實數(shù)基本定理

1、 Ch 8 實數(shù)基本定理計劃課時： 8 時 § 0 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)簡介 （ 2 時 ）一 數(shù)的發(fā)展簡史：參閱數(shù)學(xué)分析選講講稿P6676（1997. 8.10 ）.1. 自然數(shù)的產(chǎn)生: 十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家 Leopold Kronecker說: 上帝創(chuàng)造了整數(shù),其余則是我們?nèi)祟惖氖铝?2. 從自然數(shù)系到有理數(shù)系:3. 算術(shù)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的建立及其破滅:不可公度性的發(fā)現(xiàn)及其深遠(yuǎn)影響. Pythagoras （約在紀(jì)元前六世紀(jì)）， Hippasus， Leonardoda Vinci 稱為“無理的數(shù)”. Eudoxus , Euclid.4. 微積分的建立: Newton , Leibniz ; Eu

2、ler , Lagrange , DAlembert , Laplace ; Voltaire , B. Berkeley . 十九世紀(jì)分析學(xué)理論的重建工作: B.Bolzano , A.Cauchy , Abel , Dirichlet, Weierstrass . Archimedes數(shù)域.5. 實數(shù)系的建立: 十九世紀(jì)后半葉由Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成.二. 連續(xù)統(tǒng)假設(shè):1. 連續(xù)統(tǒng)假設(shè): 以Cantor實數(shù)為例做簡介. Cauchy ( 17891857, 法 ), Bolzano (17811845 ), Cantor (

3、18291920 ).在他們的著作中表現(xiàn)了實數(shù)連續(xù)性的觀點. 1900年, 哥庭根大學(xué)教授Hilbert( 18621943, 德 )在巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會上的致辭中 , 提出了二十三個研究課題 ,其中的第一題就是所謂連續(xù)統(tǒng)假設(shè). 首當(dāng)其沖的是關(guān)于連續(xù)統(tǒng)觀點的算術(shù)陳述.( 參閱 D.J.斯特洛伊克著數(shù)學(xué)簡史P160161 ). 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的研究現(xiàn)況.2. 實數(shù)基本定理: 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的等價命題. 共有九個定理, 我們介紹其中的七個. 另外還有上、下極限定理和實數(shù)完備性定理. § 1 實數(shù)基本定理的陳述 （ 4 時 ）一 確界存在定理：回顧確界概念 Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界

4、；非空有下界數(shù)集必有下確界 .二. 單調(diào)有界原理: 回顧單調(diào)和有界概念 . Th 2 單調(diào)有界數(shù)列必收斂 .三. Cantor閉區(qū)間套定理 :1. 區(qū)間套: 設(shè)是一閉區(qū)間序列. 若滿足條件> 對, 有 , 即 , 亦即后一個閉區(qū)間包含在前一個閉區(qū)間中 ; > . 即當(dāng)時區(qū)間長度趨于零.則稱該閉區(qū)間序列為一個遞縮閉區(qū)間套, 簡稱為區(qū)間套 .簡而言之, 所謂區(qū)間套是指一個 “閉、縮、套” 區(qū)間列.區(qū)間套還可表達(dá)為: .我們要提請大家注意的是, 這里涉及兩個數(shù)列和 , 其中遞增,遞減.例如 和都是區(qū)間套. 但、和 都不是.2. Cantor區(qū)間套定理:Th 3 設(shè)是一閉區(qū)間套. 則存在唯

5、一的點,使對有. 簡言之, 區(qū)間套必有唯一公共點.四 Cauchy收斂準(zhǔn)則 數(shù)列收斂的充要條件 :1. 基本列 : 回顧基本列概念 . 基本列的直觀意義 . 基本列亦稱為Cauchy列.例1 驗證以下兩數(shù)列為Cauchy列 : . .解 ; 對，為使 ，易見只要 .于是取 . .當(dāng)為偶數(shù)時 , 注意到上式絕對值符號內(nèi)有偶數(shù)項和下式每個括號均為正號 , 有 ,又 .當(dāng)為奇數(shù)時 , , .綜上 , 對任何自然數(shù), 有 . Cauchy列的否定: 例2 . 驗證數(shù)列不是Cauchy列.證 對, 取, 有 .因此, 取 ,2. Cauchy收斂原理: Th 4 數(shù)列收斂 是Cauchy列.( 要求學(xué)生

6、復(fù)習(xí)函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)的Cauchy準(zhǔn)則，并以Cauchy收斂原理為依據(jù)，利用Heine歸并原則給出證明 ) 五. 致密性定理:數(shù)集的聚點(亦稱為接觸點):定義 設(shè)是無窮點集. 若在點(未必屬于)的任何鄰域內(nèi)有的無窮多個點, 則稱點為的一個聚點. 數(shù)集=有唯一聚點, 但; 開區(qū)間 的全體聚點之集是閉區(qū)間; 設(shè)是中全體有理數(shù)所成之集, 易見的聚點集是閉區(qū)間.1. 列緊性: 亦稱為Weierstrass收斂子列定理. Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界數(shù)列必有收斂子列. 2. 聚點原理 : Weierstrass聚點原理. Th 6 每一個有界無窮點集必有聚點.六. HeineBo

7、rel 有限復(fù)蓋定理:1. 復(fù)蓋: 先介紹區(qū)間族.定義( 復(fù)蓋 ) 設(shè)是一個數(shù)集 , 是區(qū)間族 . 若對,則稱區(qū)間族復(fù)蓋了, 或稱區(qū)間族是數(shù)集的一個復(fù)蓋. 記為若每個都是開區(qū)間, 則稱區(qū)間族是開區(qū)間族 . 開區(qū)間族常記為.定義( 開復(fù)蓋 ) 數(shù)集的一個開區(qū)間族復(fù)蓋稱為的一個開復(fù)蓋, 簡稱為的一個復(fù)蓋.子復(fù)蓋、有限復(fù)蓋、有限子復(fù)蓋.例3 復(fù)蓋了區(qū)間, 但不能復(fù)蓋;復(fù)蓋, 但不能復(fù)蓋.2. HeineBorel 有限復(fù)蓋定理: Th 7 閉區(qū)間的任一開復(fù)蓋必有有限子復(fù)蓋. § 2 實數(shù)基本定理等價性的證明 （ 4 時 ）證明若干個命題等價的一般方法.本節(jié)證明七個實數(shù)基本定理等價性的路線

8、: 證明按以下三條路線進行: 確界原理 單調(diào)有界原理 區(qū)間套定理 Cauchy收斂準(zhǔn)則 確界原理 ;: 區(qū)間套定理 致密性定理 Cauchy收斂準(zhǔn)則 ;: 區(qū)間套定理 HeineBorel 有限復(fù)蓋定理 區(qū)間套定理 . 一. “” 的證明: (“確界原理 單調(diào)有界原理”已證明過 ).1. 用“確界原理”證明“單調(diào)有界原理”: Th 2 單調(diào)有界數(shù)列必收斂 .證 2. 用“單調(diào)有界原理”證明“區(qū)間套定理”: Th 3 設(shè)是一閉區(qū)間套. 則存在唯一的點,使對有. 證 系1 若是區(qū)間套確定的公共點, 則對, 當(dāng)時, 總有.系2 若是區(qū)間套確定的公共點, 則有, , . 3. 用“區(qū)間套定理”證明“C

9、auchy收斂準(zhǔn)則”:Th 4 數(shù)列收斂 是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列. ( 證 )Th 4 的證明: ( 只證充分性 ) 教科書P217218上的證明留作閱讀 . 現(xiàn)采用3P7071例2的證明, 即三等分的方法, 該證法比較直觀.4 用“Cauchy收斂準(zhǔn)則” 證明“確界原理” ：Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界 .證 （只證“非空有上界數(shù)集必有上確界”）設(shè)為非空有上界數(shù)集 . 當(dāng)為有限集時 , 顯然有上確界 .下設(shè)為無限集, 取不是的上界, 為的上界. 對分區(qū)間, 取, 使不是的上界, 為的上界. 依此得閉區(qū)間列. 驗證為Cauchy列, 由

10、Cauchy收斂準(zhǔn)則,收斂; 同理收斂. 易見. 設(shè).有.下證.用反證法驗證的上界性和最小性.二. “” 的證明:1. 用“區(qū)間套定理”證明“致密性定理”: Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界數(shù)列必有收斂子列.證 （ 突出子列抽取技巧 ） Th 6 每一個有界無窮點集必有聚點.證 （ 用對分法 ） 2用“致密性定理” 證明“Cauchy收斂準(zhǔn)則” ： Th 4 數(shù)列收斂 是Cauchy列.證 （ 只證充分性 ）證明思路 ：Cauchy列有界 有收斂子列驗證收斂子列的極限即為的極限. Ex 1P223224 17，11.三. “” 的證明:1. 用“區(qū)間套定理”證明“HeineB

11、orel 有限復(fù)蓋定理”:證2. 用“HeineBorel 有限復(fù)蓋定理” 證明“區(qū)間套定理”:證 采用3P72例4的證明. Ex 1P224 812 選做，其中 1 0 必做. § 3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明 ( 4 時 ) 一. 有界性: 命題1 , 在上. 證法 一 ( 用區(qū)間套定理 ). 反證法. 證法 二 ( 用列緊性 ). 反證法. 證法 三 ( 用有限復(fù)蓋定理 ).二. 最值性: 命題2 , 在上取得最大值和最小值. ( 只證取得最大值 ) 證 ( 用確界原理 ) 參閱1P226 證法 二 后半段.三. 介值性: 證明與其等價的“零點定理 ”. 命題3 ( 零點定理

12、 ) 證法 一 ( 用區(qū)間套定理 ) . 證法 二 ( 用確界原理 ). 不妨設(shè) .令, 則非空有界, 有上確界. 設(shè),有. 現(xiàn)證 , ( 為此證明且 ). 取> 且. 由在點連續(xù)和, , . 于是. 由在點連續(xù)和, . 因此只能有. 證法 三 ( 用有限復(fù)蓋定理 ). Ex 1P232 1，2，5.四. 一致連續(xù)性: 命題4 ( Cantor定理 ) 證法 一 ( 用區(qū)間套定理 ) . 參閱1P229230 證法一 證法 二 ( 用列緊性 ). 參閱1P229230 證法二 Ex 1P232 3，4， 6；P236 1，2，4. 習(xí) 題 課 （ 4 時 ）一 實數(shù)基本定理互證舉例：例1

13、 用“區(qū)間套定理”證明“單調(diào)有界原理”.證 設(shè)數(shù)列遞增有上界. 取閉區(qū)間 , 使不是的上界, 是的上界. 易見在閉區(qū)間 內(nèi)含有數(shù)列的無窮多項, 而在外僅含有的有限項. 對分, 取使有的性質(zhì).于是得區(qū)間套,有公共點. 易見在點的任何鄰域內(nèi)有數(shù)列的無窮多項而在其外僅含有的有限項, .例2 用“確界原理”證明“區(qū)間套定理”. 證 為區(qū)間套. 先證每個為數(shù)列的下界, 而每個為數(shù)列的上界. 由確界原理 , 數(shù)列有上確界, 數(shù)列有下確界 . 設(shè) , .易見有 和. 由，.例3 用“有限復(fù)蓋定理”證明“聚點原理”.證 ( 用反證法 ) 設(shè)為有界無限點集, . 反設(shè)的每一點都不是的聚點, 則對, 存在開區(qū)間

14、, 使在內(nèi)僅有的有限個點. .例4 用“確界原理”證明“聚點原理”.證 設(shè)為有界無限點集. 構(gòu)造數(shù)集 中大于的點有無窮多個.易見數(shù)集非空有上界, 由確界原理, 有上確界. 設(shè) . 則對,由不是的上界, 中大于的點有無窮多個; 由是的上界, 中大于的點僅有有限個. 于是, 在內(nèi)有的無窮多個點,即是的一個聚點 .二. 實數(shù)基本定理應(yīng)用舉例：例5 設(shè)是閉區(qū)間上的遞增函數(shù), 但不必連續(xù) . 如果, 則, 使. ( 山東大學(xué)研究生入學(xué)試題 )證法 一 ( 用確界技術(shù) . 參閱3 P76例10 證法1 )設(shè)集合 . 則, 不空 ; ,有界 .由確界原理 ,有上確界. 設(shè), 則.下證.> 若, 有;

15、又, 得. 由遞增和, 有, 可見. 由, . 于是 , 只能有.> 若, 則存在內(nèi)的數(shù)列, 使, ; 也存在數(shù)列, ,. 由遞增, 以及, 就有式對任何成立 . 令, 得 于是有.證法二 ( 用區(qū)間套技術(shù), 參閱3 P77例10 證法2 ) 當(dāng)或時,或就是方程在上的實根 . 以下總設(shè). 對分區(qū)間, 設(shè)分點為 . 倘有, 就是方程在上的實根.(為行文簡練計, 以下總設(shè)不會出現(xiàn)這種情況 ) . 若, 取; 若, 取, 如此得一級區(qū)間 . 依此構(gòu)造區(qū)間套, 對,有 . 由區(qū)間套定理, , 使對任何,有. 現(xiàn)證. 事實上, 注意到時和以及遞增, 就有 .令, 得于是有.例6 設(shè)在閉區(qū)間上函數(shù)連續(xù), 遞增 , 且有,. 試證明: 方程 在區(qū)間 內(nèi)有實根 . （ 西北師大2001年碩士研究生入學(xué)試題 ）證 構(gòu)造區(qū)間套,使 .由區(qū)間套定理, 使對, 有. 現(xiàn)證 . 事實上, 由在上的遞增性和的