第三章傅里葉

1、第3章 傅里葉分析3.1 傅里葉變換概述一、 時間連續(xù)、頻率連續(xù)的傅里葉變換（FT）其傅里葉變換公式為：正變換 反變換 時域函數(shù)的連續(xù)性造成頻域函數(shù)的非周期性，而時域的非周期性造成頻譜的連續(xù)性。二、 時間連續(xù)、頻率離散的傅里葉變換傅里葉級數(shù)（FS）周期為T的周期性連續(xù)時間函數(shù)x(t)可展開成傅里葉級數(shù)，其系數(shù)為X(jk0)，X(jk0)是離散頻率的非周期函數(shù)。x(t)和X(jk0)組成變換對，其變換公式為：正變換 反變換 式中，k諧波序號； 0=2/T兩條相鄰的離散譜線之間角頻率的間隔；時域函數(shù)的連續(xù)性造成頻域函數(shù)的非周期性，而時域函數(shù)的周期性造成頻域函數(shù)的離散化。三、 時間離散、頻率連續(xù)的傅

2、里葉變換序列的傅里葉變換（DTFT）1. DTFT的定義序列的傅里葉變換公式為：正變換 反變換 注意：序列x(n)只有當(dāng)n為整數(shù)時才有意義，否則沒有定義。由于存在關(guān)系因此，序列的傅里葉變換也就是單位圓上的Z變換。時域的離散化造成頻譜函數(shù)的周期性延拓，而時域的非周期性造成頻域的連續(xù)性。2. DTFT的性質(zhì)（1） 線性定理（2） 時移定理（3） 頻移定理（4） 卷積定理注意：此處的卷積又稱為線性卷積。I. 時域卷積定理若，則復(fù)習(xí)：序列的運算 序列的運算包括翻褶、移位、和、積等。（a） 翻褶 如果序列為x(n)，則x(-n)是以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)加以翻褶。（b） 移位 如果序列為x(

3、n)，當(dāng)m為正時，則序列x(n+m)是指將序列x(n)依次逐項左移m位；當(dāng)m為負(fù)時，則右移m位。（c） 和 兩序列的和是指同序號（n）的序列值逐項對應(yīng)相加。（d） 積兩序列的積是指同序號（n）的序列值逐項對應(yīng)相乘。線性卷積的幾何意義：若兩序列x(n)和h(n)的卷積和定義為則卷積的運算過程包含以下四步：翻褶：先在坐標(biāo)系上作出h(m)，將h(m)以m=0的縱軸為對稱軸翻褶成h(-m)；移位：將h(-m)移位n，即得h(n-m)；注意： h(-m) 與h(m)的移位規(guī)律恰好相反，當(dāng)n為正時，則右移n位；當(dāng)n為負(fù)時，則左移n位。相乘：再將相同m值所對應(yīng)的h(n-m)和x(m)值相乘；相加：將上述所有

4、對應(yīng)點的乘積疊加，即得y(n)值；依次取n=，-2，-1，0，1，2，即可得到全部的y(n)值。II. 頻域卷積定理若，則上述兩個定理表明：離散時間序列的時域卷積對應(yīng)頻域相乘，而時域相乘則對應(yīng)其頻域卷積。（5） Parseval（帕塞瓦）定理Parseval定理表明：信號在時域的總能量就等于其頻域的總能量。四、 時間離散、頻率離散的傅里葉變換離散傅里葉變換（DFT）結(jié)論：一個域（時域或頻域）的離散化必然造成另一個域的周期延拓。3.2 周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）一、 DFS的定義1. 周期序列的概念設(shè)是周期為N的一個周期序列，即， r為任意整數(shù) 因為在任何z值下，周期序列z變換的和式都不

5、收斂，也就是說，周期序列不是絕對可和的，所以不能用z變換表示。 但是，和連續(xù)時間周期信號一樣，周期序列可以用離散傅里葉級數(shù)來表示，也就是用周期為N的復(fù)指數(shù)序列來表示。2. 周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換對（1） 數(shù)學(xué)推導(dǎo)（略，參見教材P9899）（2） 結(jié)論通過推導(dǎo)可見，周期序列與其離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)組成一個變換對，且也是一個周期為N的周期序列。一般，采用符號，則周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換公式為：正變換 反變換 3. 的性質(zhì)（1） 周期性（2） 對稱性（3） 正交性（重點強(qiáng)調(diào)）二、 DFS的性質(zhì)設(shè)和均是周期為N的周期序列，且有，1. 線性性質(zhì)2. 移位性質(zhì) （時移） （頻移，又稱調(diào)制特性）3

6、. 周期卷積（1） 時域卷積若，則注意：此處的卷積為周期卷積。它和前面所介紹的非周期序列的線性卷積的區(qū)別在于：參與周期卷積運算的兩個序列都是周期為N的周期序列，則其卷積結(jié)果仍是一個以N為周期的周期序列；求和運算只在一個周期（m=0N-1）的范圍內(nèi)進(jìn)行。周期卷積的運算過程（參見圖3.2.2）：運算在m=0N-1區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，先計算出n=0，1，N-1的卷積結(jié)果，然后將所得的結(jié)果進(jìn)行周期延拓，即可得到所求的整個周期序列。注意：計算過程中，一個周期的某一序列值移出計算區(qū)間時，相鄰的一個周期的同一位置的序列值就移入計算區(qū)間。（2） 頻域卷積由于DFS和IDFS的對稱性，同樣可以證明：時域周期序列的乘積對

7、應(yīng)頻域周期序列的周期卷積，即：若，則 3.3 離散傅里葉變換（DFT）一、 DFT的定義1. 有限長序列和周期序列的關(guān)系有限長序列x(n)和周期序列之間的關(guān)系可表示為通常，我們將周期序列的第一個周期（n=0N-1）定義為“主值區(qū)間”，故x(n)是的“主值序列”，且上述關(guān)系式可簡寫為 （3.3.1）式中，(n)N表示“n對N求余數(shù)”，或稱“n對N取模值”；利用長度為N的矩形序列符號RN(n)，即則（3.3.1）式又可寫成 同理，頻域周期序列也可看成是對有限長序列X(k)的周期延拓，而有限長序列X(k)則可看成是周期序列的主值序列，即2. 有限長序列的離散傅里葉變換對有限長序列的離散傅里葉變換公式

8、為：正變換 反變換 二、 DFT的性質(zhì)1. 線性性質(zhì)設(shè)x1(n)和x2(n)均是長度為N的有限長序列，且有，則 說明：（1） 若x1(n)和x2(n)的長度均為N，則ax1(n)+bx2(n)的長度也為N；（2） 若x1(n)和x2(n)的長度不等，設(shè)分別為N1和N2，則ax1(n)+bx2(n)的長度應(yīng)為二者中的最大值，即N = maxN1, N2； 例如，當(dāng)N1，則表明此x(n)在前面已經(jīng)和x()調(diào)換過了，不必再調(diào)換；否則，就必須進(jìn)行互換。綜上所述，實現(xiàn)倒位序排列的具體方法為：若n時，不必調(diào)換；若n時，就必須將原來存放x(n)和x()的存儲單元中的內(nèi)容互換。這樣就可以得到按時間抽取的同址運

9、算所需要的倒位序排列。三、 按頻率抽?。―IF）的基-2FFT算法（桑德-圖基算法）前面討論的FFT算法是將輸入序列x(n)按時間變量n的奇偶分解為越來越短的序列。類似地，如果我們將輸出序列X(k)按頻域變量k的奇偶分解為越來越短的序列，這種FFT算法就稱為“頻域抽取法”。四、 IDFT的快速算法（IFFT）利用FFT算法來計算IFFT的具體方法有以下兩種：1. 方法一 首先，比較IDFT公式和DFT 公式可見，只要將DFT運算中的每一個系數(shù)換成，最后再乘以常數(shù)1/N，則前面所介紹的按時間或按頻率抽取的FFT算法都可用來計算IDFT。輸入X(k)順序排列輸出x(n)倒序排列例如，我們可直接由8點頻率抽取FFT流圖出發(fā)，把換成，并在每級（列）運算中都乘以1/2（注意：因為乘以1/N就等效于1/N =1/2M=(1/2)M，所以相當(dāng)于每級都乘以1/2），這樣即可得到相應(yīng)