第二十一屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷(小高組a卷)

1、2016年第二十一屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組A卷）一、填空題（每題10分，共80分）1. （10 分）計算：7工-（2.4+12x4） 4-1-1-=.3310 2. （10分）中國北京在2015年7月31日獲得了 2022年第24屆冬季奧林匹 克運(yùn)動會的主辦權(quán).預(yù)定該屆冬奧會的開幕時間為2022年2月4日，星 期.（今天是2016年3月12日，星期六）3. （10 分）如圖中，AB=5 厘米，ZABC=85° , ZBCA=45° , ZDBC=20° , AD=厘米.4. （10分）在9X9的格子紙上，1 X1小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).如圖，三

2、角形ABC的三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn).若一個格點(diǎn)P使得三角形PAB與三角形PAC的面積相等，就稱P點(diǎn)為“好點(diǎn)”.那么在這張格子紙上共有 個“好5. （10分）對于任意一個三位數(shù)n,用國表示刪掉n中為0的數(shù)位得到的數(shù).例 如n = 102時回= 12.那么滿足國Vn且圓是n的約數(shù)的三位數(shù)n有 個.6. （10分）共有12名同學(xué)玩一種撲克游戲，每次4人參加，且任意2位同 學(xué)同時參加的次數(shù)不超過1.那么他們最多可以玩 次.7. （10分）如果2X3'能表示成k個連續(xù)正整數(shù)的和，則k的最大值為.8. （10分）兩把小尺子組成套尺，小尺可以沿著大尺滑動.大尺上每一個單 位都標(biāo)有自然數(shù)，第一把小尺將大尺上

3、的11個單位等分為10,第二把小 尺將大尺上9個單位等分為10,兩把小尺的起點(diǎn)都為0,都分別記為1 至10.現(xiàn)測量A, B兩點(diǎn)間距離，A點(diǎn)在大尺的0單位處，B點(diǎn)介于大尺 的18與19單位之間，將第一把小尺的0單位處于B點(diǎn)時，其單位3怡好 與大尺上某一單位相合.如果將第二把小尺的0單位處置于B點(diǎn)，那么第 二把小尺的第 個單位怡好與大尺上某一單位相合. o I01234567 S 910 11 12 13 14- 15 16 17 18 19 20 21:川|川|川|川|川1|1川|川|1川|川|1川|川1|川|川1|川|川|1川|川|1川|川|川|川|川|川1|1川|川|1川|川|1川|川1|川

4、|川1|川|川|1川|川|1川|丁1"叫.叫L 012AB二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9. （10分）復(fù)活賽上，甲乙二人根據(jù)投票結(jié)果決出最后一個參加決賽的名額.投票人數(shù)固定，每票必須投給甲乙二人之一.最后，乙的得票數(shù)為甲的得票數(shù)的型，甲勝出.但是，若乙得票數(shù)至少增加4票，則可勝甲，21請計算甲乙所得的票數(shù).10. （10分）如圖，三角形ABC中，AB = 180厘米，AC=204厘米，D、F是AB上的點(diǎn)，E, G是AC上的點(diǎn)，連結(jié)CD, DE, EF, FG,將三角形ABC分成面積相等的五個小三角形，則AF+AG為多少厘米.fl11. （10分）某水池有

5、甲、乙兩個進(jìn)水閥，只打開甲注水，10小時可將空水 池注滿；只打開乙，15小時可將空水池往滿.現(xiàn)要求7個小時將空水池 注滿，可以只打開甲注水若干小時，接著只打開乙注水若干小時，最后同 時打開甲乙注水.那么同時打開甲乙的時間是多少小時？12. （10分）將一個五邊形沿一條直線簡稱兩個多邊形，再將其中一個多邊 形沿一條直線剪成兩部分，得到了三個多邊形，然后將其中一個多邊形沿 一條直線剪成兩部分，如此下去.在得到的多邊形中要有20個五邊 形，則最少剪多少次？三、解答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13. （15分）如圖，有一張由四個1X1的小方格組成的凸字行紙片和一張5 X6的方格紙

6、，現(xiàn)將凸字形紙片粘到方格紙上，要求凸字形紙片的每個小 方格都要與方格紙上的某個小方格重合，那么可以粘出多少種不同的圖 形？（兩圖形經(jīng)旋轉(zhuǎn)后相同看作相同圖形）丑I三三三14. （15分）設(shè)n是正整數(shù)，若從任意n個非負(fù)整數(shù)中一定能找到四個不同 的數(shù)a, b, c, d使得a+b - c - d能被20整除.則n的最小值是多少？第14貞（共14頁）2016年第二十一屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小高組A卷） 參考答案與試題解析 一、填空題（每題10分，共80分）1. （10 分）計算：7工-（2.4+12x4） :1工=2 . 3310 【分析】先算小括號里面的乘法，再算小括號里面的加法，

7、然后算括號外的除法，最后算括號外的減法.【解答】解：7丫（2.4嗚X4）4-1710(2.4+鄂 士=7；坨“工31510= 71-1133故答案為：2.2. （10分）中國北京在2015年7月31日獲得了 2022年第24屆冬季奧林匹 克運(yùn)動會的主辦權(quán).預(yù)定該屆冬奧會的開幕時間為2022年2月4日，星 期五.（今天是2016年3月12日，星期六）【分析】首先分析2016年的3月12日到2022年的3月13日是星期幾，然后再根據(jù)3月12向前推理出2月4日即可.【解答】解：依題意可知：平年365天是52個星期多1天.潤年是52個星期多2天.2016年3月12到2022年3月12日經(jīng)過了 5個平年

8、1個閏年，向后推的 天數(shù)為1+1+1+1+1+2 = 7 ,恰好為星期六.那么2022年的2月4日到2022年的3月12日.經(jīng)過24+12 = 36天.第14頁（共14頁）36-7=5-1.從星期六前推前天.說明2022年的2月4日是星期五.故答案為：五3. （10 分）如圖中，AB=5 厘米，ZABC = 85° , NBCA=45° , ZDBC=20° ,AD= 5厘米.【分析】首先根據(jù)題意可知NABC=85° , ZBCA=45° .那么根據(jù)三角形 內(nèi)角和為180度可知NA=50° .繼續(xù)推理即可.【解答】解：依題意可知：ZA

9、BC = 85° , ZBCA=45° .那么 NA=50° .NABD=NABC- NDBC=85° -20° =65°ZADB = 180° - ZA- ZABD = 180° -50 - 65° =65 ;ZADB=ZABD, AAB=AD=5故答案為：54. （10分）在9X9的格子紙上，1 X1小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).如圖，三角 形ABC的三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn).若一個格點(diǎn)P使得三角形PAB與三角形PAC 的面積相等，就稱P點(diǎn)為“好點(diǎn)”.那么在這張格子紙上共有 6 個“好【分析】如下圖這樣，經(jīng)過A點(diǎn)和B

10、C邊的中點(diǎn)畫一條直線，交方格圖于E點(diǎn)和F點(diǎn)，可以證得D、E、F三點(diǎn)都是好點(diǎn)；過AB點(diǎn)作平行線，與原來的三角形組成平行四邊形，得到平行四邊形【解答】解：(1) ZBDA與4CDA等底等高，所以面積相等；(2) ZABE與4ACE的面積都等于平行四邊形ABCE的一半，所以面積相 等；(3) ZABF的面積= ZiBDF的面積-ZBDA的面積，ZCAF的面積= ZCDF 的面積-ACDA的面積，又因為ABDA與aCDA面積相等，所以aABF的面 積 = CAF的面積；(4) AABI和aACI的面積都等于平行四邊形ACBI面積的一半，所以相 等；(5) ZABH的面積是4ABI面積的一半，ACH的面

11、積是ACI的面積的 一半，所以AABH與AACH面積相等；(6) AAGB和AAGC有相同底AG,這條底邊上的兩個三角形高是相等的， 所以這兩個三角形面積相等.故此題的好點(diǎn)一共有6個.第14頁(共14頁)5. （10分）對于任意一個三位數(shù)n,用因表示刪掉n中為0的數(shù)位得到的數(shù).例如n = 102時回=12.那么滿足國Vn且圓是n的約數(shù)的三位數(shù)n有 93個.【分析】按題意，能滿足國Vn且園是n的約數(shù)的三位數(shù)n,有兩種：第一 種，十位為0,第二種，個位為0,然后再計算個數(shù).【解答】解：根據(jù)分析，第一種，十位為0的三位數(shù)中，能滿足國是n的 約數(shù)的n只有：105、108、405,三個數(shù)刪掉0后得：15

12、、18、45分別為105、108、405的約數(shù)；第二種，個位為0的三位數(shù)共有：9X10 = 90個，刪掉0后均能滿足是n的約數(shù)，故滿足題意的三位數(shù)n有90個，綜上，滿足題意的三位數(shù)一共有90+3 = 93個.故答案是：93.6. （10分）共有12名同學(xué)玩一種撲克游戲，每次4人參加，且任意2位同 學(xué)同時參加的次數(shù)不超過1.那么他們最多可以玩 9 次.【分析】首先分析可以將同學(xué)們進(jìn)行標(biāo)好，然后枚舉即可.【解答】解：依題意可知：將學(xué)生進(jìn)行編號1 -12.如果是1-4 一組，5-8組，9-12一組下一組就沒有符合題意的了，那么要求盡可能多分組.即第一次是1, 2, 3, 4.第二次是1, 5, 6,

13、 7.第三次是2, 5, 8, 9.第四組是3, 6, 8, 10.第14貞（共14頁）第五組是4, 5, 8, 11.第六組是3, 5, 9, 10.第七組是4, 6, 9, 11第八組是1, 7, 9, 12第九組是2, 6, 10, 12.故答案為：97. （10分）如果2X3'能表示成k個連續(xù)正整數(shù)的和，則k的最大值為【分析】設(shè)k個連續(xù)正整數(shù)的首項為n,則末項為n+k-1.則k個連續(xù)正 整數(shù)的和=（n+n+k- 1）* k4-2 = 2X38,利用質(zhì)因數(shù)分解即可解決問題.【解答】解：設(shè)k個連續(xù)正整數(shù)的首項為n,則末項為n+k-1.則k個連續(xù)正整數(shù)的和=（n+n+k- 1） k2

14、 = 2X31所以（2n+k-1） k = 22X 30,所以k的最大值為108 = 22X3、此時2n+k-1=35, n = 68,故k的最大值為108.故答案為108.8. （10分）兩把小尺子組成套尺，小尺可以沿著大尺滑動.大尺上每一個單 位都標(biāo)有自然數(shù)，第一把小尺將大尺上的11個單位等分為10,第二把小 尺將大尺上9個單位等分為10,兩把小尺的起點(diǎn)都為0,都分別記為1 至10.現(xiàn)測量A, B兩點(diǎn)間距離，A點(diǎn)在大尺的0單位處，B點(diǎn)介于大尺 的18與19單位之間，將第一把小尺的0單位處于B點(diǎn)時，其單位3怡好 與大尺上某一單位相合.如果將第二把小尺的0單位處置于B點(diǎn)，那么第 二把小尺的第7

15、個單位怡好與大尺上某一單位相合. 0 I012345678910 11 12 13 14 15 16 17 IS 19 20 21:川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|川|叫匕叫叫| 012AB【分析】根據(jù)題意可：第一把小尺與大尺的單位比是11： 10,第一把小尺 的單位3,相當(dāng)于大尺的單位3.3 （根據(jù)比例求得）大尺3.3與18.7才能 相加得整數(shù)，所以小尺的0對的大尺的單位是18. 7.耶第二把小尺子以0 單位為起點(diǎn)，在1到10之間找的單位對應(yīng)大尺上的整數(shù)，必須是大尺的 18. 7加上幾

16、點(diǎn)3,就是說加上的這個數(shù)的小數(shù)位是3.根據(jù)大尺與第二把 小尺的單位比9: 10求得第二把小尺是7時，大尺的單位數(shù)才出現(xiàn)點(diǎn)3.【解答】11： 10=? ： 3? =3.3那B點(diǎn)處在單位18與19之間的應(yīng)是：18.718. 7只有加上一個末位上是3的數(shù)（令其為X）才能湊整十?dāng)?shù).?是在1 10之間的自然數(shù)，所以只有？ =7符合條件.二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9. （10分）復(fù)活賽上，甲乙二人根據(jù)投票結(jié)果決出最后一個參加決賽的名 額.投票人數(shù)固定，每票必須投給甲乙二人之一.最后，乙的得票數(shù)為甲 的得票數(shù)的型，甲勝出.但是，若乙得票數(shù)至少增加4票，則可勝甲， 21請計算甲

17、乙所得的票數(shù).【分析】乙得票數(shù)至少增加4票，則甲必至少減少4票，此時才能使乙勝 甲，可以設(shè)一個未知數(shù)，列出關(guān)系式，求出解.【解答】解：根據(jù)分析，設(shè)甲得票數(shù)為X,則乙的得票數(shù)為型X，由題意 21得：型k+4>x-4=Lx</xV168,又x為正整數(shù)，且型x也為正整數(shù)，x =212121147, x = 126,即：甲得票數(shù)是147票，乙的得票數(shù)是140票；甲得票數(shù)是126票，乙的得票數(shù)是120票.故答案是：甲147票，乙140票.或，甲126票，乙120票.10. （10分）如圖，三角形ABC中，AB = 180厘米，AC=204厘米，D、F是AB上的點(diǎn)，E, G是AC上的點(diǎn)，連結(jié)C

18、D, DE, EF, FG,將三角形ABC分成面積相等的五個小三角形，則AF+AG為多少厘米.【分析】高一定，對應(yīng)底的比等于面積比，根據(jù)五個小三角形面積相等，所以 S.c=4S-bc,所以 AD=4BD=4X （1804-5） =144 （厘米）；同理， 可求AE、AF、AG的長度，進(jìn)而求出AF+AG的長度即可.【解答】解：在AABC 中，因為 S«oc=4Smbc,所以 AD=4BD=4X （1804-5） = 144 （厘米）;在AADC 中，因為 S&demBSaedc,所以 AE = 3EC=3X （2044-4） =153 （厘米）；在4ADE 中，因為 SAAFe

19、=2Saefd,所以 AF = 2DF=2X （1444-3） =96（厘米）;在4AFE 中，因為 Szwg=Sagfe,所以 AG=GE = 153 + 2=76.5 （厘米）；所以，AF+AG=96+76. 5 = 172.5 （厘米）;第14頁（共14頁）答：AF+AG為172.5厘米.11. (10分)某水池有甲、乙兩個進(jìn)水閥，只打開甲注水，10小時可將空水 池注滿；只打開乙，15小時可將空水池往滿.現(xiàn)要求7個小時將空水池 注滿，可以只打開甲注水若干小時，接著只打開乙注水若干小時，最后同 時打開甲乙注水.那么同時打開甲乙的時間是多少小時？【分析】可以先求得甲、乙每小時注的水量，即為工

20、、X,總時間為7 10 15小時，同時開的時候，不難求出時間.【解答】解：根據(jù)分析，設(shè)水池注滿時水的總量為1份，甲、乙每小時注 水的速度分別為1-份/時、L份/時，1015則甲乙同時開的時候總速度為設(shè)剛開始只打開甲a小時，接 10 15 6著打開乙b小時，最后同時打開甲乙7-a-b小時，則：(7-a-b) =1,化簡得：2a+3b=5,10156又.a21, b21, Aa = 1, b = 1,甲乙同時打開的時間為：7-a-b=7-1 - 1=5 (小時).故答案是：5.12. (10分)將一個五邊形沿一條直線簡稱兩個多邊形，再將其中一個多邊 形沿一條直線剪成兩部分，得到了三個多邊形，然后將

21、其中一個多邊形沿 一條直線剪成兩部分，如此下去.在得到的多邊形中要有20個五邊 形，則最少剪多少次？【分析】按題意，一個多邊形可以被分成兩部分，其內(nèi)角和至多增加360。， 剪K次共增加的度數(shù)至多為KX360。，所以這(K+1)個多邊形的度數(shù)和 至多是KX360。+540° ,另一方面，20個五邊形的度數(shù)和為20X540° , 剩余的(K-19)個多邊形的度數(shù)和最小是(K- 19) X1800 ,這樣得到：(K- 19) X180° +20X540° WKX360° +540° ,求解最后得出結(jié)果.【解答】解：根據(jù)分析，一個多邊形被分成

22、兩部分，其內(nèi)角和至多增加 360° ,剪K次共增加的度數(shù)至多為KX360。，所以這(K+1)個多邊形的度數(shù)和 至多是 KX360° +540° ,另一方面，20個五邊形的度數(shù)和為20X540° ,剩余的(K- 19)個多邊形的度數(shù)和最小是(K- 19) X1800 ,這樣得到：(K- 19) X1800 +20X540° WKX360° +540° ;整理得：K238,當(dāng)K = 38時，可以先將五邊形切成一個五邊形和一個四邊形，然后用18 次將四邊形分成19個四邊形，再用19次將每個四邊形切成五邊形，這樣就用38次將其切成2

23、0個五邊 形.綜上，則最少剪38次.故答案是：38.三、解答下列各題(每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程)13. (15分)如圖，有一張由四個1X1的小方格組成的凸字行紙片和一張5X6的方格紙，現(xiàn)將凸字形紙片粘到方格紙上，要求凸字形紙片的每個小 方格都要與方格紙上的某個小方格重合，那么可以粘出多少種不同的圖 形？(兩圖形經(jīng)旋轉(zhuǎn)后相同看作相同圖形)【分析】可以分情況討論，把凸字形上面那個小方格稱為它的頭，粘出的圖形可以分為兩類：凸字形的頭在方格紙的邊框上位第一類，凸字形的頭 在方格紙的內(nèi)部為第二類.【解答】解：根據(jù)分析，把凸字形上面那個小方格稱為它的頭，粘出的圖 形可以分為兩類：凸字形的頭在方格紙的邊框上位第一類，凸字形的頭在方格紙的內(nèi)部為第 二類.對于第一類，凸字形的頭不能粘在方格紙的四個角，邊框上（不是角）的 小方格共有：2X3+2X4=14 （個）,有 14 個圖形，第二類，方格紙內(nèi)部的每一個小方格可以粘凸字形的頭，有頭朝上，頭朝 下，頭朝左，頭朝右之分，所以，這類圖形有4X （3X4） =48 （個）.由加法原理知，共有14+48=62中圖形，由于方格紙的每個小方格都與另 夕I、一個小方格旋轉(zhuǎn)對稱，所以總的不同圖形