三角形中的四心與向量

1、三角形中的四“心與向量平面幾何中的三角形四“心,即三角形的內(nèi)心內(nèi)角平分線的交點(diǎn),內(nèi)切圓的 圓心、重心中線的交點(diǎn)、垂心高線的交點(diǎn)、外心各邊垂直平分線的交 點(diǎn),三角形外接圓的圓心.在引入向量這個(gè)工具后,我們可以通過向量來表示 三角形的四“心,這樣使我們對向量形式的多樣性和向量運(yùn)算的靈活性有更清 楚的熟悉.、重心:unir uuur uuur r例1、O是VABC所在平面上白一點(diǎn),假設(shè) OA OB OC 0,那么O是VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心uur uuir uuur ruuur uuiruuurunr uuur【解析】假設(shè)OA OB OC 0 ,那么OA OB= OC ,以O(shè)A,O

2、B為鄰邊作平行uuir uuur uuuu,四邊形OAC B,設(shè)OC與AB交于點(diǎn)D ,那么D為AB中點(diǎn),有OA OB=OC ,uuur uuur得OC=OC,即C,O,D,C四點(diǎn)共線,故CD為VABC的中線,同理AE,BF亦為VABC的中線,所以O(shè)是VABC的重心例2、O是平面上一定點(diǎn),A, B,C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) P滿足uuuruuur uuur uuurOP OA(AB AC),0,那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心uuur【解析】上式可化為APuuur uuuruuur uuur(AB AC),當(dāng) (0,)時(shí),由于(AB AC)表示BC邊上的中線

3、所在直線的方向向量,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過VABC的重J.、Ouuu 2例3、在VABC內(nèi),存在一點(diǎn)P ,使PAuuir 2PBuuur 2PC 最小,貝U點(diǎn)P是VABCA.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】利用解析法 設(shè)A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xi,0), y2),(x3, y3),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),uuu 2PAunr 2 PBumr 2PC (x222222xi) (y yi) (x x2)(y y) (x x3) (y 代)3x2 2( xi、2222222x2x3)xxix2x33y2(yiyy3)yyiy y當(dāng)且僅當(dāng)x xi x2 x3,y3yiy23unr 2 uur

4、 2時(shí),PA PBuuur 2PC取最小值,即點(diǎn)P是VABC 的重心例4、O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) P滿足 uuur uuurw1r uu(rABACOP OA(-uttr -duur),(0,),那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一止通過AB sin B AC sin CVABC 的A.外心B.內(nèi)心umr 【解析】由正弦定理得AB sin BC.重心D.垂心uuuruuirAC sinC,故可設(shè) AB sin BuuurAC sinC =uuuruuur uuu ab貝U OP OA(-uuurAB sin BuuurAC uuruuuruutr)= OA + (ABAC sin

5、 CUULTAC),- (0,),設(shè)UULTUUir UULT UUHTt 一,那么 AP t(AB AC) 2tAM (t (0,),其中 M 為 BC 邊的中點(diǎn),所以A,P,M三點(diǎn)共線,即點(diǎn)P的軌跡是從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過M點(diǎn)的射線(除去A點(diǎn)),故點(diǎn)P的軌跡一定通過VABC的重心.二、內(nèi)心：uuu uiur uult例5、三個(gè)不共線的向量OA,OB,OC滿足uuir uuur AB OA ( uuirABuuu CA uuu ) CAuurOBuurBA(-uuurBAuuuCB uuuu-) CBuuirOCuuuBC(uuu-BCuuu CA -umu-) CA是VABC的A.外心B.內(nèi)心C.

6、重心D.垂心uuu uuir uiur【解析】由于OA,OB,OC均與VABC的外角平分線垂直,所以O(shè)為內(nèi)心.例6、O是VABC所在平面上的一點(diǎn),A, B, C所對的邊分別為a,b,c,uuu uuuaOA bOBuuur cOCr0 ,那么O是VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心uuu 由于OAuuurOBuuurb OC cr 0,uuu 所以O(shè)Auuu(OAuuur 所以AObcuurAB) buuuAB(a b c) ( cuur (OAuuir AC 石")uurAC)r0,uuu那么 OA(a buuruuurc) AB b AC cr 0,同理可證:例7、uurO

7、PbcuuuAB(-uuu(a b c) ABuuur AC uuur ) AC,所以AO平分 BAC ,BO平分 ABC , CO平分 ACB,從而O為 ABC的內(nèi)心.O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) P滿足uuurOAuuurAB (uuurABuuurAC、 uuur ),AC(0,那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】上式可化為uuurAP (uuu AB uuu ABuuur AC Ac(0,uuiruuur AB AC)時(shí),由于 (ruutrr ruutri)ABAC表示 BAC的平分線所在直線的方向向量,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定

8、通過VABC的內(nèi)心.三、外心:uuui2例8、設(shè)O為VABC所在平面上一點(diǎn),假設(shè)OAuuui2OBuuLT2OC,那么O是VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心LUT2 UUUT2 UUUT 2【解析】假設(shè)OA OB OC ,UUU 2那么OAUUIT 2OBUULT 2uurOC ,即 OAUUUTOBUULTOC ,那么O是VABC的外心.例9、.是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) P滿足UUUT UULTUUT ob ocOPUULT/ AB(-UUtTAB cosBUUUTACUULT ACcosC),那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.

9、垂心【解析】UUIT UULTOB OCBC的中點(diǎn),當(dāng) 0,時(shí),UUUT/ AB(-UtfcFAB cosBUULTACUUUTAC cosCUUIT表小垂直于BC的向量,所以點(diǎn)P在BC的垂直平分線上,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過VABC的外心.四、垂心:例10、在同一平面上有VABC及一點(diǎn)O滿足關(guān)系式:UUU2 UULT 2OA BCUUUT2 UUU 2 UULT2OB CA OCUULT 2AB,那么O是VABC的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【解析】UHT2 ULUT2OA BCULL12 OBUUT 2 CAULM 2 OCUULT 2 ABUUU 2 UUIT2(OA OB )UUIT

10、 2 (BCUUT2CA ) 0UULT (OAUULTOB)UUT(OAUULTOB)UUUT (BCUUUCA)UULT UUU(BC CA)UULT (OAUULTOB)UUTBAUUIT UULTBA (BCUUUCA) 0UUIT UUITBA (OAUUUT UUITOB BCUUUCA) 0UUTBAUULT(2OC)UUITBAUULTOCUUUTLULT UUUT,同理 AO BC , BOUUUTAC ,故.是VABC的垂心.例11、設(shè)O為VABC的外心,UUT UUU平面上一點(diǎn)P使OP OAUUIT UULTOB OCVABC 的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心uumuu

11、t uuir【解析】OP OA OBuuurOCuuirOPuuirOAuuirOBuuurOCuuurAPuuirOBuuirOCunr uuur unrAP BC (OBuuurOC)unr BCuuir (OBuuurOC)UULT (OCuuuOB)uiur 2OCuiur 2OB而O為VABC的外心,故uutr uuur uuuBP AC,CPUULTAB ,故點(diǎn)例12、O為空間中一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)uuir (OPunr uiurOA) (ABuiurAC) 0 ,A.外心B.內(nèi)心uuruuuulut OCuuirOB ,imr uiuruuur即 AP BC =0, APP是VABC的垂心

12、.UULTBC ,同理P在A,B,C三點(diǎn)確定的平面的平面內(nèi)且滿足那么點(diǎn)P的軌跡一定通過VABC 的uuiruuir【解析】由于(OP OA) (AB AC)的軌跡一定通過VABC的垂心.例13、P是VABC所在平面上一點(diǎn),VABC 的A.外心B.內(nèi)心uuuPAuuurPBUULT uuurPB PCuuurC.重心D.垂心uuirPAuurPBuuirPBuuuPCuuur uiur0 ,所以 AP CB=0UULT ,即APuuuCB ,故點(diǎn)PuuuPC PA ,uuu uuurPA PBUUTPBuuurPCuuu uuirPA PBC.重心uiurPBuurPBuurPCuuurPCuu

13、uPA ,那么P是D.垂心uuu (PAunrPC)UUT UUTPB CA 0uuirPBuuuCA ,同理可證uuurPCuuiruuuAB, PAuuur BC ,所以P是VABC的垂心.例14、O是平面上uuirOPuuuOAuuur/ AB(-UtLTAB cosBJEM ,uuir ACA,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足uttrAC cosC),(0,),那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過VABC 的A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心uuur【解析】上式可化為APunrAB(-uutrAB cosBuuurACunrAC), cosC(0,),所以uuur imrAP BCuuur )BCuuur/ AB(-uuur|AB cosBuuurACutuFAC cosCunr uuur ,AB BC (-uuurAB cosBuuur