等差、等比數(shù)列的性質(zhì)與規(guī)律小題專項(xiàng)訓(xùn)練

1、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)與規(guī)律小題專項(xiàng)訓(xùn)練一、知識(shí)要點(diǎn)：（一）等差數(shù)列1、 等差數(shù)列的定義：如果數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即.(或).2、 等差中項(xiàng)：若a、A、b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，即A=.3、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：. 公式變形為:，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，n的系數(shù)是公差。4、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 公式變形為： ，是關(guān)于n的二次函數(shù)，且無(wú)常數(shù)項(xiàng)，的系數(shù)是公差的一半。若題目所給及所求都是前n項(xiàng)和的關(guān)系，可設(shè)前n項(xiàng)和為：. 注意：已知n,d, , 中的三者可以求另兩者，即所謂的“知三求

2、二”。5、等差數(shù)列的設(shè)法：若三數(shù)成等差，則可設(shè)為a,a+d,a+2d或ad,a,a+d；若四數(shù)成等差，則可設(shè)為a3d, ad, a+d, a+3d.6、等差數(shù)列的判定方法：證明大題的方法：定義法：為等差數(shù)列。 中項(xiàng)法： 為等差數(shù)列。小題可用判斷技巧：通項(xiàng)公式法：（a,b為常數(shù)）為等差數(shù)列。前n項(xiàng)和公式法：（A,B為常數(shù)）為等差數(shù)列。7、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列的公差，則 d>0是遞增數(shù)列；d<0是遞減數(shù)列；d=0是常數(shù)數(shù)列.（2），其中m,n. 如：。（3）公差；.m,n.（4）若m+n=p+q,則.如：（5）若m , n , p成等差數(shù)列，則。如： 但 （x）

3、（6）對(duì)稱性：若是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于首末兩項(xiàng)之和.（7） 構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列（8）項(xiàng)數(shù)成等差,則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列.即成等差.（9）數(shù)列、等數(shù)列都是等差數(shù)列，其中c、p、q為常數(shù)， 為等差數(shù)列。（10）若等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，則 （11）若共有2n項(xiàng),則；. 若共有2n1項(xiàng),則； ；. 如 ，5=（9+1）÷2；8、已知成等差數(shù)列，求的最值問(wèn)題： 若,d<0且滿足,則最大；若,d>0且滿足,則最小. 另外還可以利用二次函數(shù)求最值,或利用導(dǎo)數(shù)求最值.注意：解決有關(guān)等差數(shù)列問(wèn)題通常有兩種常用的方法：基本量法，性質(zhì)法。 對(duì)于本章問(wèn)題，要學(xué)會(huì)運(yùn)

4、用函數(shù)、方程（組）、不等式的思想方法解決。（二）等比數(shù)列1、等比數(shù)列的定義：如果數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。即 （或.2、等比中項(xiàng)：如果a、G、b三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G=.3、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為q,則通項(xiàng)公式為:.公式變形為: ,其中A=.4、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(推導(dǎo)方法是錯(cuò)位相減法) q1 時(shí)， （注意兩個(gè)紅色部分互為相反數(shù)哦） 公式變形為：,其中 且. 注意：已知n,q, , 中的三者可以求另兩者，即所謂的“知三求二”。5、等比數(shù)列的設(shè)法：若三數(shù)成等比，則

5、可設(shè)為a,aq,aq2或；;若四數(shù)成等比，且公比為正，則可設(shè)為.6、等比數(shù)列的判定方法：證明等比數(shù)列的方法： 定義法： 為等比數(shù)列。 中項(xiàng)法：() 為等比數(shù)列。判斷等比數(shù)列的常用技巧： 通項(xiàng)公式法：(A,q為不為0的常數(shù))為等比數(shù)列。前n項(xiàng)和公式法：()為等比數(shù)列()。7、等比數(shù)列的性質(zhì)：（1） ，其中m,n.如：（2）若m+n=p+q=2t,則 (其中m,n,p,q,t).如：但（X）.（3）對(duì)稱性：若是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積都等于首末兩項(xiàng)之積.（4）數(shù)列、數(shù)列都是等比數(shù)列，其中c為常數(shù)。（5）構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列. （6）若是等比數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，則成等差數(shù)列。（7）單

6、調(diào)性：是遞增數(shù)列；是遞減數(shù)列；q=1是常數(shù)數(shù)列；q<0是擺動(dòng)數(shù)列。注意： 等比數(shù)列與等差數(shù)列在各方面都比較類似，故可以類比理解、掌握。解決有關(guān)等比數(shù)列問(wèn)題通常有兩種常用的方法：基本量法，性質(zhì)法。 對(duì)于本章問(wèn)題，要學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)、方程（組）、不等式的思想方法解決。二、針對(duì)訓(xùn)練：（一）選擇題1已知等差數(shù)列滿足，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）A BC D2在等差數(shù)列an中，若a1a2a332，a11a12a13118，則a4a10等（ ）A45 B75 C50 D603設(shè) 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，且，則等于（ ）A120 B105 C90 D754等差數(shù)列中，=12，那么的前7項(xiàng)和=（ ）A22

7、B24 C26 D285等差數(shù)列中，=3，=7，則=（ ）A9 B10 C11 D126等差數(shù)列中，已知，則使得的最大正整數(shù)為（）A B C D67若兩個(gè)等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為An 、Bn，且滿足，則的值為（ ）A B C D8在等差數(shù)列中，若，則的值為（ ）A B C D9設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，若，則（ ）（A） （B） （C） （D）10等差數(shù)列中，公差，那么使的前項(xiàng)和最大的值為（ ）A B C 或 D或11已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，成等差數(shù)列，則A B C D12設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S19>0，S20<0，則使Sn取得最大項(xiàng)的n為

8、A8 B9 C10 D1113在等比數(shù)列an中，如果a66，a99，那么a3為（ ）A4 B C D214若，是等比數(shù)列中的項(xiàng)，且不等式的解集是，則的值是（ ）A B C D15設(shè)等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為,已知，則（ ）A B C D16已知數(shù)列為等比數(shù)列，則（ ）A9 B C D 17已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則等于（ ）A、 B、 C、 D、或18設(shè)等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為,已知，則（ ）A B C D19設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若=3則=（ ）A2 B C D320已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且,則（ ）A16 B18 C8 D1221在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則等于（ ）A5 B6

9、C7 D822設(shè)，若是 與的等比中項(xiàng)，則的最小值為 （二）填空題23已知等差數(shù)列中，前5項(xiàng)和，則= 24已知等差數(shù)列中，則其前6項(xiàng)和 .25等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，當(dāng)=0時(shí)，= 26在等差數(shù)列中， ，為方程的兩根，則 27已知等差數(shù)列中，則的值是 28設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則 29已知等比數(shù)列an中，若，則_30已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)t的值為 31等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則32在正項(xiàng)等比數(shù)列中，則的最小值為_(kāi).33設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 .34已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，與的等比中項(xiàng)為，則的最小值為 .參考答案1C【解析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)，顯然選項(xiàng)B是正確的

10、，選項(xiàng)D是正確的，故A選項(xiàng)正確。所以答案選擇C選項(xiàng)。2C【解析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，解得，解得，所以，而3B【解析】分析：由得 由得，所以=，故選B4D【解析】分析：由等差數(shù)列性質(zhì)5C【解析】分析：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，所以，成等差數(shù)列，所以=116D【解析】分析：的最大n值為67B【解析】分析：8A【解析】分析：利用等差數(shù)列中構(gòu)成等差數(shù)列的性質(zhì)，設(shè)9B【解析】分析： ，答案選B.10C【解析】分析：，公差，則，因此最大的值為5或611C【解析】分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，即解得，因?yàn)?，所以，所以答案為C12C【解析】分析：試題分析：因?yàn)镾19>

11、0，S 20<0，所以 ，且 所以， 所以當(dāng)時(shí)，最大故選C13A【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)解得14C【解析】分析：由不等式的解集可知15A【解析】分析：因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以S3，S6-S3，S9-S6，成等比數(shù)列，則S3（S9-S6）=（S6-S3）2，即8×（S9-S6）=（-1）2，解得S9-S6= ，即a7+a8+a9= 。16C 【解析】分析：由題意，得，且，即，17C【解析】分析：，所以18A【解析】分析：因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以S3，S6-S3，S9-S6，成等比數(shù)列，則S3（S9-S6）=（S6-S3）2，即8×（S9-S6）=（-1）2，解得S9-S6= ，即a7+a8+a9= 。19B【解析】分析：等比數(shù)列中成等比數(shù)列，設(shè) 20C【解析】分析：等比數(shù)列中構(gòu)成等比數(shù)列21C【解析】分析：，故選C224【解析】分析：由題意知，又，所以，所以的最小值為.233【解析】分析：由求和公式24【解析】分析：，所以答案應(yīng)填：2517【解析】分析： 2615【解析】分析： ，為方程的兩根，所以+=10，數(shù)列,是等差數(shù)列，所以+=，2715【解析】分析：由等差數(shù)列性質(zhì)28【解析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知成等差數(shù)列，即,解得.295【解析】分析：變形為30-2【解析】分析：解法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的特點(diǎn)