熱力學統(tǒng)計物理試題

1、簡述題1. 寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的自由能判據(jù)。一個處在溫度和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對于各種可能的有限虛變動，所引起的自由能的改變均大于零。即。2. 寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的吉布斯函數(shù)判據(jù)。一個處在溫度和壓強不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對于各種可能的有限虛變動，所引起的吉布斯函數(shù)的改變均大于零。即。3. 寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的熵判據(jù)。一個處在內(nèi)能和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對于各種可能的有限虛變動，所引起的熵變均小于零。即 4. 熵的統(tǒng)計解釋。由波耳茲曼關(guān)系 可知，系統(tǒng)熵的大小反映出系統(tǒng)在該宏觀狀態(tài)下所具有的可能的微觀狀態(tài)的多少。而可

2、能的微觀狀態(tài)的多少，反映出在該宏觀平衡態(tài)下系統(tǒng)的混亂度的大小。故，熵是系統(tǒng)內(nèi)部混亂度的量度。5. 為什么在常溫或低溫下原子內(nèi)部的電子對熱容量沒有貢獻？不考慮能級的精細結(jié)構(gòu)時，原子內(nèi)的電子激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能量差為，相應(yīng)的特征溫度為。在常溫或低溫下，電子通過熱運動獲得如此大的能量而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率幾乎為零，平均而言電子被凍結(jié)基態(tài)，因此對熱容量沒有貢獻。6. 為什么在常溫或低溫下雙原子分子的振動對熱容量貢獻可以忽略？因為雙原子分子的振動特征溫度，在常溫或低溫下 ，振子通過熱運動獲得能量 從而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率極小，因此對熱容量的貢獻可以忽略。7. 能量均分定理。對于處在平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，當系統(tǒng)的溫度

3、為T時，粒子能量 的表達式中的每一個獨立平方項的平均值為。8等概率原理。對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各種可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。9. 概率密度的物理意義、代表點密度的物理意義及兩者的關(guān)系。 在t時刻，系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)代表點出現(xiàn)在相點鄰域，單位相空間體積內(nèi)的概率。 在t時刻，在相點鄰域單位相空間體積內(nèi)，系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)代表點數(shù)。它們的關(guān)系是：。 其中， 是系綜中系統(tǒng)總數(shù)填空題 1. 玻色分布表為 ；費米分布表為 ；玻耳茲曼分布表為 。當滿足條件 時，玻色分布和費米分布均過渡到玻耳茲曼分布。2 玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)粒子配分函數(shù)用表示，系統(tǒng)平均粒子數(shù)為 ，內(nèi)能表為 ，廣義力表為 ，熵

4、表為 。3. 均勻系的平衡條件是 且 ；平衡穩(wěn)定性條件是 且 。4. 均勻開系的克勞修斯方程組包含如下四個微分方程： ， ， ， 。5. 對于含N個分子的雙原子分子理想氣體，在一般溫度下，原子內(nèi)部電子的運動對熱容量 無貢獻 ；溫度大大于振動特征溫度時，；溫度小小于轉(zhuǎn)動特征溫度時， 。溫度大大于轉(zhuǎn)動特征溫度而小小于動特征溫度時， 。6 準靜態(tài)過程是指 過程進行中的每一個中間態(tài)均可視為平衡態(tài) 的過程；無摩擦準靜態(tài)過程的特點是 外界對系綜的作用力，可用系統(tǒng)的狀態(tài)參量表示出來。7 絕熱過程是指，系統(tǒng)狀態(tài)的改變，完全是機械或電磁作用的結(jié)果，而沒有受到其他任何影響 的過程。在絕熱過程中，外界對系統(tǒng)所做的功

5、 與具體的過程 無關(guān)，僅由 初終兩態(tài) 決定。8. 費米分布是指，處在 平衡態(tài) 、 孤立 的費米系統(tǒng)，粒子在 能級上 的 最概然 分布。9. 弱簡并理想玻色氣體分子間存在 統(tǒng)計吸引作用 ；弱簡并理想費米氣體分子間存在 統(tǒng)計排斥作用 。10 玻色分布是指，處在 平衡態(tài) 、 孤立 的玻色系統(tǒng)，粒子在 能級上 的 最概然 分布。11. 對于一單元復(fù)相系，未達到熱平衡時，熱量從 高溫相 傳至 低溫相 ；未達到相變平衡時，物質(zhì)從 高化學勢相向低化學勢相 作宏觀遷移。12. 微正則系綜是 大量的結(jié)構(gòu)完全相同的且處于平衡態(tài)的故里系統(tǒng)的集合 ；微正則分布是指 在微正則系綜中，系統(tǒng)按可能的微觀態(tài)的分布 ；微正則分

6、布是 平衡態(tài)統(tǒng)計物理學 的基本假設(shè)，它與 等概率原理 等價。13. 玻耳茲曼系統(tǒng)粒子配分函數(shù)用表示，內(nèi)能統(tǒng)計表達式為 ， 廣義力統(tǒng)計表達式為 ，熵的統(tǒng)計表達式為 ，自由能的統(tǒng)計表達式為 。14. 與分布相應(yīng)的，玻色系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為 ；費米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù) ；玻耳茲曼系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為 。當滿足條件經(jīng)典近似條件時，三種微觀狀態(tài)數(shù)之間的關(guān)系為 。15. 熱力學系統(tǒng)的四個狀態(tài)量所滿足的麥克斯韋關(guān)系為 , , 。16. 設(shè)一多元復(fù)相系有個相，每相有個組元，組元之間不起化學反應(yīng)。此系統(tǒng)平衡時必同時滿足條件： 、 、 。選擇題1.系綜理論所涉及三種系綜有：微正則系綜、正則系綜、巨正則系綜，它們分別適合的系統(tǒng)

7、是（A）孤立系、閉系、開系（B）閉系、孤立系、開系（C）孤立系、開系、閉系（D）開系、孤立系、閉系2.封閉系統(tǒng)指（A）與外界無物質(zhì)和能量交換的系統(tǒng) （B）能量守衡的系統(tǒng)（C）與外界無物質(zhì)交換但可能有能量交換的系統(tǒng) （D）孤立的系統(tǒng)3.有關(guān)系統(tǒng)與系綜關(guān)系的表述是正確的是（A）系綜是大量的結(jié)構(gòu)相同，外界條件相同，且彼此獨立的系統(tǒng)的集合。（B）系綜是大量的結(jié)構(gòu)不同，外界條件相同，且彼此獨立的系統(tǒng)的集合。（C）系綜是大量的結(jié)構(gòu)相同，外界條件不同，且彼此獨立的系統(tǒng)的集合。（D）系綜是大量的結(jié)構(gòu)不同，外界也條件不同的系統(tǒng)的集合。4.氣體的非簡并條件是（A）氣體分子平均動能遠遠大于（B）氣體分子間平均距離遠

8、遠大于分子德布羅意波的平均熱波長（C）氣體分子數(shù)密度遠遠小于1（D）氣體分子間平均距離極大于它的尺度5.由熱力學基本方程可得麥克斯韋關(guān)系（A） （B）（C） （D） 6.孤立系統(tǒng)指（A）與外界有能量交換但無物質(zhì)交換的系統(tǒng)（B）與外界既無物質(zhì)交換也無能量交換的系統(tǒng)（C）能量守恒的系統(tǒng)（D）溫度和體積均保持不變的任意系統(tǒng)7.吉布斯函數(shù)作為特性函數(shù)應(yīng)選取的獨立態(tài)參量是（A）溫度和體積 （B）溫度和壓強（C）熵和體積 （D）熵和壓強8.自由能作為特性函數(shù)應(yīng)選取的獨立態(tài)參量是（A）溫度和體積 （B）溫度和壓強（C）熵和體積 （D）熵和壓強9.下列各式中不正確的是（A） （B） （C） （D） 10.當經(jīng)

9、典極限條件成立時，玻色分布和費米分布均過渡到（A）麥克斯韋分布 （B）微正則分布 （C）正則分布 （D）玻爾茲曼分布11.下列說法正確的是 （A）一切與熱現(xiàn)象有關(guān)的實際宏觀物理過程都是不可逆的。（B）熱力學第二定律的表述只有克氏和開氏兩種說法。（C）第一類永動機違背熱力學第二定律。（D）第二類永動機不違背熱力學第二定律。12.由熱力學方程可得麥克斯韋關(guān)系（A） （B）（C） （D）13.已知粒子能量表達式為其中a、b為常量，則依據(jù)能量均分定理粒子的平均能量為（A） （B） （C） （D）14.具有確定的粒子數(shù)、確定的體積、確定的能量的系統(tǒng)滿足（A）微正則分布 （B）正則分布 （C）巨正則分布

10、（D）以上都不對15.玻耳茲曼統(tǒng)計中用粒子配分函數(shù)Z1表示的內(nèi)能是（A） （B）（C） （D）16.不考慮粒子自旋，在長度L內(nèi)，動量處在范圍的一維自由粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為（A） （B） （C） （D）17.均勻開系的熱力學基本方程是（A） （B） （C） （D） 推導(dǎo)與證明1. 證明: 證： （1） （2）（2）代入（1） （3）將麥氏關(guān)系：代入（3）得2.證明，0K時電子氣體中電子的平均速率為 (為費米動量 )。證明： 0K時， 在單位體積內(nèi)，動量在 范圍內(nèi)的電子的量子態(tài)數(shù)為:在此范圍內(nèi)的電子數(shù)為:3.一容積為V的巨大容器，器壁上開有一個極小的孔與外界大氣相通，其余部分與外界絕熱。開始時，

11、內(nèi)部空氣的溫度、壓強與外界相同為 。假定空氣可視為理想氣體，且定壓摩爾熱容量為常量。給容器內(nèi)的空氣以極其緩慢的速率均勻加熱，使其溫度升至T 。證明，所需熱量為 。證明：系統(tǒng)經(jīng)歷準靜態(tài)過程，每一中間態(tài)均可視為平衡態(tài)對于容器內(nèi)的氣體，初態(tài) ：，任一中間態(tài) ：， 即： 4.將空窖輻射視為平衡態(tài)光子氣體系統(tǒng)，光子是能量為的玻色子，由玻色分布，每個量子態(tài)上平均光子數(shù)，試導(dǎo)出普朗克黑體輻射公式：解：在體積V內(nèi)，動量在 范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為：由圓頻率與波矢關(guān)系：及德布羅意關(guān)系，可得：故，在體積V內(nèi)，能量在范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為：在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為：故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為：5.證明焓態(tài)方程：證：選T

12、、p作為狀態(tài)參量時，有 （1） （2）而， （3）（2）代入（3）得： （4）比較（1）、（4）得： （5） （6）將麥氏關(guān)系代入（6），即得6.證明能態(tài)方程：證：選T、V作為狀態(tài)參量時，有 （1） （2）而， （3）（2）代入（3）得： （4）比較（1）、（4）得： （5） （6）將麥氏關(guān)系代入（6），即得7.證明，對于一維自由粒子，在長度內(nèi)，能量在的范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對應(yīng)關(guān)系，對于一維自由粒子，在相空間體積元內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為。 因此，在長度內(nèi)，動量大小在范圍內(nèi)粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為而，故，在長度內(nèi)，能量在范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。8.證明，對于二

13、維自由粒子，在面積內(nèi)，能量在范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對應(yīng)關(guān)系，對于二維自由粒子，在相空間體積元內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為。因此，在面積內(nèi)，動量大小在范圍內(nèi)粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為而，故，在面積內(nèi)，能量在范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。9導(dǎo)出含有N個原子的愛因斯坦固體的內(nèi)能和熱容量表達式： ， 解：按愛因斯坦假設(shè)，將N個原子的運動視為3N個線性諧振子的振動，且所有諧振子的振動頻率相同。諧振子的能級為：則，振子的配分函數(shù)為： 引入愛因斯坦特征溫度：，即得：10.對于給定系統(tǒng)，若已知 ，求此系統(tǒng)的物態(tài)方程。解：設(shè)物態(tài)方程為，則 （1） （2）將和代入（2）得 （3）將和（3）代入

14、（1）得積分得： ，即：11.將空窖輻射視為平衡態(tài)光子氣體系統(tǒng)，導(dǎo)出普朗克黑體輻射公式：解：在體積V內(nèi)，動量在 范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為因為，光子氣體是玻色系統(tǒng)遵從玻色分布，由于系統(tǒng)的光子數(shù)不守恒，每個量子態(tài)上平均光子數(shù)為又 所以，在體積V內(nèi)，圓頻率在范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為 故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為：12.單原子分子理想氣體孤立系統(tǒng)的可能的微觀運動狀態(tài)數(shù)為：，其中。由此導(dǎo)出系統(tǒng)熵的表達式：解： ， ，由玻耳茲曼關(guān)系：，得：13.試用麥克斯韋關(guān)系，導(dǎo)出方程，假定可視為常量，由此導(dǎo)出理想氣體的絕熱過程方程（常量）。解：，由麥氏關(guān)系，絕熱過程，理想氣體，積分得（常量）， 故：，即：（常量）14. 證明，理想氣體的摩爾自由能為：證明：選T, V 為獨立變量，則理想氣體的物態(tài)方程為： ， ，故: ， 15. 證明: 證明：選T, V 為獨立變量，則 而， 故 16. 導(dǎo)出愛因斯坦固體的熵表達式：解：設(shè)固體系統(tǒng)含有N個原子，按愛因斯坦假設(shè)，將N個原子的運動視為3N個線性諧振子的