八年級數(shù)學(xué)下冊矩形知識點及同步練習(xí)(含答案)

1、師點撥學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：矩形開蠟學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)目標1 . 了解矩形的概念及與平行四邊形的關(guān)系.2 .掌握矩形的性質(zhì)及識別方法.3 .能靈活地運用矩形的有關(guān)知識的計算和證明. 學(xué)法指導(dǎo)矩形是特殊的平行四邊形，平行四邊形具有的性質(zhì)矩形也具有，并且它還具有自己的特殊性. 基礎(chǔ)知識講解1 .矩形的概念有一個角為直角的平行四邊形叫矩形.由概念可知，矩形首先是平行四邊形，只是增加一個角是直角這個特殊條件.2 .矩形的性質(zhì)(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì).(2)矩形的四個內(nèi)角是直角.(3)矩形的對角線相等且互相平分.(4)矩形即是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.3 .矩形的識別方法(1)有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是

2、矩形.(2)對角線相等且互相平分的平行四邊形為矩形.4 .矩形的識別方法運用時應(yīng)注意以下幾點(1)用有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形來判定一個四邊形是否是矩形時須同時滿足兩 個條件；一是有一個角是直角， 二是平行四邊形，也就是說有一個角是直角的四邊形不一定 是矩形，必須加上平行四邊形這個條件才是矩形.(2)用“對角線相等的平行四邊形是矩形”來判定一個四邊形是否是矩形時也必須滿 足兩個條件：一是對角線相等，二是平行四邊形.重點難點重點：矩形的定義，性質(zhì)及識別方法.難點：矩形的性質(zhì)及識別方法的靈活運用. 易錯誤區(qū)分析運用矩形的識別方法來判斷四邊形是否是矩形時易忽略滿足的條件例1.對角線相等的四邊形是矩

3、形，這個結(jié)論正確嗎？錯解：這個結(jié)論正確正解：這個結(jié)論不正確分析：對角線相等的平行四邊形才是矩形.典型例題例1.如圖12-2-1所示：已知矩形 ABCM兩條又線 AC, BD相交于O, /AOD=120 ,AB= 4cm,求矩形對角線長.圖 12-2-1分析：注意到矩形的對角線相等且平分這個特性，不難求解.解 ABC的矩形AC= BD,且 OA=1AC, OB=1BD,. OA=OB22. /AOD=120 , . AOB=60 . . AOB為等邊三角形.OB= OA= AB= 4,BD= 2OB= 2X 4= 8cm.例2.如圖12-2-2所示：DABCD AC, BD直交于O, EFLBD

4、垂足為BC于點 E, F,且 AE=EO=1 DE.20, EF分別交AD,圖 12-2-2求證：DABCM矩形分析：觀察給出的已知圖象的特征，要證DABCM矩形，顯然只要證鼻 DOE的斜邊上的中線 OM易證4 AO陵 DOM OA= OD問題得證.證明：取DE的中點M連結(jié)OM _ 1在 RtDOE中，OMDE=DM-1OE=AE= DE, / OME= OEA2.OM= OE DM= AE, Z OMD= /OEM. OM腎 OEA OA=OD1 _ _ 1 _在 DABCDK OAAC, OD-BD,22AC= BCDABCM 矩形.例3.已知：如圖所示，E是已知矩形 ABCM邊CB延長線

5、上的一點， 的中點.求證：BFXFD分析：由于CE= CA F是AE的中點，若連結(jié) CF,則CFLAE.所示/ 證BFLFD,只須再證/ CFB= /AFD.易知，只要證 AFD BCF.AC= BD即可，若CE= CA F 是 AEAFC= 90° .所以要證法一：連結(jié) CF.因為CE= CA F是AE中點，所以 CF± AE.所以 / AFD+/ DFG= 90°,因為四邊形 ABCDM巨形，所以 AD= BC, / ABC= Z BAD= 90° .又 F是RtABE斜邊BE的中點，所以BF= AF,所以/ FAB= / FBA所以/ FAD=/

6、FBC.所以 FAgFBC 所以/ CFB4 AFD,所以/ CFB吆 DFC= 90 ° ,即 BF± FD.證法二：如圖所示：延長 BF交DA延長線于點 G連結(jié)BD.因為四邊形 ABC皿矩形， 所以 aDTTbC, AC= BDD 所以/ AGF= / EBF / GAFh BEF.因為 F是 AE 的中點，所以 AF= FE.所以 AG障4EBF所以 GF= BF, AG= BE.所以 GD= EC.因為 CA= CE，CA= BD,所以 BF± DF.例4.已知如圖：矩形ABCD43, E為CD的中點.求證：/EAB=/ EBA分析：證角相等.若兩角在同一

7、個三角形中，可證三角形為等腰三角形.證明：四邊形 ABCM矩形 ./ D= Z C= 90° , AD= BC. E 為 DC的中點，.AD® BCE . . AE= BE . . / EAB=/ EBA例5.如圖：已知矩形 ABC邛,CF± BD于F, / DAB的平分線 AE與FC的延長線相交于 點E,判斷CA與CE的大小關(guān)系，并說明理由.分析：要判斷 CA與CE的大小關(guān)系，如果能證到/ EAO= / E即可得CA= CE解：OA=CO過點 A作 AML DR 可得 AM/ EF, / MAE= / E / DA時 / DBA= / OAB / MAE= /

8、EAO / EAO= / ECE=CA創(chuàng)新思維例1.如圖所示 ABC是直角三角形，/ C= 90°,現(xiàn)將 ABC補成矩形，使 ABC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可以畫兩個：矩形ACB/口矩形AEFB解答問題2.(填(1)設(shè)圖(2)中矩形ACB前矩形AEFB的面積分別為 Si,包 則SiS(2)如圖(3)中 ABC為鈍角三角形，按短文中的要求把它補成矩形，則符合要求的 矩形可以畫 個，利用圖(3)把它畫出來.(3)過圖(4) 4ABC是銳角三角形且三邊滿足BO AO AR按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫 個，利用圖

9、(4)把它畫出來.(4)在(3)中所畫的矩形中，哪一個的周長最?。繛槭裁?？分析：本題主要考查矩形的性質(zhì)和計算.解：(1)如圖甲過點 C作CGL AB于G 則CG=AE. S=24abc=2X - XAB- CG=AB CQ S=AE. AB=CG AB S=&2(2)有2個如圖乙(3)有3個如圖丙(4)設(shè)矩形 BCED ACHQ ABG用勺周長分別為 Li, L2, L3, BC= a, AC= b, AB= c.易知， 這些矩形的面積相等，令其面積為S,則有,2s 八 2s2s 門Li=- 2a , L2=+2b, L3 +2c, abc 一 2a 2sab s .- Li-L2=一

10、+2a- ( - 2b ) =2 (a-b ) ，而 ab>s, a > bLi-L2> 0,即 Li> L2.同理L2>L3.以AB為邊的矩形周長最小.例2.如圖 ABC中，點。是AC邊上的一個動點， 過點O作直線 MN/ BC,設(shè)MN交/ BCA 的平分線于點E,交/ BCA的外角線于點 F. (i)求證：EO= FQ (2)當點。運動到何處時， 四邊形AECF是矩形？證明你的結(jié)論.分析：先證/ OCE= / OECM有E0= CQ 同理有F0= CQ即有EO= FQ當0運動到AC的中點時，四邊形 AECF對角錢互相平分./ EcF=90° .則四邊

11、形AECF 為矩形.證明：(I)MIN/ BC, . .Z i = Z3 又.CE為/ ACB的角平分線，/ i=/2,，/2=Z3,0E= 0C 同理可證 0F= 0COE=OF(2)當0運動到AC的中點時，四邊形 AECF為矩形，因為 A0= 0Q 0E= 0F.解：由矩形的特征， AC= EF,由AE/ CF, CE/ AF知BECD是平行四邊形，故 AE= CF, 從而AC= FE.中考練兵1 .如圖所示，在矩形ABCDK點E,F分別在AB,CD上BF/DF,若AD= i2cm,AB=7cm,且AE EB=5: 2,則陰影部分的面積為.分析：由已知可判斷四邊形 EBF四平行四邊形.由平

12、行線之間的距離處處相等，可知BE邊上的高與AD的長相等.因此求 BE的長是關(guān)鍵.本題還可運用平移的方法，將 AED沿AB方向平移，使 DE與BF重合，得空白部分所 組成的圖形是長12cm,寬5cm的矩形，可求其面積，然后將矩形ABCM面積，減去空白部分的面積，即可得陰影部分的面積.也可通過矩形的面積減去二個全等三角形的面積，而得出陰影部分面積。解：因為 AE+EB= AB= 7cm, AE: EB= 5: 2所以 AE= 5cm, EB= 2cm.由矩形的特征，BE/ DF,又BF/ DE.所以四邊形EBFM平行四邊形故其面積為 BEX AD= 2X12=24cm2故填24cnf2 .如圖所示

13、，矩形 ABCD& AE折疊，使D點落在BC邊上的F點處，如果/ BAF= 60°, 則/ DAE等于()A. 15°B. 30°C. 45°D, 60°分析：本題主要考查矩形性質(zhì)，矩形的四個角都是直角，也考查全等三角形的判定和性質(zhì).可證 AD段 AFE 從而/ DAE= / FAE= ( 90 -60 °) +2=15°答：選A3 .如圖在矩形 ABCD43, CE! BD, E 為垂足，/ DCE / ECB= 3:1,那么/ ACE=度.分析：由矩形的性質(zhì)得/ DCB= 90° ,根據(jù)/ DCE /E

14、CB= 3: 1,可得出/ DCEW度數(shù).由 于AC= BR且AC, BD互相平分，可得等腰三角形 OCD則/ OCD= / ODC= 90°-/DCEM而 可求/ ACE的度數(shù).答：45°隨堂演練一、填空題1 .矩形ABCDB勺邊AB的中點為P,且/ DPE直角，則 AD: BA=.2 .已知矩形 ABCD43,對角線 AC, BD交于。點，/ AOB=2 BOC AC=18cm 貝U AD= cm.3 .如圖矩形 ABCD43, E是CD的中點，且 AE1 EB,若Seab= 8cn2,則AD=AB=4 .矩形的兩條對角線的夾角為60。，一條對角線與短邊的和為15,則短

15、邊的長為對角線的長5 .在矩形 ABCM, AB=2AD E是CD上一點，且AE= AB,則/ CBE的度數(shù)是6 .在RtABC中，/ A= 90° , AB= AC,如圖，且四邊形 AFDE為矩形，若 EF= 5,矩形AFDE的面積為12,則AC= .7 .如圖，在矩形 ABCD43, AB= 16, BC= 8,將矩形沿 AC折疊，點D落在點E處，且CE交AB于點F,則AF=.8 .如圖，寬為3,長為4的矩形紙片ABCD先沿對角線BD對折，點C落在點C'位置， BC交AD于G再折疊一次使點 D與點A重合.得折痕 EN, EN交AD于點M則點ME的長 為 二、選擇題1 .矩

16、形的邊長為10cm和15cm,其中一個內(nèi)角平分線分長邊為兩部分，這兩部分為（）A. 6cm和 9cmB. 5cm 和 10cmC. 4cm 和 11cmD. 7cm 和 8cm2.下列四邊形中，不是矩形的是（）A.三個角都是直角的四邊形B.四個角都相等的四邊形C. 一組對邊平行且對角線相等的四邊形D.對角線相等且互相平分的四邊形3.如圖，在矩形 ABCD43, DEI AC 于 E, / ADE / EDC= 3: 2,貝 U/ BDE 的度數(shù)（）A. 18°B. 36°C. 54°D, 72°4.已知矩形ABCD寸角線相交于O,且AB: BC=1: 2

17、, AC= 3cm,則矢I形ABCD勺周長為A. (6+2回 cmB. 18"5 cm5 一C. (6+6V5) cm5，D. 12cm5.矩形具有的特征而一般的平行四邊形不一定具有的特征是（）A.對角線相等C.對角相等B.對邊相等D.對角線互相平分6.矩形的兩條對角線與各邊圍成的三角形中，共有多少對全等的三角形（）A. 2對C. 6對B. 4對D. 8對7.矩形的對角線所成的角是65。，則對角線與各邊所成的角度是（）A. 57. 5°C. 57. 5° , 33. 5°8.卜面真命題的個數(shù)是()B. 32. 5°D. 57. 5°

18、, 32. 5°（1）矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形（2）矩形的對角線大于夾在兩對邊間的任意線段（3）兩條對角線相等的四邊形是矩形（4）有兩個角相等的平行四邊形是矩形（5）兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.A. 5個B. 4個三、判斷題C. 3個D. 2個1 .兩條對角線互相垂直并且相等的四邊形是矩形（）2 .兩條對角線的交點到四個頂點的距離相等的四邊形是矩形（）3 .矩形是軸對稱圖形，而且有四條對稱軸（）四、解答題1 .已知，如圖在 ABC中，D是AB上一點，且 AD=DC=BDDF, DE分別是/ ADC / BDC的平分線.求證：四邊形 DECF矩形.2 .已知：如圖

19、 AG BD的交點。是四邊形ABCD勺對稱中心，且/ A= 90°.求證：四邊 形ABC比矩形.3 .已知：如圖 ABC中，CE!AD于點E, BD±AD于點D, M是BC的中點.求證：ME=MD.4 .已知：如圖，矩形 ABC邛對角線 AG BD交于點 O, DE平分/ ADC交BC于點E, / BDE= 15° .求/ CODW/ COEW度數(shù).5.如圖：多邊形 少條邊的長度？ABCDEFGH鄰兩邊都互相垂直，若要求出其周長，那么最少要知道多參考答案一、填空題1.1:2 2 . 12 3 . J8 cm V32m 4 . 5, 105. 15°6.7

20、 7 . 10 8 .12二、選擇題1. B 2 . C 3 . A 4 . B 5 . A 6 . B 7.D 8 . C三、判斷題1.X 2x 3.x四、解答題1 .證明：因為 AA CD= DB,所以/ DCAf /A, / BCD= / B所以/ ACBW DCA廿 BCD= / A+Z B又因為/ ACB+/A+/B= 180°所以 2/ACB= 180° ,即/ ACB= 90°因為DF平分/ ADQ DE平分/ BDC又 AD= CD= DB所以 DEL BC, DF± AC所以/ DEC= / DFC= 90°所以四邊形DEC思

21、矩形點撥：要判斷DECF矩形，除了根據(jù)定義判斷外，還可用有三個角是直角的四邊形， 或者對角線相等的平行四邊形.由題設(shè)AD= CD= 8口知4 ADC BDCtB是等腰三角形.又DF,DE是角平分線，所以 DH AC DEI BC.2 .證明：因為四邊形ABC比關(guān)于O的中心對稱圖形，則相對的頂點是關(guān)于 O點的對稱 點，所以O(shè)A= OQ OB= OD即AC, BD互相平分于點 O,所以四邊形 ABCD平行四邊形.又 因為/ A= 90。，所以四邊形 ABC比矩形.點撥：由O是對稱中心易知 OA= OC OB= OD可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)定義， 只要有一個角為 90。，即可.3 .證法一：延長 DM交CE于點N,延長Eg BD延長線于點 H,連結(jié)HN.因為 CEL AD, BDL AD,所以 CE/ BD,所以/ NC陣 / DBM又CM= BM/ CMN= BMD所以 CM降 BMD所以 NM= DM同理可證 EM= HM.所以四邊形 EDHN 是平行四邊形，又因為 CEAR所以EDHN矩形.所以 EH= DN所以ME= MD證法二：延長 DM交CE于點N,同證法一 CM陣4BMD所以NM= MD即M為DN的中 點，所以ME= MD點撥：注意到 CEL AD, BDL