2020年中考數(shù)學(xué)必考34個(gè)考點(diǎn)專題19：平行四邊形

1、專題19平行四邊形專題知識(shí)回顧1 .平行四邊形定義： 有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號(hào) "DABCD”表示,如平行四邊形 ABCD記作“ DABCD”，讀作“平行四邊形 ABCD2 .平行四邊形的性質(zhì)：(1)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；(2)平行四邊形的對(duì)角相等；(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分。3 .平行四邊形的判定：(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3) 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(4)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；(5)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。4 .平行四邊形的面

2、積：S平行四邊形 =底邊長(zhǎng)x高=ah專題典型題考法及解析BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE延長(zhǎng)線上，添【例題1】(2019?廣西池河)如圖，在 ABC中，D, E分別是AB加一個(gè)條件使四邊形 ADFC為平行四邊形，則這個(gè)條件是A. / B=/ FB. / B=/ BCF C. AC=CFD. AD = CF【答案】B.【解析】利用三角形中位線定理得到DE /-AC,結(jié)合平行四邊形的判定定理進(jìn)行選擇.=2在4ABC中，D, E分別是 AB, BC的中點(diǎn),DE是4ABC的中位線,DE f AC.A.根據(jù)/ B=Z F不能判定AC/ DF,即不能判定四邊形 ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.B.根據(jù)/ B=Z

3、 BCF可以判定CF /AB,即CF /AD,由“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)正確.C.根據(jù)AC=CF不能判定AC/ DF,即不能判定四邊形 ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.根據(jù)AD = CF, FD /AC不能判定四邊形 ADFC為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.【例題2】(2018湖北黃石)如圖， ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 ,分別以AB, AC為直角邊向外作 等腰直角 ABD和等腰直角 ACE G為BD的中點(diǎn)，連接 CG BE, CD，BE與CD交于點(diǎn)F.(1)判斷四邊形 ACGD勺形狀，并說明理由.(2)求證：BE=CD

4、 BE± CD【答案】看解析?！窘馕觥勘绢}主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形和全等三角形的判定及性質(zhì)定理，綜合運(yùn)用 各種定理是解答此題的關(guān)鍵.(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得BD=2BC因?yàn)镚為BD的中點(diǎn)，可得BG=BC由/ CGB=45 , / ADB=45得AD/ CG由/ CBD廿ACB=180 ,得AC/ BQ得出四邊形 ACG函平行四邊形；(2)利用全等三角形的判定證得 DAe ABAEE,由全等三角形的性質(zhì)得 BE=CD首先證得四邊形 ABC時(shí)平 行四邊形，再利用全等三角形的判定定理得BC& ACAD易彳導(dǎo)/ CBE=/ ACD由/ ACB=90 ,易得

5、/CFB=90° ,得出結(jié)論. ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 ,.AB=. BC,. ABD和 ACE均為等腰直角三角形，BD=,L；_L=BC l- 匚：=2BG.G為BD的中點(diǎn),BG=-BD=BC2 .CB劭等腰直角三角形，CGB=45 , / ADB=45 ,AD/ CG / ABD=45 , / ABC=45/ CBD=90 , / ACB=90 , ./ CBD吆 ACB=180 ,AC/ BD, 四邊形ACGM平行四邊形；(2)證明：. / EAB=/ EAC吆 CAB=90 +45° =135° ,/CAD叱 DAB吆 BAC=90 +4

6、5° =135° , ./ EAB=Z CAD在 DAd BAE 中，/CAD=/EAB ,:AC=AE. .DA隼 BAE . BE=CD / EAC=/ BCA=90 , EA=AC=BC 四邊形ABCE為平行四邊形，CE=AB=AD在 BCE與ACAD中，<BC=AC"ZBCE=ZCAD=135O ,、EC=DA .BC珞 ACAD / CBEh ACD /ACD吆 BCD=90 , .CBE吆 BCD=90 ,，CFB=90 ,即 BE! CD專題典型訓(xùn)練題一、選擇題1 .（福建福州）平面直角坐標(biāo)系中，已知 DABCD的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 A （m,

7、 n） , B （ 2, l）, C （ m, n）,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A. （2 , l ） B. （-2, - l ）C. （1, -2 ） D . （1, 2 ）【答案】A【解析】 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，得出D和B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由平行四邊形的性質(zhì)得出D和B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得出點(diǎn) D的坐標(biāo). A （m, n）, C （ - m, - n）,二.點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二.四邊形ABCD是平行四邊形，.口和B關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱，.B （2, - 1）,二點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-2, 1）,故

8、選擇A .2 .（河北?。╆P(guān)于DABCD勺敘述，正確的是（）A.若AB± BC,則DABC皿菱形 B .若AC! BD,則 ABC皿正方形C,若 AC=BD 貝U DABCD矩形D ,若 AB=AD 貝U ABCD正方形【答案】C【解析】根據(jù)菱形、矩形和正方形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷當(dāng)AB± BC時(shí)，/ ABC= 90° , ABC比矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形），故選項(xiàng)A不正確；. - AC± BD,DABCD菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形），故選項(xiàng)B不正確；: AC=BD，口ABCD矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形），故選項(xiàng)C正

9、確； AB=AD , 口ABCD菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形），故選項(xiàng)D不正確.3 .（湖南湘西）.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形C. 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D. 一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形【答案】D【解析】 此題主要考查了平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判斷定理可作出判斷.選項(xiàng)A、B、C都是平行四邊形的判定定理，符合選項(xiàng)D條件的除了平行四邊形還有等腰梯形，故選擇D .4. （2019?山東臨沂）如圖，在平行四邊形 ABCD中，M、N是BD上兩點(diǎn)，BM = DN ,連接AM、M

10、C、CN、NA,添加一個(gè)條件，使四邊形 AMCN是矩形,這個(gè)條件是（A . OM = AC2B. MB=MOC. BDXACD. /AMB=/CND四邊形.由平行四邊形的性質(zhì)可知：OA= OCOB=OD,再證明 OM=ON即可證明四邊形 AMCN是平行證明：四邊形ABCD是平行四邊形,.OA=OC, OB=OD對(duì)角線BD上的兩點(diǎn) M、N滿足BM=DN,OB - BM =OD - DN,即 OM =ON,四邊形AMCN是平行四邊形, OM =-1-AC,MN = AC,四邊形AMCN是矩形.5.（山東淄博）如圖，ABC的面積為16,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且 BD = - BC,點(diǎn)G是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)

11、 H4在ABC內(nèi)部，且四邊形 BDHG是平行四邊形.則圖中陰影的面積是（A. 3B. 4C. 5D. 6.這里兩本題考查三角形的面積的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，及整體思想，解題關(guān)鍵是能整體求解陰影部分以公共邊 GH為底，則高的和= . ABC的BC邊的高.CGH底邊GH上的高為h2,則有h=hi+h2.設(shè)ABC底邊BC上的高為h, .AGH底邊GH上的高為hiS/ABC=1 BC?h=16, 2S陰影=Szagh+SzcGHF1GH?hi+ 1 GH?h2=1 GH? (hi+h2)=1GH?h. 2222小邊形BDHG是平行四邊形，且 BD=1BC,4z2GH=BD=1 BC； 4S陰影=1x

12、 ( 1 BC?h) = - S. ABC=4.故選擇 B424、填空題6. （2019廣西百色）四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，矩形 ABCD按箭頭方向變形成平行四邊形A'B'C'D',當(dāng)【解析】根據(jù)矩形和平行四邊形的面積公式可知，平行四邊形A'B'C'D'的底邊AD邊上的高等于 AD的一半,據(jù)此可得/ A'為30° .1 S平行四邊形初矩形煙D，平行四邊形 A'B'C'D'的底邊AD邊上的高等于 AD的一半,A'=30° .6. （2019湖南婁底）如圖，平行四邊形

13、ABCD的對(duì)角線 AC、BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，ABCD的周長(zhǎng)為18,則4DEO的周長(zhǎng)是【答案】9.【解析】E為AD中點(diǎn)，四邊形 ABCD是平行四邊形,DE= 1AD= 1 BC, DO=1BD, AO=CO ,2221.OE= -cd, 2.BCD的周長(zhǎng)為 18,BD + DC+B=18 , .DEO 的周長(zhǎng)是 DE+OE+DO = 1 （BC+DC + BD） =- X18=9227. （ 2019河南?。┤鐖D，在DABC中，BE!A皎對(duì)角線A什點(diǎn)E,若/ 1=20° ,則/ 2的度數(shù)是 【解析】 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和和三角形外角的性質(zhì)求角的大小，解題的關(guān)鍵是熟練

14、運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)或三角形外角的有關(guān)知識(shí).思路：首先利用平行四邊形的性質(zhì)求出/BAE的度數(shù)，再由/ 2是 ABE的外角求出/ 2的大小.四邊形ABCD是平行四邊形AB / CD, ./ BAE= / 1=20° BEX AB/ ABE=902是 ABE的外角 ./ 2=/ABE+ Z BAE=90 +20° =110 ,故答案為 110° .8.（ 2019湖北省十堰市）如圖，在平行四邊形 ABCD中，AB=2 J13 cm,AD=4cm,A C± BC,則 DBC比AABC的周長(zhǎng)長(zhǎng) cm.£C【答案】4【解析】 本題屬于平面幾何的計(jì)算題，主要

15、涉及到平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的周長(zhǎng)等；解題分別表示出的關(guān)鍵是 DBC比 ABC的周長(zhǎng)長(zhǎng)等于BD-AC;解題的思路是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理, DBC的周長(zhǎng)與 ABC的周長(zhǎng)，找出 BD-AC的值即可.如圖，設(shè) AC與BD交于點(diǎn)F,因?yàn)锳B=2 J13 cm,AD=4cm,A C± BC,所以AC=x'AB2_BC2" ：(2j13)2 42 366 6;因?yàn)槠叫兴倪呅?ABCD 中，所以，AF=FC,BF=DF; BF= VBCCF2 T4232 5, BD=10;因?yàn)?DBC 的周長(zhǎng)=BD+BC+CD=10+AB,ABC 的周長(zhǎng)=AB+BC+6所以

16、 DBC比 ABC的周長(zhǎng)長(zhǎng)4.9 .（2019浙江金華）如圖，已知AB .<, BC-DE.若= 20°, 2=120 °,則.人£口的度數(shù)是【答案】80°【解析】延長(zhǎng)DE交AB于F,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及三角形內(nèi)外角的關(guān)系可以確定.AED的度數(shù).延長(zhǎng)DE交AB于F,因?yàn)锳B.CD, BC;DE,所以四邊形BCDF為平行四邊形，因?yàn)?（ = 120°,所以.BFD = 120°,所以-. AFD = 60°,又.八二？。，所以. AED = 60° +20=80°,故答案為 80° .10

17、 .（江蘇省無(wú)錫市）如圖，已知 DOABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線x= 1和x= 4上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對(duì)角 線OB長(zhǎng)的最小值為.【答案】5.【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是知道點(diǎn)B到直線x= 4的距離等于點(diǎn) O到直線x=1的距離.本題的思路是由平行四邊形的中心對(duì)稱的性質(zhì)可知點(diǎn)O與點(diǎn)A,點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的水平距離相等，可求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，也就是說點(diǎn)B在一條垂直于x軸的直線上運(yùn)動(dòng)，我們只需尋找出點(diǎn) B在什么位置時(shí)， OB最短即可.;頂點(diǎn)A、C分別在直線x=1和x=4上，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) B在x=5上，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上時(shí)，即OB 的最小值為5,故答案為5.11. （2019?胡北武漢）如

18、圖，在？ABCD中，E.F是對(duì)角線 AC上兩點(diǎn)，AE = EF=CD, / ADF=90° , / BCD = 63° ,則/ ADE的大小為 .【答案】21° .【解析】設(shè)/ ADE = x, AE= EF, / ADF = 90° , ./DAE = / ADE = x, DE=AF = AE= EF,2 AE= EF=CD,DE = CD, ./ DCE = Z DEC = 2x, 四邊形ABCD是平行四邊形，AD / BC, ./ DAE = Z BCA=x, ./DCE = / BCD / BCA= 63° - x,.-2x=63 -

19、 x,解得：x=21 ,即/ADE = 21 ° 。三、解答題12. (2019徐州)如圖，將平行四邊形紙片 ABCD&一條直線折疊，使點(diǎn) A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處,折痕為EE求證：(1) / ECB= / FCG(2) EB挈 FGC【答案】見解析?！窘馕觥恳罁?jù)平行四邊形的性質(zhì)， 即可得到/ A= /BCD由折疊可得，/A= /ECG即可得到/ ECB= /FCG 依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得出/ D= / B, AD= BC由折疊可得，/ D= / G AD= CG即可彳#到/ B= Z G, BC= CG進(jìn)而彳導(dǎo)出 EB挈 FGC證明：(1)二.四邊形 ABCD平行

20、四邊形，/ A= / BCD由折疊可得，/ A= /ECG/ BCD= / ECG / BCD / ECF= / ECG / ECF ./ ECB= / FCG(2) 四邊形 ABCD平行四邊形，.Z D= / B, AD= BC由折疊可得，/ D= /G, AD= CG. . / B= / G, BC= CG又. / ECB= / FCGEB室 FGC (ASA.BA的延長(zhǎng)線【答案】見解析.13. （2019湖南郴州）如圖，平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接 CE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F,連接AC, DF .求證：四邊形 ACDF是平行四邊形.【解析】解：.四邊形 ABCD是平行四邊形,

21、AB / CD, ./ FAE = Z CDE,E是AD的中點(diǎn)，.AE=DE,又. / FEA=/ CED,FAEACDE （ASA）,CD = FA,又 CD / AF,四邊形ACDF是平行四邊形.交BC的延長(zhǎng)14.（湖南省永州市）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，/ BAD的角平分線AE交CD于點(diǎn)F , 線于點(diǎn)E.(1)求證：BE=CD.(2)連接BF,若BFXAE, / BEA=60° , AB=4,求平行四邊形 ABCD的面積.【答案】見解析?！窘馕觥?1)證明：四邊形 ABCD為平行四邊形，AB=CD , AD/BE,/ DAE=/AEB.BAD , ./ DAE = /B

22、AE./ BAE= / AEB . BE=AB .又 AB=CD , . BE=CD .(2) BE=AB, BFXAE, ，AF = EF, AD/BE, ，/D = /DCE, /DAF = /FEC,ADFA ECF(AAS). . . S平行四邊形 abcd=SaABE.BE=AB, Z BEA=60° ,. .ABE為等邊三角形.又AE平分/ S平行四邊形ABCD=4技 Saabe= 1AE - BF=1 X 4X 4sin 60° =1 X 4X4X =4/3 . 222215. (2019 安徽)如圖，點(diǎn) E在？ABC吶部，AF/ BE, DF/ CE(1)求

23、證： BCEEAADF(2)設(shè)？ABCD勺面積為S,四邊形 AEDF勺面積為T,求工的值.【答案】見解析?？傻媒Y(jié)論.【解析】根據(jù) ASAffi明： BC降 ADF根據(jù)點(diǎn)E在？ABC吶部，可知：&bec+Saaedf S?abcq(1) .四邊形 ABCD平行四邊形, . AD= BC AD/ BG /ABG/BAD= 180 , AF/ BE, / EAB/ BAF= 180 ,/ CBE= / DAF同理得/ BCE= Z ADF在 BC呼口 ADF中，r ZCBE=ZDAF BC=AD ，Izbce=ZaefBC摩 ADF (ASA；(2) .點(diǎn)E在?ABC吶部,- Sa bec+

24、SL aed= -S?abcd, 2由(1)知： BCEEAADF Sa bce= SL adf,S 四邊形 AEDF= SADf+Sa AED= SaBE(+SaAED=-S?ABCD,2.?ABCD勺面積為S,四邊形AEDF勺面積為T,16. （2019湖南張家界）如圖，在平彳T四邊形 ABCD中，連接對(duì)角線 AC,延長(zhǎng)AB至點(diǎn) 巳 使BE = AB,連接DE,分別交BC, AC交于點(diǎn)F, G.(1)求證：BF=CF;(2)若 BC=6, DG=4,求 FG 的長(zhǎng).【答案】（1）見解析；（2） 2.【解析】（1）證明：二四邊形 ABCD是平行四邊形, AD C CD, AD=BC, . E

25、BFAEAD,EBEABF= 1AD= 1BC, 22BF = CF;(2)解：二四邊形 ABCD是平行四邊形,AD / CD , . FGCADGA,解得，F(xiàn)G = 2.17. （2019摘京）如圖，D是 ABC的邊AB的中點(diǎn)，DE/ BC, CE/AB, AC與DE相交于點(diǎn) F.求證: ADFACEF.【答案】見解析?！窘馕觥恳罁?jù)四邊形 DBCE是平行四邊形，即可得出BD=CE,依據(jù)CE / AD ,即可得出/ A=/ECF,/ADF = / E,即可判定 ADFA CEF .證明：DE / BC, CE/AB,四邊形DBCE是平行四邊形，BD = CE, , D是AB的中點(diǎn)，AD = B

26、D,AD = EC,. CE/ AD,. A=/ ECF, / ADF = Z E,ADFA CEF (ASA).二BC18. (2018海南)如圖，將？ABCDWAD邊延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使De/aD連接CEF是BC邊的中點(diǎn)，連接FD.(1)求證：四邊形 CEDF是平行四邊形；(2)若 AB=3 AD=4 / A=60° ,求 CE的長(zhǎng).【答案】看解析?！窘馕觥靠键c(diǎn)是平行四邊形的判定與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC AD/ BC,進(jìn)而利用已知得出 DE=FC DE/ FC,進(jìn)而得出答案；首先過點(diǎn)D作DN BC于點(diǎn)N,再利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出 DF的長(zhǎng)，

27、進(jìn)而得出答案.(1)證明：二四邊形 ABC虛平行四邊形，AD=BC AD/ BC, , DE=：jAD, F是BC邊的中點(diǎn)，DE=FC DE/ FC, 四邊形CEDF是平行四邊形；(2)解：過點(diǎn)D作DN± BC于點(diǎn)N, 四邊形ABC皿平行四邊形，/ A=60。， ./ BCDW A=60° , . AB=3, AD=4|13SJsFC=2, NC=DC二,DN=-=-, 222 fn=t；,則 df=ec=dN，F(xiàn)M="19. (2019遼寧本溪) 如圖，在四邊形 ABCD中，AB/CD, ADXCD, / B=45° ,延長(zhǎng) CD到點(diǎn)E,使DE = DA ,連接 AE.(1)求證：AE=BC;(2)若AB=3, CD = 1,求四邊形 ABCE的面積.【答案】見解析?！窘馕觥孔C明：（1） .AB/CD, /B = 45. C+Z B= 180° ./ C= 135° DE = DA, AD LCD ./ E = 45°/ E+Z C= 180°AE/ BC,且 AB / CD 四邊形ABCE是平行四邊形AE= BC(2)二四邊形ABCE是平行四邊