解直角三角形題型分類

1、劉老師數學工作室：89945880，歡迎大家相互交流學習解直角三角形的應用：1、 解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）所有未知的邊和角。依據：邊的關系：；角的關系：A+B=90°；邊角關系：三角函數的定義。(注意：盡量避免使用中間數據和除法)2、應用舉例：(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。 （12天津）如圖，甲樓AB的高度為123m，自甲樓樓頂A處，測得乙樓頂端C處的仰角為45°，測得乙樓底部D處的俯角為30°，求乙樓CD的高度（結果精確到0.1m，取1.73） 例2：如圖，從山頂A處看到地面C點的俯角為60°

2、，看到地面D點的俯角為45°，測得CD=米，求山高AB。（精確到0.1米，1.732）(2)坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫成的形式，如等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。例1：.某水庫大壩橫斷面是梯形ABCD，壩頂寬CD3米，斜坡AD16米，壩高8米，斜坡BC的坡度13，求斜坡AB的坡角和壩底寬AB。例2：.如圖某人在D處測得山頂C的仰角為30o，向前走200米來到山腳A處，測得山坡AC的坡度為i=10.5，求山的高度（不計測角儀的高度，結果保留整數）練習：如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬BC為6m，壩高為3.2m，為了

3、提高水壩的攔水能力，需要將水壩加高2m，并且保持壩頂寬度不變，迎水坡CD的坡度不變，但是背水坡的坡度由原來的i1：2變成i1：2.5，（有關數據在圖上已注明）求加高后的壩底HD的長為多少？中考真題、（2013廣安）如圖，廣安市防洪指揮部發(fā)現渠江邊一處長400米，高8米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫截面為梯形ABCD）急需加固經調查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2（1）求加固后壩底增加的寬度AF的長；（2）求完成這項工程需要土石多少立方米？3、從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位

4、角。如圖3，OA、OB、OC、OD的方向角分別是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向線與目標方向 線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東30°（東北方向） ， 南偏東45°（東南方向），南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 例2、某輪船自西向東航行，在A處測得某島C在其北偏東60°方向上，前進8千米到達B，測得該島在輪船的北偏東30°方向上，問輪船繼續(xù)前進多少千米與小島的距離最近？練： (2013遂寧）釣魚島自古

5、以來就是我國的神圣領土，為維護國家主權和海洋權利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域實現了常態(tài)化巡航管理如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少（結果保留根號）例2、(2009中山)如圖所示，A、B兩城市相距100km. 現計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心，5

6、0km為半徑的圓形區(qū)域內. 請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區(qū). 為什么？（，）30°ABFEP45°練：（2009·眉山中考）海船以5海里/小時的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時后船行駛到C處，發(fā)現此時燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時燈塔B到C處的距離。例3、（2013自貢）在東西方向的海岸線l上有一長為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭西端M的正西19.5km處有一觀察站A某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30°，且與A相距40km的B處；經過1小時20分鐘，又測得該輪船位于A的北

7、偏東60°，且與A相距km的C處（1）求該輪船航行的速度（保留精確結果）；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由基本測量問題：1、直接測試法：（10郴州）如圖，數學活動小組來到校園內的一盞路燈下測量路燈的高度，測角儀AB的高度為1.5米，測得仰角為，點B到電燈桿底端N的距離BN為10米，求路燈的高度MN是多少米？（取=1.414，=1.732，結果保留兩位小數）練、（2014長春）如圖，為測量某建筑物的高度AB，在離該建筑物底部24米的點C處，目測建筑物頂端A處，視線與水平線夾角ADE為39°，且高CD為1.5米，求建筑物的高度AB

8、（結果精確到0.1米）（參考數據：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）2、“和”型測量問題：1、（2014山東日照）如圖某天上午9時,向陽號輪船位于A處，觀測到某港口城市P位于輪船的北偏西67.5°，輪船以21海里/時的速度向正北方向行駛，下午2時該船到達B處，這時觀測到城市P位于該船的南偏西36.9°方向，求此時輪船所處位置B與城市P的距離？（參考數據：sin36.9°，tan36.9°，sin67.5°，tan67.5°）（第22題圖）APCB36.9°6

9、7.5°2、 (2014年湖北荊門)釣魚島自古以來就是中國的領土如圖，我國甲、乙兩艘海監(jiān)執(zhí)法船某天在釣魚島附近海域巡航，某一時刻這兩艘船分別位于釣魚島正西方向的A處和正東方向的B處，這時兩船同時接到立即趕往C處海域巡查的任務，并測得C處位于A處北偏東59°方向、位于B處北偏西44°方向若甲、乙兩船分別沿AC，BC方向航行，其平均速度分別是20海里/小時，18海里/小時，試估算哪艘船先趕到C處（參考數據：cos59°0.52，sin46°0.72）3、（2013蘭州）如圖，在活動課上，小明和小紅合作用一副三角板來測量學校旗桿高度已知小明的眼睛與地

10、面的距離（AB）是1.7m，他調整自己的位置，設法使得三角板的一條直角邊保持水平，且斜邊與旗桿頂端M在同一條直線上，測得旗桿頂端M仰角為45°；小紅眼睛與地面的距離（CD）是1.5m，用同樣的方法測得旗桿頂端M的仰角為30°兩人相距28米且位于旗桿兩側（點B、N、D在同一條直線上）求出旗桿MN的高度（參考數據：，結果保留整數）4、（2013益陽）如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，小張在小道上測得如下數據：AB=80.0米，PAB=38.5°，PBA=26.5請幫助小張求出小橋PD的長并確定小

11、橋在小道上的位置（以A，B為參照點，結果精確到0.1米）（參考數據：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）3、“差”型問題匯總1、（10天津）永樂橋摩天輪是天津市的標志性景觀之 一某校數學興趣小組要測量摩天輪的高度如圖，他們在C處測得摩天輪的最高點A的仰角為，再往摩天輪的方向前進50 m至D處，測得最高點A的仰角為求該興趣小組測得的摩天輪的高度AB （，結果保留整數）ABCD45°60°

12、第（23）題2、（2008·廣安中考）如圖，某幼兒園為了加強安全管理，決定將園內的滑滑板的傾角由45º降為30º，已知原滑滑板AB的長為5米，點D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板會加長多少？（精確到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造是否可行？說明理由。 (參考數據： )3、（2013泰州）如圖，為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27m高的樓CD底部D測得塔頂A的仰角為45°，在樓頂C測得塔頂A的仰角36°52已知山高BE為56m，樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵

13、塔的高AE（參考數據：sin36°520.60，tan36°520.75）4.（12·陜西）如圖，小明想用所學的知識來測量湖心島上的迎賓槐與岸上的涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭處測得湖心島上的迎賓槐處位于北偏東方向，然后，他從涼亭處沿湖岸向正東方向走了100米到處，測得湖心島上的迎賓槐處位于北偏東方向（點在同一水平面上）請你利用小明測得的相關數據，求湖心島上的迎賓槐處與湖岸上的涼亭處之間的距離（結果精確到1米）（參考數據：，）4、 相似在解三角形中的應用：例題：如圖，墻壁D處有一盞燈，小明站在A處測得他的影長與身長相等，都為1.6m，小明向墻壁走1m到B處發(fā)現影

14、子剛好落在A點，則燈泡與地面的距離CD=_m中考真題（13·陜西）20、（本題滿分8分）一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度.如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立時升高AM與其影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，當AB=1.25m時，李明直立時的升高1.75m，求路燈的高CD的長。（結果精確到0.1m）中考真題（2011·陜西）20（本題滿分8分）一天，數學課外活動小組的同學們，帶著皮尺去測量某河道因挖沙形成的“圓錐形坑”的深度，來評估這些坑道對河道的影響，如圖是同學們選擇（確保測量過程中無安全隱患）的測量對象，測量方

15、案如下：、先測出沙坑坑沿的圓周長34.54米；、甲同學直立于沙坑坑沿的圓周所在的平面上，經過適當調整自己所處的位置，當他位于B時恰好他的視線經過沙坑坑沿圓周上一點A看到坑底S（甲同學的視線起點C與點A,點S三點共線），經測量：AB=1.2米，BC=1.6米 根據以上測量數據，求圓錐形坑的深度（圓錐的高），（取3.14，結果精確到0.1米）5、非直接處理問題型：1、（2013欽州）如圖，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD，小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米（

16、i=1：是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比）（1）求點B距水平面AE的高度BH；（2）求廣告牌CD的高度（測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米參考數據：1.414，1.732）2、（2013內江）如圖，某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內一棵樹DE的高度，他們在這棵樹的正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60°已知A點的高度AB為3米，臺階AC的坡度為1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三點在同一條直線上請根據以上條件求出樹DE的高度（側傾器的高度忽略不計）六：影子問題怎么處理（1

17、）影子完全在地面上例1： （2007廣西南寧課改，10分）如圖所示，點表示廣場上的一盞照明燈（1）請你在圖中畫出小敏在照明燈照射下的影子（用線段表示）；（2）若小麗到燈柱的距離為4.5米，照明燈到燈柱的距離為1.5米，小麗目測照明燈的仰角為，她的目高為1.6米，試求照明燈到地面的距離（結果精確到0.1米）（參考數據：，）小敏小麗4.5米AMP燈柱（2）影子不全在地面上第一類(90o):小明想利用太陽光測量樓高他帶著皮尺來到一棟樓下，發(fā)現對面墻上有這棟樓的影子，針對這種情況，他設計了一種測量方案，具體測量情況如下：如示意圖，小明邊移動邊觀察，發(fā)現站到點處時，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同此時，測得小明落在墻上的影子高度CD1.2m，CE0.8m，CA30m（點在同一直線上）已知小明的身高是1.7m，請你幫小明求出樓高（結果精確到0.1m）ABCDFE（第20題圖）2、數學興趣小組的同學們想利用樹影測量樹高課外活動時他們在陽光下測得一根長為1米的竹竿的影子是0.9米，但當他們馬上測量樹高時，發(fā)現樹的影子不落在地面上