高考壓軸題中的對數(shù)平均不等式鏈

1、v1.0可編輯可修改高考壓軸題中的對數(shù)平均不等式鏈對數(shù)平均值的概念中學(xué)數(shù)學(xué)教育專家安振平在剖析2013年陜西高考教學(xué)葉指 出，其壓軸題的理論背景是：ah0一8/r設(shè)則u - b其中盛二記了被稱之為對數(shù)平均值.對教平均值在現(xiàn)行高中教材沒有出現(xiàn)，但其茨含青高等教學(xué)的 背景，近幾年的高考壓軸題中,頻頻出現(xiàn)。安振平老師構(gòu)造函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)證明了時數(shù)平均數(shù)的有關(guān)不 等式，雄度較大，為此，本文作了一些探討，以期對高考發(fā)習(xí) 迎考有所啟發(fā)二.對效平均值的不等式箍i殳力 白0,工人 乎則. 口 + bb 1 a廣7 2i yjab a2 In A - In a十工a b三，不等武他的證明下面以上2 b 一口為例

2、加以證明口12v1.0可編輯可修改rb )I-1 In 一a證法I： it Sa 口 0,口下人 則不祚式學(xué)價于(口 + b)(陋/ 比 口)25 a)0設(shè)函教/(t) (1 + .v)lrt a- 2(.v I )(x 1), SJ、* a + 1 分 xln x - x + I f (x)= Inr +2 =冬 (-v) - x 1 n a # I 1 5 a 1 ),則 gJ (y) = In a, 0, 所以 g(X)在(l,+K)單網(wǎng)速增g(l)=。，所以f 0, fx)在(1,+尤)耳弱遞增，/(某)a /(l)二仇故持證不等M成立二思路2 因為要證的不箏式中含有兩個變量，地位均衡

3、,加果 我們辯證的看劃它們，將其中某一個變量作為立元，另外的 一個變猛詞作為常曾表處理，那么往往問眼就可破解.證法2:限6%白0,口厘b .則不等式等價于% 5(b(a * 61 nb In 口，2(8 。)F1 In 2 19 1 。1口設(shè)函數(shù)出(父)=(0則a.vlnx-(lna + l).v +h (x) = Inx -b Ina 1 =,孕(某)= m 1口 x 一 (1口 僅 + I) r + 口 (.v 口 ,則r( a- ) - In x 1 (In 口+ I) = In ,v - In a 仇甑 VJL11 (x) A( )單調(diào)遞地 F“ t) h (。| 二。，所以b(戈)

4、0. A(在(. +學(xué))單調(diào)逅培J?(工)0) = ),M-；L 證法1是先將不箏式逆推分析，進行等價轉(zhuǎn)化，使得其中的 兩個變量的特征、規(guī)律更明朗，然后揩兩個變量的比值或和. 或差，或積)替換為新的一元變量，便于構(gòu)造出新的一元函費再 通過對新的一元函數(shù)求導(dǎo)，列斷其單調(diào)性、確定俄依(或最值) 達到解決問題的目的，可歸結(jié)為“化歸-換元-構(gòu)造-求導(dǎo)”證法2耨 地位均衡的兩個變量之一作為主元，另外的一個變量視為常量來 處理，構(gòu)造出一元函數(shù)，可心結(jié)為“化后主元-構(gòu)造-求導(dǎo)*22v1.0可編輯可修改,對數(shù)平均值的n何解釋反比例函數(shù)/(A-)=l(.r0)的圖象,rC口圖所示，APi/BCiin;HKV.

5、4 AA17九公軸，則.4(gO).P鞏瓦0),0包口,/向.f(x)在點Kfa+b 2 、I 2(7 十，7 )處吃的切線分別與4P, 40交于E,F,(1)因為5S 犍%TAZX = 5 更好dd.v*/由過恃匚-,如圖可知：$曲之恨*tp 所以 in b - In u : 口，(6-訓(xùn)一530)的應(yīng)用m o- in。例 1 （2014陜西）設(shè)西教 /|%） nln（l + T）.g（x）=M（x）,正中/（）/（五） 的導(dǎo)圖蠹.（3）N-i比較g+名（2）+/ g（打）打_/1叫的大小，并加以證明.解析：（3）因為以工）二卷，小 m、12（111 1所以 g+ 劃2） +g（療）= ；+

6、；+- =n- - + -+-+- L2 5+12 3 m + 17而內(nèi)-，（弁）-+1）.因此.只需比較；#!*+ 弓、（打41）的大小即可.2 3 I解析:由于&口0時;二:一.即:作一口)Inj In b in a 白令 a nb zj + lt 則一- In (rj H-1| Inrttrt + 1所以 J In 2 - In 1 - Ln 2 J In 3 -ln(w +1)- h m23打+1將以上各不等式相加得:+1 + 0)的最小值為0.略)證映之山伽+ 1)2(仃、*)一 0Bf, 6-(b-a)lnb-kia, In & - In a b令物一1, =筋+ 1,令2mx7=

7、3不ln(2/r + l) - In (2wI),55222因此, 1113 Inly ln5 lo ,In7 In5, -j,2-1h(2rt + l)-ln(2,-lb2 2 +3 5即tT將以上各不等式左右兩邊分別相加得：* - i - Id (2/t r 1) 2h-1 2n + l-ln(2n + l)2-yj京5”。)的應(yīng)用例三設(shè)數(shù)列的通項為%二十)+其前項的和為四 證明瓦 0時，、戶b；即1口、】11口干 7V 2hib -Insv- b爭b二L 口二樣、則kii k+ 1) 一 】IW也+2，+ 2%v1.0可編輯可修改2 In 6 - hi n仲的應(yīng)用015廣州三葭）記函tt

8、 H1.v）的圖家為曲線汶rl （孫m）,5Cq，J 為曲發(fā)C上的不同博點.如果在曲線。上存在點凡】，也得：* 用=士.（2）曲線r在京U處的切線平行于直線.如闌林昌教打（到存在“中 值相依切IT .試問函數(shù)/（x） = lnX一 J m二十口 一 1 .v訝w凡. w 0）是號存在“中值 相依切麒,請說明理由.2解析：假設(shè)函就工）存在“中值相依切線.列。=/1/），即In招一片巧1,上, c2、口 （十七HS 1）=X, -x /化筒子得：、17Inx, - lux 2一L=由2- a -際+a，上(工：ln,v2 - lnx1 2和假及不成立武函數(shù)/（工）存在”中值相依切線，：例5 （20

9、15瀘州三診）記函數(shù)/=Mzg=;m+國口金。）一（2）（喀）（箱 汶缶教/（.V）的國家卻與缶粒g（A）的困象g次干廠0,迂螳鞏 尸0的中盤A作K拘垂我分別交G，于點M,M問是否存在點凡 使得G在41處的切線與G在*處的切坡平行？若存在.求出我的橫 坐標；若不有主.請說叼理由瞥析：2（三一5）_a（東一靖）十以怎-&）二二外一m=1口七一加西，J 與=I - g In V In.V,4十M三矛盾,故不存在.在M 處的切線與，在,V處的切級平行0設(shè)數(shù)列：4的通項為凡二1+,十1+L 證味 凡 歷（北+1）一解析:因為6口0時72r 3 wb a , .t Hfino - In d In b I

10、nF2(b-a)a +b令 b = 2/t+L口= 2門一L 到 In 12n +1 In (2n 1 易it % hi(2 +1)-66v1.0可編輯可修改4一十工a b的應(yīng)用例712010湖北)已知函數(shù)/()=依+ , +。(口)的圖象在點。，)處的切線方程為3一X7(1)用0表示瓦C ; (2) (略)(3)證明：1 + 4F4ln(/7 + l) + 萬孑 1).I I解析：方二口-I.C二I-20；口2ifi 1(3)因為6。時. 1 h-ina 1FT即出力一加白父彳一斗： 9。卜Hbj因此財 ln( + L)- Mh 1川+111 I)11 IIn2 In 1 | = + Jn3

11、 In2 -11212 3Ja b781 1出(k + 1)-In川 5., + * *將以上占5等式左右兩邊價別相加得二ln +1) 口0時，1nbi/TTr ab 令*二 k+Lo = F 則 In仲+v1.0可編輯可修改1ln(w+3) +, lu 2m In (2w 11 2 rt+3J+ 變形即可得uE.將以上各不等式左行兩邊分別相加得:ln2，+ H1- +2n 并+ 1 打+ 2 收+3 2n -1并立：*愚提供標漁客案是借助于第一間的云的最小值Z時,后（1+戈） - In(2/1 + 1).4x- -1 4x2- -t 4x3*-l 4xrt-l 4b 一 0,h y解析： 2

12、)當方=。時一匚,J。人即InBTn口 7丁.Ini? - Ina-Jab令6=2n+ l.tr 二筋一 1, RiJ ln(2n i-1) - ln(2n- 1) 1/ 21變形可得:由（2l）7n一l）| 42 _r _4.JdM 工I4h* - 1-1* 則 M3一出1）京小口553） Un（2n-M） ln（2n-l）| 0,即-，工一1 21n（1+1）.結(jié)合持證不等式 x+1惠十i7I 22 .一 2的特征，令二建達匚戶），得T + 3x大二12順0+ 2A-t + 1整理得/:2吟;即奈甲%（ + ） 一呵X旬 借此作為放縮的途徑達到證明的目的，你能注意到兩種方法的區(qū)別嗎？六，不

13、等式第的探究以就數(shù)平均我的不箏式魏為落點的厘軸試魅層出不窮，是近幾年敬學(xué)t 賽，名校模擬敷學(xué)試題，高考數(shù)學(xué)真題的重要的理論背景之一.審理信教授指出：通過有限的提里考題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種醉尼限道場的 教學(xué)機智這更的摘播鮮勒的盤學(xué)機智從某種意史上說就是對閉勒木成 的理解,而對問髓本魘的發(fā)塞還在于我們?yōu)閱栴}信息的審視和非是一探究1 ：取口=再法-三，則由1）知WdrUI -I n JI ）于是，可編制如下試題：已知/M0 求證：Inf In演 工紅一”. -占十三探究2：取= - L則由知%（二任警; 于是，可編制如下試題：已知i0 求證舊50）/為正整數(shù),db為常敷，曲線五）在處的切線方程為工+ j

14、u L（1）求口力的值；（2）求函數(shù)工）的最大值；證明：/（）.ne99v1.0可編輯可修改分析：(1) cr = Lb = O. (2)nn1(3)只需證明一即證(+1)糜亦即 +,(77 4 1)-/3(/7+ I) + Nj;- n+i.ln(w+l)-biw 2W+1(n +只需證明丁7n-+L而 苻證口探究3:取a = x.b = cx.則由知: ；: ， ? in(r-x) 于是，可編制如下試題：、q2 (口 -2t 1已知0X,求證皿口 7卜由工一丁一、示例2:己知函數(shù)工)=/ (a-2)x-anx, 謾八Q證明：當0工三時,/(x)/3. 若函數(shù)府兩個零點四小，坦0M V4,證

15、明:(1)只需證(0(q-2)(口一工-口上(白一k V _(q_2)工_0lnx_2(a-2x)、,(a-x-x(o-x) + r丁一卜(口7)-加工.亦即 ln(f aI Iba-要證了伊辛上良土血3M只需證I 2 J *+三I ri ri n 小 區(qū) 71 ) (4 + 七 + 2)由/(-卜/區(qū)卜0,有護回ij即證K+w ：J(:+；2)變彩亦即 4F_ 士二差(演5)+(1口5 - 1 門演)I口占一In占21010v1.0可編輯可修改探究4：那=1+項：力=1 +三、則由知:ln（I +2演 TJ再一+xf + 2探究5：取J = 1t = 1 F，則由知：ln（ 1 西）一（1一

16、巧）2（If） （1-/）2 f網(wǎng)、：仁013湖南文科）已知函數(shù)/）=匕1一, 1 +（1）求訃的單洞區(qū)間；（2）證明：當/（巧）=/）（七金）時1.苦冬天式性- U） /（.V）在（ 5,0）上單調(diào)速增，在（O.+X）上單調(diào)遞減;（2）固為$）= /（毛）伍H毛），期可。七.所以1口： 17：】一1口（1+商工）+再=!n（l _毛）一則1+三1+七.& -x2 =毛),ln(l+jq*)ln(l+xJ) ln(l-玉)一山(1 一/)司一JX -Xln(l + VH(l+V)ln(J苞)-ln(l xJ 王 玉二 7：根據(jù)對數(shù)不等式鏈可如：ln（l + V）-tn（l + x/）2n 1

17、Z4_三耳#出+2Infl-xJ-lnfl-xJ 22(j +x2)2(IXj )-*(1 -a)2x 斤 X| + x, + 2 2*-(X + Xj)1111v1.0可編輯可修改因為 A1 +. yj工產(chǎn):47十三+ LY W4（2014綿陽三沙理科）個零點n已知函數(shù)/（，）hijx+4）-x有且只有一1313（1）求口的值；（2）1喀）（3）設(shè)函數(shù)方= /（） +工對任意的 斗與日一1,+、）（芍hxJ,證明：不等式1 3、，斗匕十% ,工. 1泣龍正二 川巧T優(yōu)）v分和：H）白=L （2）（略）（3）談函數(shù) =+不妨設(shè)事4 L只需證明京:;*;1） 屈唁可 身證不等式值成立.探究11:

18、取口=玉+11b+1, 則由知：的11:（ + 】）6 + D =2】n（.% +1） - In（維+1）1,1X, + 1 x2 +1于是，可編制如下試題：已知小與 （一L+X）,$ H X2t 求證：1X1X2（a 4 IX乂 + 1）K- 1 - ln（x2 41） h】（工+1） x, x2 + 2v1.0可編輯可修改探究12：取口=$一16=/一 L 則由知：(工-D+區(qū) - D ,(D - (- D2 ln(-l)-ln(x -1)于是，可編制如下試題：已知士，三w(L+oc),芭求證：探究13:取”得息=毛1, 則由知:(x - l)-(v -1) J于是，可編制如下試題:我7一

19、康一場已知演.三w (L-hx)x14名. 求證：今 Jxx -x -x, +Ln(三一l)_|n(11):(2U14南通二模)已知由我/(式)= 江*川口w/?),其圖象與X軸變于/心,0),8(.0)兩點，且$知(1)奉a的范圍；(2)證明：門廊分桿：(1) fle(e+x);(2)由已知得e* -g+”0仆- ov十 口=0,/ *則 1=(I lntiX1 1 x2 I兩邊職時敷，則：In白a; In a; -11 = x2 - In | .v2 -l)t所以.底丁尸而濫加了歷G1414v1.0可編輯可修改而標二1打而)V。，耍證，(而0” 只需證明 2 J.qv： 2 In u 7 In (a; 1七即 ln(.v) + In(與-】) / + -2.vrv;,因為 ln( A -l) + ln(.r2 -1)- In七三一+ 工)+1 0,所以 In(芍 一 1)十