一元二次方程重難點

1、一.一元二次方程的定義二.有關一元二次方程根的考查（根與系數的關系及兩方程公共根問題）三.一元二次方程的解法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法）四.含絕對值的一元二次方程五.根的判別式及韋達定理根與系數的關系一一對方程根的個數的判別利用判別式解參數取值范圍一一含參變量的一元二次方程通過判別式，證明方程根的個數問題利用韋達定理求代數式的值（X1 x2,x1x2,x1 x2,- -,X12 X22等）Xi X2利用韋達定理求參數的值五.一元二次方程整數根問題六.一元二次方程的應用基礎學習元二次方程的定義定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程.關于一元二次

2、方程的定義考查點有三個：二次項系數不為0;最高次數為2;整式方程2一般形式：ax bx c 0 （a 0） , a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項.二.有關一元二次方程根的考查（根與系數的關系及兩方程公共根問題）關于一元二次方程根的考查就是需要將根代入方程得到一個等式，然后再考察恒等變換。（將根代入方程，這是很多同學都容易忽略的一個條件） 1.與根有關的代數式化簡求值【例】已知x是一元二次方程x2 +3x-1=0的實數根，求代數式：一X （ x 2 5）的3x2 6xx 2【鞏固】先化簡，再求值：a2 4(a2 4a 412)-,其中a是方程x +3x+1=0 的根.2 a a2 22

3、.公共解問題【思考】已知兩個二次方程x2+ax+b=0與x2+cx+d=0有一個公共根為1,求證：二次方程2 a c b dx x 0也有一個根為1.22【例1】一元二次方程x2- 2x- 5 = 0的某個根，也是一元二次方程x2- ( k+2) x+ 9 = 0的根，44求k的值.【鞏固】當k為何值時，方程x2- (k+2) x+12=0和方程2x2- ( 3k+1 ) x+30=0有一公共根？ 求出此公共根.【變式1 若兩個不同的關于x的方程x2+x+a=0與x2+ax+1=0有一個共同的實數根，求a的 值及這兩個方程的公共實數根.【變式2已知a> 2, b> 2,試判斷關于x

4、的方程x2- ( a+b) x+ab=0與x2-abx+ ( a+b ) =0 有沒有公共根.請說明理由.【拓展1 已知：關于x的方程ax2+bx+c=0 , bx2+cx+a=0 , cx 2+ax+b=0有一個相同的實數根， 且 a?b?cw0,求 a+b+c 的值【拓展2】設a, b, c為 ABC的三邊，且二次 三項式x2+2ax+b 2與x2+2cx-b 2有一個公因式，證明： ABC一定是直角三角形.元二次方程的解法及求根公式（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法）【例1】解方程:4 ,一 3x(2) ( 3x+1 ) ( 2x-5 ) =-2 ( 2x-5 )(3)4x2 1

5、4x(4) 4 1x2 9(7)x+2 7-8= 0(2) x+ Jx4 -6=0【鞏固】（1）已知關于x的方程（2a+1 ） x+a 2+a=0的兩個實數根中，只有一根大于5,求a的取值范圍.(2)已知 x, y 滿 足方程 x4+y4+2x 2y2-x 2-y 2-12=0 ,求 x2+y2 的值.在解方程里面，一般采取的方法是配方法，應用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考查最多的是十字相乘法，因此在學習的時候要求對這幾種方法熟練掌握，一般來說，對于初學者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在熟練掌握根與系數的關系之后，配方法相較會簡單一些?！纠?】若 m n為有理數，萬是無理數，

6、m+亦是有理系數方程ax 2+bx+c=0 ( aw 0)的一 個根，證明：m-亦也是這個方程的一個根.【例2】設xi、x2是方程x2-6x+a=0的兩個根，以xi、x2為兩邊長的等腰三角形只可以畫 出一個，試求a的取值范圍.x 1 3x 3【例3】當x滿足條件 11 時，求出方程x2-2x-4=0的根.-(x 4) 3(x 4)【鞏固】(1)解方程：x2-x-5=0 .2x 3 1(2)若不等式組 1 整數解是關于x的方程2x-4=ax 的根，求a的值.x (x 3)2四.含絕對值的一元二次方程【例1 閱讀例題，模擬例題解方程.例：解方程 x2 + |x-1|-1=0.解：（1）當 x-1

7、> 0 即 x > 1 時，原方程可化為：x2+ （ x-1 ） -1=0 即 x2+x-2=0 ,解得 xi=1 ,X2=-2 （ x2不合題意，舍去）；（1）當 x-1 V 0 即 xv 1 時，原方程可化為：x2- （ x-1 ） -1=0 即 x2-x=0 ,解得 x3=0, x4=1r4不合題意，舍去）.綜合（1）、（2）可知原方程的根是x1=1 , x2=0.請模擬以上例題解方程：x2+|x+3|-9=0.【鞏固】解方程：x21 #1>2-11（2）x2 4x 5 6 2x【例 2】解 方程：（1） x2-|x-2|-6=0.（2） x2-4|x|-5=0【鞏固】

8、設方程x2 |2x 1 4 0 ,求滿足該方程的所有根之和.難點突破五.根的判別式及韋達定理1根與系數的關系一一對方程根的個數的判別判別式與根的關系2在實數范圍內，一元二次方程ax bx c 0(a 0)的根由其系數a、b、c確定，它的根的情況(是 . 2 ,.、否有實數根)由b4ac確定.2設一元二次方程為ax bx c 0(a 0),其根的判別式為：b 4ac則bb4ac_ 2 l_ _.xi2 0 方程ax bx c 0(a 0)有兩個不相等的實數根,2a .b 0方程a/bxc0(a0)有兩個相等的實數根x1x2函.2 0方程axbxc0(a0)沒有實數根.【例1】(1)解方程：x2+

9、4x-5=0 ;(2)求證：無論k取任意值，關于x的一元二次方程x2-kx+ ( k-2 ) =0 一定有兩個不相等 是實數根.【鞏固1】已知關于x的方程x2+ax+a-2=0(1)若該方程的一個根為1,求a的值及該方程的另一根；(2)求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.0有兩個相等的實數根.4n 0必有兩個相等的實數根.【鞏固2已知關于x的方程(n 1)x2 mx 1求證：關于 y的一元二次方程 m2y2 4my m2【變式】已知關于x的一元二次方程x2+2 ( k-1 ) x+k2-1=0有兩個不相等的實數根.(1)求實數k的取值范圍；(2) 0可能是方程的一個根嗎？若是，

10、請求出它的另一個根；若不是，請說明理由.【鞏固】已知關于x的方程x2+( 2k+1 )x+k 2+2=0有兩個相等的實數根，試判斷直線y= ( 2k-3 ) x-4k+12 能否通過點A ( -2 , 4),并說明理由.利用判別式解參數取值范圍一一含參變量的一元二次方程【例1】關于x的一元二次方程(1 2k)x22jk 1x 1 0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.【變式】已知關于x的方程x2 2(m 1)x m2 5 0有兩個不相等的實數根，化簡:|1 m |m2 4m 4【例2】關于x的方程a 6 x2 8x 6 0有實數根，則整數a的最大值是2【鞏固】若關于x的一元二次方程(k 1)

11、x 2x 1 0有實數根，則k的最小整數值為 【例3】已知：方程mx2 2 m 2 x m 5 0沒有實數根，且m 5,求證：m 5 x2 2 m 2 x m 0有兩個實數根.【鞏固】已知：m、n為整數，關于x的二次方程x2 (7 m)x 3 n 0有兩個不相等的實數解, x2 (4 m)x n 6 0有兩個相等的實數根，x (m 4)x n 1 0沒有實數根，求m、n的值.通過判別式，證明方程根的個數問題【例1】對任意實數 m ,求證：關于x的方程(m2 1)x2 2mx m2 4 0無實數根.2x mx 12m 1 一 te有兩個不相等的頭【變式】已知方程 x2 2x m 1 0沒有實數根

12、，求證：方程 數本H .【鞏固】已知：方程mx2 2 m 2 x m 5 0沒有實數根，且m 5，求證：m 5 x2 2 m 2 x m 0 有兩個實數根.【拔高1】已知關于x的二次方程x2p1xq10與x2p2xq20 ,求證：當p1P22(q1q2)時，這兩個方程中至少有一個方程有實數.0,求證：一兀二次方程 ax2 2bx c 0【拔高2】已知實數a、b、c、r、p滿足pr 2 , pc 2b ra必有實根.利用韋達定理求代數式的值(x1 x2,x1x2,x1 x2,- - ,x12 x22等) X x2【例1】已知關于x的一元二次方程x2-2 右x+m=0有兩個不相等的實數根.(1)求

13、實數m的最大整數值；(2)在(1)的條下，方程的實數根是x1, x2,求代數式x/+x22-x 1x2的值.【鞏固】已知x1, x2是一元二次方程(m-3 ) x2+2mx+m=0的兩個實數根.(1)是否存在實數m,使-x 1+xx2=4+x 2成立？若存在，求 出m的值，若不存在，請你說明 理由；(2)若|x 1-x 2|= 73,求m的值和此時方程的兩根.利用韋達定理求參數的值【例1】一元二次方程mx2-2mx+m-2=0 .(1)若方程有兩實數根，求m的范圍.(2)設方程兩實根為x1, x2,且|x1-x 2|=1 ,求m.【鞏固1】已知關于x的一元二次方程x2+2 ( m+1) x+m

14、2-1=0 .(1)若方程有實數根，求實數m的取值范圍；(2)若方程兩實數根分別為x1, x2,且滿足(x-x2)2=16-x 1x2,求實數m的值.【鞏固2】已知：關于x的一元二次方程kx2- ( 4k+1 ) x+3k+3=0 ( k是整數).(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)若方程的兩個實數根分別為xi, X2 (其中xi v X2),設y=x 2-x 1-2 ,寫出y關于變量k 的函數表達式.【練習】已知關于x的方程mx2+ ( 3-2m ) x+ ( m-3 ) =0 ,其中m> 0 .(1)求證：方程總有兩個不相等的實數根；(2)設方程的兩個實數根分別為xi, x2

15、,其中x1 > x2,若y = x-1,求y與m的函數關系 3x1大；(3)在(2)的條件下，請根據函數圖象，直接寫出使不等式y(tǒng)w-m成立的m的取值范圍.【變式1】關于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0 的實數解是x1和x2.(1)求k的取值范圍；(2)如果x 1 +x 2-x 1x2V -1且k為整數，求k的值.【鞏固】已知關于x的一元二次方程x2- ( 2k+1 ) x+k 2+2k=0有兩個實數根x1，x2.(1)求實數k的取值范圍；(2)是否存在實數k使得x1?x2-x 12-x 22>0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請 說明理由.【變式2】已知關于x的一元二次

16、方程x2- ( 2k+1 ) x+k 2+k=0 .(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)若 ABC的兩邊AB, AC的長是這個方程的兩個實數根.第三邊BC的長為5,當 ABC 是等腰三角形時，求k的值.【鞏固】已知xi, X2是關于x的一元二次方程x2-2 ( m+1) x+m2+5=0的兩實數根.(1)若(xi-1 ) ( x2-1 ) =28 ,求 m的值；(2)已知等腰 ABC的一邊長為7,若x1, x2恰好是 ABC另外兩邊的邊長，求這個三角 形的周長.【變式3設 m是不小于-1的實數，使 得關于x的方程x2+2( m-2) x+m2-3m+3=0有兩個不 相等的實數根x1,

17、x2.111(1)若1 1 ,求一1一的值；x1x23 2m(2)求4 g m2的最大值.1 x11 x2五.一元二次方程整數根問題1 .有理數根問題方程ax2 bx c 0 (a 0, a、b、c均為有理數)的根為有理數的條件是：1 為有理數2 .整數根問題次方程有正（負、非正、非負）整數根，用十字相乘或公式法求出兩個根，并將兩根化簡,分子部分不能有字母，再討論整數根,并考慮根為正（負、非正、非負）數。次方程有整數根，但用十字相乘或公式法求出的兩個根含有根號時，如x=a-39-4a9-k要利用換元法，設 炳a k ,得出a=9- ,將4論整數根問題，方法同上；若 =4a2-9且a為整數,x中

18、的a全部替換，得出兩個不含根號的解，再討貝U設 4a2-9=k 2 4a2- k2=9,可得(2a-k ) (2a+k)=9,則討論整數X整數=9,討論出所有滿足情況的整數即可，注意k>0注意：若方程至少有一實數根，那么通過Xi,X2推出的相關字母的值，應該取全部情況；若方程有兩個實數根（已經確定方程為二次方程）X1, X2推出的相關字母的值，應該取公共解。1.有理數根問題【例1】已知關于X的二次方程1x24mx (k 1)mk2 0k41，一,，.-0有有理根，求k的值。4【例2】設m是不為零的整數，關于 x的二次方程mx(m 1)x1 0有有理根，求m的值.設m為整數，且4 m 40

19、 ,方程X2 2 2mx 4m214m 8 0有兩個整數根，求 m的值及方程的根.b（b 1） 0有相同的整數根？并且求出它們的整【變式】b為何值時，方程 x2 bx 2 0和x2 2x 數根？【鞏固】當m是什么整數時，關于 x的一元二次方程 mx2 4x 4 0與x2 4mx 4m2 4m 5 0的根都是整數.六.一元二次方程的應用一元二次方程的應用類問題大致可以分為五種情況：1.增長率問題；2.商品利潤問題；3.圖形面積問題；4.傳播問題；5.動點問題1 .增長率問題【例】某校去年對實驗器材的投資為 2萬元，預計今明兩年的投資總額為12萬元，求該校這兩年在實驗器材投資上的平均增長率是多少？

20、【變式】某個體戶以50000元資金經商，在第一年中獲得一定的利潤，已知這50000元資金加上第一年的利潤在第二年共獲利潤2612.5元，而且第二年的利潤率比第一年多0.5%,則第一年的利潤是多少元？【鞏固】某商場2002年的營業(yè)額比2001年上升10%, 2003年比2002年又上升10%,而2004年和2005 年連續(xù)兩年比上一年降低 10%,那么2005年的營業(yè)額比2001年的營業(yè)額（）A.降低了 2%B.沒有變化C.上升了 2%D.降低了 1.99%2 .商品利潤問題【例】某商場銷售一批名牌襯衫， 平均每天可以銷售出 20件，每件盈利40元，為擴大銷售，增加利潤， 盡量減少庫存，商場決定

21、采取適當的降價措施，經調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，商場平均每天多售出2件，若商場平均每天要盈利 1200元，每件襯衫應降低多少元？【鞏固】商場將每件進價為 80元的某種商品原來按每件 100元出售，一天可售出100件.后來經過市場調查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件.(1)問商場經營該商品原來一天可獲利潤多少元？(2)若商場經營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品售價應為多少元？【鞏固】宏達汽車出租公司共有出租車120輛，每輛汽車的日租金為 160元，出租業(yè)務天天供不應求，為適應市場需求，經有關部門批準，公司準備適當提高日租金，經市場調查發(fā)現(xiàn)，一輛汽車日租金每增加10元，每天出租的汽車相應地減少 6輛。若不考慮其他因素， 公司將每輛汽車的日租金提高幾個10元能使公司的日租金總收入達到19380元？使公司的日租金總收入最高？最高是多少？3 .圖形面積問題【例】如圖，一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四個角各截去一個正方形，制成高是 5 cm ,容積是500 cm3的無蓋長方體容器，