2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)必考問題專項(xiàng)突破18排列、組合、二項(xiàng)式定理與概率理

1、問題18排列、組合、二項(xiàng)式定理與概率II真題體驗(yàn)II1. （2020 浙江）若從1,2,3 ,，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取 4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)， 則不同的取法共有（）.A. 60 種 B . 63 種 C . 65 種 D . 66 種答案：D 對(duì)于4個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，可分三類，即4個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，2個(gè)數(shù)為偶數(shù)2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，4個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，因此共有 a+04戊+=66種.2. （2020 山東）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要求這3張卡片不能全是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為（）.A. 232 B . 252 C . 472 D . 4

2、84答案：C 若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選 3張，若都不同色則有 &xc4xC；=64種，若2張同色，則有 dxc；xc4xc；=144種；若紅色卡片有 1張，剩余2 張不同色，則有 cixc3xcixci= 192#,乘I余2張同色，則有 dxc3xc4= 72種，所以共有 64+ 144+ 192+72 = 472種不同的取法.故選 C.3. （2020 遼寧）在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn) C現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于 線段AC CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于 32 cm2的概率為（）.A. - B. 一 C. 一 D.答案：C 設(shè)出AC的長(zhǎng)度，先利用矩形面積小

3、于32 cm2求出AC長(zhǎng)度的范圍，再利用幾何概型的概率公式求解.設(shè) AC= xcm CB= （12x）cm 0<x<12,所以矩形面積小于 32cm2即為 x(12 -x) < 32? 0< x<4 或 8 < x< 12,故所求概率為= 12 34. （2020 廣東）x2 + 1 6的展開式中x3的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）.x解析 由x2+ 6的展開式的通項(xiàng)為 Tr+1= Ce（ x2） 6 r 一 ' = Cx" 3',令12 3= 3 ,得 xx一 一 3, 一，,3 6X5X4=3,所以展開式中x3的系數(shù)為d = -=

4、20.1X2X5答案 20I高考定位II排列、組合與二項(xiàng)式定理每年交替考查，主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，難度中等或稍 易.考查古典概型時(shí)，常以排列組合為工具，考查概率的計(jì)算.II應(yīng)對(duì)策略II由于這部分內(nèi)容概念性強(qiáng)，抽象性強(qiáng)，思維方法新穎，因此備考時(shí)：要讀懂題意，明確解題的突破口，選擇合理簡(jiǎn)潔的標(biāo)準(zhǔn)處理事件；要牢記排列數(shù)、組合數(shù)、二項(xiàng)展開式公式；排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具，在復(fù)習(xí)概率時(shí)要抓住概率計(jì)算的核心和這個(gè)工具Qi A 必備知識(shí)方法必備知識(shí)排列、組合mm A!n(1)排列數(shù)公式A= n( n1)( n 2) ( n 底 1) , A = -n-m , A = n!, 0! = 1( nC

5、N*, mC N*,n).(2)組合數(shù)公式及性質(zhì)mA n n-1 n- 2 n-1漆婷m,_mn!0. m n-m m m m-1Cn= ；-, Cm= 1, Cn= Cn, G+1 = G + G .m n m !'，二項(xiàng)式定理(1)定理：(a+b)n=dan+cnan1b+ 以an b + C1abn1+dV( nC N*).通項(xiàng)(展開式的第r + 1項(xiàng))：Tr+1 = danrbr,其中d(r = 0,1 ,，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即112rGi= Gi, C = G , cA = Cn ,，G=G

6、 .二項(xiàng)式系數(shù)的和等于 2n,即C0+C2 + -+ Cn=2n.二項(xiàng)式展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即CA+C3+C5+ =c0+ c2+cn+ ,= 2 I(3)賦值法解二項(xiàng)式定理有關(guān)問題，如3n=(1+2)n=d+d-21 + d-22+-T Cn 2n等.古典概型、m A中所含的基本事件數(shù)P(A=n=基本事件總數(shù)(2)求古典概型概率的方法和步驟反復(fù)閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意.判斷試驗(yàn)是否為等可能性事件，并用字母表示所求事件.利用列舉法或排列組合知識(shí)計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個(gè)數(shù)計(jì)算事件中 A的概率RA) =m n必備方法1 .

7、解排列、組合問題應(yīng)遵循的原則：先特殊后一般，先選后排，先分類后分步.2 .解排列、組合問題的常用策略：a.相鄰問題捆綁法；b.不相鄰問題插空法；c.多排問題單排法；d.定序問題倍縮法； e.多元問題分類法；f.有序分配問題分步法；g.交叉問題集合法；h.至少或至多問題間接法； i.選排問題先取后排法；j.局部與整體問題排除法；k.復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化法.3 .二項(xiàng)式中項(xiàng)的系數(shù)和差可以通過對(duì)二項(xiàng)式展開式兩端字母的賦值進(jìn)行解決，如(1 +x)n展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和就是展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，只要令x=1即得，而(1*)”的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和，直接令 X=-1,這樣就不難類比得到(1 +2刈

8、”展 開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的和為 (1 + | a|) n.Uli AEOIANUIMGTU HA0OU 一一一 ,一一一. 一。.一.一一 一一 .一 一 一一 , 一一一一 1 一 .QZ * 熱在命題角度權(quán)威透析演點(diǎn)熨傳排列與組合的應(yīng)用以實(shí)際生產(chǎn)、生活為背景的排列、組合問題是近幾年的?？純?nèi)容，解題時(shí)要先將問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題后再求解.題目多為中低檔題，為后面學(xué)習(xí)概率做基礎(chǔ).【例1】？某城市舉行奧運(yùn)火炬接力傳遞活動(dòng)，傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由 6名火炬手完成.如果第一棒只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種.(用數(shù)字作答)審題視點(diǎn)聽課記

9、錄審題視點(diǎn)按照第一棒是否為甲、乙分兩類求解.解析 按照第一棒是否為甲，乙，可分為兩類：第一棒是丙，則第六棒的安排有 C2種，中間4棒剩余4人全排列，故不同的安排方法 有 C1 c2 A4=48 種；第一棒是甲，乙中一人，則第一棒的安排有C2種，最后一棒則只能安排甲，乙中不跑第一棒的一人，中間 4棒剩余4人全排列，礦不同的安排方法有C2 C； A4=48種.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可得不同的方案共有48+48= 96種.答案 96方舞宣對(duì)于排列、組合的綜合題目，一般是將符合要求的元素取出或進(jìn)行分組，再 對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列，即一般策略為先組合后排列.分組時(shí)，要注意“平均分 組”與“不平均分組

10、”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn).【突破訓(xùn)練1】 由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字，且1,3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（）.A. 72 B . 96 C . 108 D . 144答案：C 從2,4,6三個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)數(shù)放在個(gè)位，有C3種方法，將其余兩個(gè)偶數(shù)全排列，有A2種排法，當(dāng)1,3不相鄰且不與5相鄰時(shí)有6種方法，當(dāng)1,3相鄰且不與5相鄰時(shí) 有A A2種方法，故滿足題意的偶數(shù)個(gè)數(shù)有C1 A2（ A3+ A A2） = 108.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用求二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)、特定項(xiàng)、二項(xiàng)式或項(xiàng)的系數(shù)，常以選擇、填空題形式考查，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用有時(shí)也在數(shù)列壓軸題中出現(xiàn)，主要是利用二項(xiàng)式定理及不等式放

11、縮法證明不等式.例 2 ? （2020 安徽）設(shè)（x1）21 = a0+ax+&x2 + +a21x21,貝U 310+ an=.審題視點(diǎn)聽課記錄審題視點(diǎn)由Tr + 1=C1x2I（ 1）r求解.解析Tr+1=c21x21 r( -1)r,a10=C11( -1)11, an=d0( 1)10,a10+ an= C21 + C10 = C10+ c2°= 0.答案 0方法鋪我1.利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解時(shí)，注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別.2.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用不僅要注重它的“正用”，而且重視它的“逆用”；還要注意特 殊值法的使用.【突破訓(xùn)練2】 若 心+ 12 n展開式中只

12、有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常 x數(shù)項(xiàng)是（）.A 360 B . 180 C . 90 D . 45答案：B 依題意知：n= 10,25.Tr+1= Cr0（煙f =G02 - x5-|r,“52 2令 5 Qr = 0 得:r = 2, .常數(shù)項(xiàng)為:C202 = 180.古典概型對(duì)于古典概型的考查常將等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等多種事件交匯在一起進(jìn)行考查，是高考考查的重點(diǎn).【例3】? (2020 天津六校三模)盒內(nèi)有大小相同的 9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白 色球，4個(gè)黑色球，規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球 得1分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取 3個(gè)球.(1

13、)求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率；(2)求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率.審題視點(diǎn)聽課記錄審題視點(diǎn)(1)間接法求概率；(2)用組合知識(shí)求概率.C77解(1) P= 1-3=.(2)記“取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事件 B, “取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球”為5事件 C,則 P(B+ C) = P(B) +PC) =-g3- + -cr=42.方一錦鹿有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的 基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、 組合的相關(guān)知識(shí).對(duì)于較復(fù)雜的題目，要注意正確 分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏.【突破訓(xùn)練3】 有編號(hào)為A, A,，A10的10個(gè)零件，測(cè)量其

14、直徑(單位：cm),得到 卜面數(shù)據(jù)：編RAAAAAAAAAA10直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區(qū)間1.48,1.52內(nèi)的零件為一等品.(1)從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率；(2)從一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè).(i )用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果；(ii )求這2個(gè)零件直徑相等的概率.解(1)由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個(gè).設(shè)“從10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品”為事件 A,則RA)=2 = 3.10 5(2)( i ) 一等品零件的編號(hào)為 A, A A A a A6.從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽

15、取 2個(gè)，所有可能的結(jié)果有：A,A,A,A, A ,A,A ,A, A,As,A,a,4,A, A,圍，A, A , A, A, A,為 , a，A , A,閨，A, A, A, A,共有15種.(11) “從一等品零件中， 隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”(記為事件 E)的所有可能結(jié)果有：A, A4 , A, A, A, A, A, A, A, A5, A3,國，共有 6 種.6 2所以 P( B) = = m15 5粕, yuejuanladshioigming 注爆節(jié)力爭(zhēng)等分03步 閱卷老師叮嚀防范二項(xiàng)式展開式中的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)1:二項(xiàng)式(a+ b)n展開式的通項(xiàng)中，因 a與b的順序顛倒而

16、容易出錯(cuò)【示例1】？ (2020 江蘇蘇北四市調(diào)研)蟲一3二n展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的 系數(shù)大162,則x的一次項(xiàng)系數(shù)為 .解析 據(jù)題意有：Cn22 ( C12) = 162,即 2n( n1) + 2n= 162.n= 9.2則 Tr+1 = C9(出)9 r r=C9( 2)rx? g. ,0-223x尸一r 2r.-由 F1， r = 3. 23333 - 14= ( 1) , 2 , C 9X = 672x.答案 6722老師叮嚀：若 而與的順序顛倒，項(xiàng)隨之發(fā)生變化，導(dǎo)致出錯(cuò).一般地，二項(xiàng)式 (a + 版b)n與(b+a)n的通項(xiàng)公式不同，對(duì)應(yīng)項(xiàng)也不相同，在遇到類似問題時(shí)，要注意

17、區(qū)分.【試一試1】 已知(1+3x)n的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于120,則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 .,一，一 ，.， 一 n 2 n- 1 n-1一 2一解析 由已知得 cn+Cn=121,則2n(n1) + n+1 = 121,即 n+n 240=0,解得n=15,所以，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是飛=C75(3x)7和飛= C?5(3x)8.答案 T8= 075(3 x)7和 T9= C85(3 x)8易錯(cuò)點(diǎn)2：二項(xiàng)式展開中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的概念掌握不清，容易混淆，導(dǎo)致出錯(cuò)【示例2 ? (2020山東青島一模)如果13x 口.o n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為3 2,x128,，1 ,一一口則展開式中三的系數(shù)是().A. 7 B . - 7 0 . 21 D . - 21. .3X1解析 當(dāng) x=1 時(shí)，=2=128,，n = 7,3xj .即 3 2 7,根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式得r7- rr 2 r r _7-rr5F+i = C(3x) (- 1) x- =03 ( -1) x7-r.33.7 31 = 3, r = 6 時(shí)對(duì)應(yīng) 7,即1+1 = 073 6( 一 1)6-3= 7X 3X 3= 3.故3項(xiàng)