)比賽，并排定他們的出場(chǎng)順序，有多少種不同的方法？8從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗(yàn)，有多少中不同的種植方法？9計(jì)算：（1） （2

17、）10分別寫出從這4個(gè)字母里每次取出兩個(gè)字母的所有排列；11寫出從這六個(gè)元素中每次取出3個(gè)元素且必須含有元素的所有排列答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. 6. 63 7. 60 8. 24 9. 348；64 10.共有個(gè)：ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc 11. 共有個(gè)，具體的排列略（二） 1若，則 （ ） 2與不等的是 （ ） 3若，則的值為 （ ） 4計(jì)算： ； 5若，則的解集是 6（1）已知，那么 ；（2）已知，那么= ；（3）已知，那么 ；（4）已知，那么 7一個(gè)火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種

18、不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火車）？8一部紀(jì)錄影片在4個(gè)單位輪映，每一單位放映1場(chǎng)，有多少種輪映次序？答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. 6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 （三）1將1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，沒格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法（ ）種. 6 9 11 232有5列火車停在某車站并排的五條軌道上，若快車A不能停在第三條軌道上，貨車B不能停在第一條軌道上，則五列火車的停車方法有（ ）種.78 72 120 96 3由0，3，5，7這五個(gè)數(shù)組成無(wú)

19、重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中是5的倍數(shù)的共有多少個(gè)（ ）9 21 24 42 4從七個(gè)數(shù)中，每次選不重復(fù)的三個(gè)數(shù)作為直線方程的系數(shù)，則傾斜角為鈍角的直線共有（ ）條. 14 30 70 60 5從4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，有 _種不同的種植方法 69位同學(xué)排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，這樣的排法種數(shù)共有 種。7（1）由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？ （2）由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字，并且比13000大的正整數(shù)？8學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序，除第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定外，4

20、個(gè)音樂(lè)節(jié)目要求排在第2、5、7、10的位置， 3個(gè)舞蹈節(jié)目要求排在第3、6、9的位置，2個(gè)曲藝節(jié)目要求排在第4、8的位置，共有多少種不同的排法？9某產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過(guò)5道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少種排列加工順序的方法？（2）如果其中某兩工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少種排列加工順序的方法？10一天的課表有6節(jié)課，其中上午4節(jié)，下午2節(jié)，要排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、微機(jī)、體育、地理六節(jié)課，要求上午不排體育，數(shù)學(xué)必須排在上午，微機(jī)必須排在下午，共有多少種不同的排法？11. 由數(shù)字0，1，2，3，4，（1）可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且比20000大的自然數(shù)？（2）2不在千位

21、，且4不在十位的五位數(shù)有多少個(gè)？ 答案：1. B 2. A 3. B 4. C 5. 24 6. 166320 7.325； 1148. 288 9.96； 36 10. 4811. （1）,（2）（） （四）1停車場(chǎng)上有一排七個(gè)停車位，現(xiàn)有四輛汽車需要停放，若要使三個(gè)空位連在一起，則停放方法數(shù)為（ ） 2五種不同商品在貨架上排成一排，其中兩種必須連排，而兩種不能連排，則不同的排法共有（ ）12種 20種 24種 48種 36張同排連號(hào)的電影票，分給3名教師與3名學(xué)生，若要求師生相間而坐，則不同的分法有（ ） 4某人射出8發(fā)子彈，命中4發(fā)，若命中的4發(fā)中僅有3發(fā)是連在一起的，那么該人射出的8發(fā)，按“命中”與“不命中”報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié)果有（ ）720種 480種 24種 20種 5設(shè)且，則在直角坐標(biāo)系中滿足條件的點(diǎn)共有 個(gè)67人站一排，甲不站排頭，也不站排尾，不同的站法種數(shù)有 種；甲不站排頭，乙不站排尾，不同站法種數(shù)有 種7一部電影在相鄰5