棱柱體20140118 文檔

1、棱柱、棱錐、棱臺(tái)復(fù)習(xí)課董建鋼教學(xué)目標(biāo)1.理解棱柱(斜棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面體等)、棱錐(一般棱錐、正棱錐)、棱臺(tái)(一般棱臺(tái)、正棱臺(tái))的有關(guān)概念；2.理解并掌握棱柱、棱錐的一般性質(zhì)，掌握正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)(尤其是正方體、正四面體)的性質(zhì)；3.能夠運(yùn)用直線與平面的有關(guān)知識(shí)分析、論證多面體中的線面關(guān)系，并能熟練的進(jìn)行有關(guān)棱柱、棱錐、棱臺(tái)中側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱與底面、側(cè)棱與側(cè)棱、側(cè)面與底面所成角的有關(guān)計(jì)算；4.掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積與全面積的計(jì)算；5.會(huì)解決棱柱、棱錐、棱臺(tái)的對(duì)角面和平行于底面的截面等有關(guān)問題，能熟練的解決其各種截面中直角三角形的有關(guān)計(jì)算，能有意識(shí)地將立體幾何的計(jì)算問

2、題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形中的有關(guān)計(jì)算.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)是能夠熟練的將直線與平面的有關(guān)知識(shí)運(yùn)用于棱柱、棱錐、棱臺(tái)幾何體中.難點(diǎn)是將立體幾何的有關(guān)計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形中的有關(guān)計(jì)算.教學(xué)設(shè)計(jì)過程一、復(fù)習(xí)提問(用投影儀出示下列命題)例1  回答下列命題中條件是結(jié)論的什么條件(要求用充分非必要、必要非充分、充要條件作答)(1)有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.(2)底面是正多邊形的棱錐是正棱錐.(3)底面是正多邊形的棱臺(tái)是正棱臺(tái).(4)有兩個(gè)面平行且是相似的多邊形，其余各個(gè)面都是等腰梯形的幾何體是棱臺(tái).(該例題重點(diǎn)是檢查學(xué)生對(duì)所學(xué)過的這三種幾何體基本概念的理解與認(rèn)識(shí).故需找四名程度較差的學(xué)生作答

3、)講評(píng).(1)必要非充分條件.因這兩個(gè)側(cè)面可以是相對(duì)的兩個(gè)側(cè)面.(2)必要非充分條件.因正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形.(3)必要非充分條件.因正棱臺(tái)的側(cè)面是全等的等腰梯形.(4)必要非充分條件.因棱臺(tái)的各條側(cè)棱相交于一點(diǎn).例2  集合A=斜棱柱，B=直棱柱，C=正棱柱，D=長(zhǎng)方體.下面命題中正確的是(   ).(A)CBD   (B)AC=棱柱   (C)CD=正棱柱  (D)BD(該例題重點(diǎn)是檢查學(xué)生對(duì)所涉及到的這幾個(gè)集合與集合中元素的理解與認(rèn)識(shí)，所以在分析問題時(shí)只要用韋恩圖把這幾個(gè)集合間的關(guān)系清楚地表示出來即

4、可找到正確的答案C，如圖1)二、應(yīng)用舉例例3  一個(gè)斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為5的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為4.若其中一側(cè)棱與底面三角形的兩邊都成45°角，求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積.師:請(qǐng)學(xué)生們回答在求棱柱的側(cè)面積時(shí)，我們首先想什么?生:形狀.(即是什么樣的棱柱，是直棱柱還是斜棱柱)師:考慮完形狀后干什么?生:找計(jì)算方法.若是直棱柱，利用公式S側(cè)=C·L(其中C是底面周長(zhǎng)，l為棱長(zhǎng))直接計(jì)算.若是斜棱柱，利用公式S=C直·L(C直是直截面的周長(zhǎng)，l是棱長(zhǎng))求其側(cè)面積.此外還可以求各側(cè)面面積之和.師:下面我們按照上述兩種方法分別計(jì)算這個(gè)棱柱的側(cè)面積.解

5、法一:如圖3，作A1H平面ABC于H.因?yàn)锳1AB=A1AC，易證點(diǎn)H在BAC的平分線上.又ABC是正三角形.所以AHBC.由三垂線定理有BCA1A，又A1AB1B，因此BCB1B.故側(cè)面B1BCC1是矩形.所以  S=2×5×4sin45°+5×4        =20+20.解法二:如圖4，作BEA1A于點(diǎn)E，連接CE.則易證ABEACE.所以CEA1A.所以A1A截面BCE，故截面BCE為棱柱的直截面.BE=CE=.所以所求側(cè)面積為S側(cè)=CBCE·A1A=20

6、+20.例4  已知正三棱錐SABC的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面與底面所成的二面角為60°，求它的高、側(cè)棱長(zhǎng)及相鄰兩側(cè)面所成的二面角大小.師:正三棱錐有什么特征.生:頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心.(即內(nèi)心、外心、重心、垂心)師:由此我們得知:這個(gè)正棱錐的高為頂點(diǎn)到底面射影的連線，故解決問題的關(guān)鍵是設(shè)出該棱錐的底面中心.解:如圖.設(shè)點(diǎn)O為頂點(diǎn)在底面上的射影.因該棱錐為正三棱錐，所以O(shè)為底面正三角形的中心.連接SO、CO并延長(zhǎng)CO交AB于D，連接SD，則CDAB于D，SDAB于D.(三垂線定理)所以SDC是側(cè)面SAB與底面ABC所成二面角的平面角，即SDO=60°.

7、因?yàn)?#160; ABC是正三角形，且AB=a.因此  CD=a,CO=A.故  SO=OD·tg60°=a.SC=a.作BESC于E，連接AE，顯然ACEBCE，有AESC，故AEB是三棱錐S-ABC相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角.因?yàn)?#160; SD=a,BE·CS=SD·AB，因此  BE=AE=，所以  cosAEB=.所以該三棱錐S-ABC的高為，側(cè)棱長(zhǎng)為a，相鄰兩側(cè)面所成的二面角為arccos.講評(píng):一個(gè)三棱錐只要知道兩個(gè)獨(dú)立的條件，即兩個(gè)獨(dú)立的量(如此例中底面邊長(zhǎng)及側(cè)面與底面所成的二面角60°

8、;)，就可以求出其它的各個(gè)量，計(jì)算中充分利用正棱錐的性質(zhì)、通過高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面上的射影所組成的直角三角形、以及高、斜高及斜高在底面上的射影所組成的直角三角形、溝通了正棱錐的高、側(cè)棱、斜高、底面的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，從而也溝通了立體圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的橋梁，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的基本思想.例5  正三棱臺(tái)A1B1C1-ABC的側(cè)面與底面成45°角，求側(cè)棱與底面所成角的正切值.師；正棱臺(tái)是什么樣的圖形?它是怎樣形成的?生:上下底面是相似的正多邊形，各側(cè)面是全等的等腰梯形，且各側(cè)棱相交于一點(diǎn).正棱臺(tái)是由正棱錐被平行于底面的截面截得的.師:通過上面的分析，解決該問題通常有兩種方法.其一

9、是從圖形特征來解.(見解法一)其二是由錐、臺(tái)之間的關(guān)系來解!稱之為“還臺(tái)為錐”.解法一:如圖7，設(shè)O1，O為上下底面正三角形的中心，連接O1O，A1O1交A1B1于D1，AO交AB于D.連接D1D.易證A1O1B1C1，ADBC，D1DBC，過A1，D1分別作A1E底面ABC，D1F底面ABC，易證E、F在AD上.因?yàn)檎馀_(tái)A1B1C1-ABC的側(cè)面與底面的45°的二面角，所以D1DA45°.因此A1E=O1O=D1F=FD.設(shè)該正三棱臺(tái)上下底面的邊長(zhǎng)為a,b,則AD=b,A1D1=a.所以  A1E=O1O=D1F=FD=×b-×a=

10、60;(b-a).AE=×B-×a= (b-a).所以  tgA1AE=.解法二:如圖8，延長(zhǎng)AA1，BB1，CC1，則AA1，BB1，CC1相交于一點(diǎn)S.顯然點(diǎn)S在DD1的延長(zhǎng)線上.由解法一得知，SDA為二面角S-BC-A的平面角，故SDA=45°.所以  在RtSOD中，SO=OD，因?yàn)?#160; AO=2·OD，所以  tgSAO=.講評(píng):由此例可以看出，在解決棱臺(tái)的問題時(shí)，“還臺(tái)為錐”利用棱錐的性質(zhì)解決棱臺(tái)問題時(shí)是一種快捷方便的方法.三、課堂練習(xí)練習(xí)1  正三棱錐的高為h，側(cè)面與底面成60

11、76;的二面角，求它們?nèi)娣e.解:如圖9，作三棱錐V-ABC的高VO，過VA和VO的平面交底面ABC于AD，交側(cè)面VBC于VD.因?yàn)镺是底面正三角形的中心，所以ADBC.因此由三垂線定理得VDBC.故VDA就是側(cè)面與底面所成角的二面角的平面角，即VDA=60°.所以在RtVOD中，有OD=VO·ctg60°=h,VD=2·DO=h.又在RtABD中，有AD=3·OD=3h，AB=AD·CSC60°=2h，所以  S全=S底+S側(cè)=AB·sin 60°+ (3·AB)·

12、;VD= (2h)× +×6h×h=3h.講評(píng):抓住O是底面正多邊形的中心這個(gè)關(guān)鍵，由已知元素h，(側(cè)面與底面所成的二面角)通過解直角三角形求出其它元素，最后代入面積公式進(jìn)行計(jì)算.例2  正三棱錐V-ABC的底面邊長(zhǎng)和高都是4，它的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面是正方形，求棱柱上底面A1B1C1截棱錐所得的三棱臺(tái)ABC-A1B1的面積略解:如圖10設(shè)棱長(zhǎng)為x,則O1O=x，A1O1=x.因?yàn)锳1O1AO=VO1VO，所以x=2.因此棱臺(tái)的斜高為，上底面邊長(zhǎng)為2，所以=3× (2+4)× =78. 

13、四、小結(jié)深刻理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的基本概念和各元素之間的關(guān)系，對(duì)于特殊的柱、錐、臺(tái)中計(jì)算、證明問題需借助“立體幾何”第一章中有關(guān)線面，面面間關(guān)系以及涉及的幾何體本身的性質(zhì)和定義來解決，對(duì)于平行于底面的截面性質(zhì)定理及其應(yīng)用，必須注意各元素間的關(guān)系以及棱錐中特征直角三角形的利用.它們是將空間中的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題的橋梁.關(guān)于棱臺(tái)的截面問題通常是“還臺(tái)為錐”，利用棱錐的截面性質(zhì)來解決，同時(shí)還要注意利用公式及棱臺(tái)中特征直角三角形和直角梯形.它們是聯(lián)系關(guān)系式中未知量與題目中所給幾何圖形中的元素間關(guān)系的紐帶.五、作業(yè)(1)斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=10cm，BC=12cm,A1到A，

14、B，C三點(diǎn)的距離相等，AA1=13cm,求斜三棱柱的全面積.(2)如圖11，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為a，(I)求側(cè)面與底面所成角的大??；()求相鄰兩側(cè)面所成二面角的余弦值.(3)如圖12，棱臺(tái)上、下底面面積為a2,b2,過高的兩個(gè)三等分點(diǎn)作平行于底面的兩個(gè)截面，求兩個(gè)截面面積.(4)如圖13，正三棱錐V-ABC的底面邊長(zhǎng)和高都是4，其內(nèi)接正三棱柱的三個(gè)側(cè)面都是正方形，求內(nèi)接正三棱柱的全面積.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明學(xué)習(xí)完棱柱、棱錐、棱臺(tái)這幾種幾何體之后，由于涉及到的基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)較多.它包括了柱、錐、臺(tái)的性質(zhì)，同時(shí)也包含了第一章學(xué)過的所有知識(shí).因此學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)中感到很困難，產(chǎn)生了恐懼心理.為了幫助學(xué)生克

15、服困難、克服心理上的壓力.本節(jié)課從“化歸與轉(zhuǎn)化”的思想出發(fā)，有機(jī)地把所學(xué)習(xí)過的知識(shí)聯(lián)系起來，循序漸進(jìn)地將立體幾何圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的問題，把多面體中的面面問題轉(zhuǎn)化為線面問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化線線問題；將棱臺(tái)的問題轉(zhuǎn)化為棱錐的問題.從而達(dá)到對(duì)“化歸與轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)與升華.因此本節(jié)復(fù)習(xí)課中將有意識(shí)地注意“轉(zhuǎn)化”思想的體現(xiàn).三垂線定理編輯平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。定1定義編輯2逆定理編輯三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。3證明編輯三垂線定理的證

16、明（1）用線面垂直證明已知：如圖，PO在上的射影OA垂直于a求證：OPa證明：過P做PA垂直于PA且aaPA又aOAOAPA=Aa平面POAaOP（2）用向量證明三垂線定理1.已知：PO，PA分別是平面的垂線，斜線，OA是PA在內(nèi)的射影，向量b包含于，且向量b垂直于OA，求證：向量b垂直于PA證明：PO垂直于，PO垂直于b，又OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b ）=0，PA向量b。2.已知三個(gè)平面OAB，OBC，OAC相交于一點(diǎn)O，AOB=BOC=COA=

17、60度，求交線OA與平面OBC所成的角。解：向量OA=（向量OB+向量AB），O是內(nèi)心，又AB=BC=CA，OA與平面OBC所成的角是30°。使用1,三垂線定理描述的是PO(斜線),AO(射影),a(直線)之間的垂直關(guān)系.2,a與PO可以相交,也可以異面.3,三垂線定理的實(shí)質(zhì)是空間內(nèi)的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理.關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)的垂線.至于射影則是由垂足,斜足來確定的,因而是第二位的. 從三垂線定理的證明得到證明ab的一個(gè)程序:一垂,二射,三證.即第一,找平面(基準(zhǔn)面)及平面垂線第二,找射影線,這時(shí)a,b便成平面上的一條直線與一條斜線.第三

18、,證明射影線與直線a垂直,從而得出a與b垂直.注：1°定理中四條線均針對(duì)同一平面而言2°應(yīng)用定理關(guān)鍵是找"基準(zhǔn)面"這個(gè)參照系附：江蘇省教學(xué)要求中規(guī)定自2011年高考起“三垂線定理”不能作為推理論證的依據(jù)，要證明。黑龍江省教學(xué)要求中規(guī)定自2012年高考起“三垂線定理”不能作為推理論證的依據(jù)，要證明。用途1. 在做圖中，做二面角的平面角2. 在證明中，證明線線垂直3. 在計(jì)算中，用歸納法歸攏已知條件，便于計(jì)算口訣線射垂，線斜垂；線斜垂，線射垂。4說明編輯（1）線射垂直（平面問題）線斜垂直（空間問題）； （2）證明線線垂直的方法：定義法；線線垂直判定定理；三垂

19、線定理； （3）三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。 （4）直線a與PO可以相交，也可以異面。 （5）三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。（6）可用來解決異面直線所成的角和二面角的平面角等問題。義編輯2逆定理編輯三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。3證明編輯三垂線定理的證明（1）用線面垂直證明已知：如圖，PO在上的射影OA垂直于a求證：OPa證明：過P做PA垂直于PA且aaPA又aOAOAPA=Aa平面POAaOP（2）用向量證明三垂線定理1.已知：PO，PA分別是平面的垂線，斜線，OA是PA在內(nèi)的射影，向量b包含于，且向量b垂直于OA，求證：向量b垂直于PA證明：PO垂直于，PO垂直于b，又OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b ）=0，PA向量b。2.已知三個(gè)平面OAB，OBC，OAC相交于一點(diǎn)O，AOB=BOC=COA=60度，求交線OA與平面OBC所成的角。解：向量OA=（向量OB+向量AB），O是內(nèi)心，又AB=BC=CA，OA與平面OBC所成的角是30&