三角形四心與向量的完美結合精選

1、三角形的“四心與向量的完美結合三角形重心、垂心、外心、內心向量形式的充要條件的向量形式 一.知識點總結1)ABC的重心 OAOB OC 0.ABC的重心,那么S B0C1S AOC S AOB - S ABC3OAOB OC0.1故uuur uuu uuu uuinPG 1( PA PB PC)3G為ABC的重心.2)O是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA .O是 ABC 非直角三角形的垂心,那么 S BOC : S AOC : S AOB tan A :tan B : tan C故 tan AOA tan BOB tan COC 03)2O是 ABC 的外心 |OA| |O

2、B| |OC|(或 OA2OB2OC )O是ABC的外心那么Sboc： S aoc- S aob sin BOC ：sin AOC ：sinAOBsin2A : sin 2B : sin2C故 sin2AOA sin 2BOB sin 2COC 04)O是內心 ABC的充要條件是OA (B- C) OB (|AB | ACBAOC|BA |窩.引進單位向量,使條件變得更簡潔.如果記 AB,BC,CA的單位向量為巳©©,那么剛剛o是ABC內心的充要條件可以寫成0A e1e3) OB (eie2)OC (e2 e3)0O是 ABC內心的充要條件也可以是aOA bOB cOC假設

3、O是ABC的內心,那么SBOC aoc : S aob a - b 故aOAbOB cOC 0或sin AOAsin BOBsinCOC 0.uuu uuur |AB|PCuum urn uurr uuu r|BC|PA |CA|PB 0 PABC的內心;word.uuiruuir向量(AB UUC )( |AB| | AC|0所在直線過 ABC的內心是BAC的角平分線所在直線；范例一.將平面向量與三角形內心結合考查例1.O是平面上的一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足OP OA AB AC軌跡一定通過 ABC的AB AC),A外心B內心C重心D垂心ABuuir解析：由于羋_是

4、向量AB的單位向量設AB的單位向量分別為e1ffi e2, 又OP OA 平分 BAC ,那么在 ABC 中,AP平分uuu uuurAB與AC方向上AP ,那么原式可化為BAC ,那么知選B.0, 那么P點的 AB點評：這道題給人的印象當然是“新奇、陌生 ,首先 會 是什么？沒見過！想想,一個非零向量除以它AB的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡單的根本知識,如向量的加減法、向量的根本定理、菱形的基本性質、角平分線的性質等,假設十分熟悉,又能迅速地將它們遷移到一起,解這道題一點問題也沒有.二將平面向量與三角形垂心結合考查“垂心定理例2.H是 ABC所在平面內任一點,HA HB HB HC

5、 HC HA 點H是 ABCW垂心.由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0HB AC 0 HBAC,同理HC AB , HA BC .故H是 ABC勺垂心.反之亦然證略例3.湖南P是 ABC所在平面上一點,假設 PA PBPB PC PC PA,那么P是 ABC的(D )A.夕卜心B.內心C.重心D.垂心解析：由 PA PB PB PC得 PA PB PB PC0.即 PB (PA PC) 0,即PB CA那么 PB CA,同理 PA BC, PCAB三角形垂心定義等相關知識等相關知識巧妙結合.所以P為 ABC的垂心.應選D.點評：此題考查平面向量有關運算,及“數量積為零,那么兩

6、向量所在直線垂直、將三角形垂心的定義與平面向量有關運算及“數量積為零,那么兩向量所在直線垂直三將平面向量與三角形重心結合考查“重心定理例4.G是 ABC所在平面內一點, GA GB GC =0 點G是ABCW重心.word.證實 作圖如右,圖中 GB GC GE連結BE和CE貝U CE=GB BE=GC BGC時平行四邊形D是BC的中點,AD為BC邊上的中線將GBGc GE代入 Ga Gb Gc =0,得GA例5.P是 ABC所在平面內任一點.G是 ABCW重心1 PG -(PA PB PC).證實PG PA AGPBBG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC) GA

7、GB GC =0AGBG CG =0,即 3PG PAPB PC由此可得-1PG (PA3PBPC.反之亦然證略 uuu unr uuur r例6假設O為A.內心心ABC 內一點,OA OB OC 0B .外心是ABC的C.垂uuu解析：由OAuuurOBd.重心uuu r uuu uuurOC 0得 OB OCuuu OA,如圖以uuuuuuruuur四邊形,那么OBOCOD ,由平行四邊形性質知uuirOE1 uuur-OD ,|OA 2OEOOB OC為相鄰兩邊構作平行CED證其EG =0 GA GE 2GD ,故6是4 ABC勺重心.反之亦然證略它兩邊上的這個性質,所以是重心,選D=-

8、.此題在解題的過程中將平面向量的有關運算與平行四邊形的對角線互相平分及三內分點,所分這比為點評：此題需要扎實的平面幾何知識,平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質：重心是三角形中線的1角形重心性質等相關知識巧妙結合.四.將平面向量與三角形外心結合考查例7假設O為ABC內一點,uuuOAuuurOC ,那么O是ABC的(A.內心解析：由向量模的定義知 O到 ABC的三頂點距離相等.故 O是 ABC的外心 點評：此題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質等相關知識巧妙結合.五將平面向量與三角形四心結合考查例8.向量 OP1 , OP2 , OP3 滿足條件 OPi +OP2 +OP3 =0

9、, | OP1 | = | OP2 | = | OP3 | = 1 ,求證 RP2B是正三角形.?數學?第一冊下,復習參考題五 B組第6題證實1由OP1+OP2=-OP3 ,兩邊平方得 OP1 OP2=-,同理1OP2 - OP3 =OP3 - OP1 = 一 ,2|PiP2| = |P2P3| = |P3Pl|=而,從而PAR是正三角形.反之,假設點 O是正三角形 P1P2R的中央,那么顯然有 0Pl +OP2+OP3 =0且10Pl |=| OP2 |=| OP3 |.word.即O是 ABC所在平面內一點,OPi +OP2+OP3 =0 且| OPi |=| OP2 |=| OP3 |

10、點 O是正 PiP2P3的中央.例9.在 ABC中,Q G H分別是三角形的外心、 重心、垂心.求證：Q G H三點共線,且QG:GH=i2設 A(0,0)、B (xi,0)、C(X2,y 2),【證實】：以A為原點,AB所在的直線為x軸,建立如下圖的直角坐標系.D E、F分別為AR BG AC的中點,那么有：D (=0)、E(X- 22由題設可設Q(X,y3)>H X2,Y4,券G( uuuu AHX2uuur(x2,y4)QFXi y2,2 2y3)uurBC (X2 xl)uuuu uuLfQAH BC uuuu uuurAHy,?BC x2(x2X2(X2 Xi)Xi)y 2y4

11、y2uuirQQFuuiruuuuACuuuuQF ?ACxX2(2y3X2(X2 Xi)2y 2?)y22y3)uum QH(X2Xiy3)2x22Xi3x 2(x 2Xi)2y2£)uuurQG汽XiXiy 23y3)(2x26Xi y 2,3X2(X2 Xi)(2x2 Xi63x 2 (x 2Xi)Xi2y23x 2(x 2Xi)6y22y2i uuuu=,QH 3uuuu uuir即QH =3QG,故Q G H三點共線,且 QG GHM： 2【注】：本例如果用平面幾何知識、向量的代數運算和幾何運算處理,都相當麻煩,而借用向量的坐標形 式,將向量的運算完全化為代數運算,這樣就將

12、“形和“數緊密地結合在一起,從而,很多對稱、共線、 共點、垂直等問題的證實,都可轉化為熟練的代數運算的論證.例i0 .假設.H分別是 ABC勺外心和垂心.求證 OH OA OB OC .證實 假設 ABC勺垂心為H,外心為 O,如圖.word.連BO并延長交外接圓于 D,連結A.CDAD AB , CD BC .又垂心為 H, AH BC , CH AB ,.AH/ CD CH/ AD四邊形AHCD；平行四邊形, . AH- DC DO OC ,故 OH OA AH OA OB OC .著名的“歐拉定理講的是銳角三角形的“三心一一外心、重心、垂心的位置關系：(1)三角形的外心、重心、垂心三點共

13、線一一“歐拉線；(2)三角形的重心在“歐拉線上,且為外一一垂連線的第一個三分點,即重心到垂心的距離是重心到 外心距離的2倍.“歐拉定理的向量形式顯得特別簡單,可簡化成如下的向量問題例11. 設Q G H分別是銳角 ABCW外心、重心、垂心.求證 OG 10H 3證實按重心定理 G是ABCW重心'OG 1(OA OB OC)3按垂心定理OH OA OB OC1 由此可得 OG OH . 3補充練習1 .A、B、C是平面上不共線的三點,O是三角形ABC的重心,動點P滿足OP =1 ( 1 OA + 1OB +2OC ),那么點 P一定為三角形 ABC的(B )3 22A.AB邊中線的中點B

14、.AB邊中線的三等分點(非重心)C.重心D.AB邊的中點1 1 一 1 1 . B 取 AB 邊的中點 M,那么 OA OB 2OM ,由 OP = - ( - OA + OB +2 OC )可得32223OP 3OM 2MC , MP -MC ,即點P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點,且點 P不 3過重心,應選 B.iLLiiLir uuuuuu uuuum uuuuir uuuuuiir uuuuxi222222_2 .在同一個平面上有 abc及一點o滿足關系式：0a + BC =OB + CA = OC + AB,那么O 為 ABC 的( D )A 外心 B 內心 C 重心 D 垂

15、心uuu uuu uuui2 . ABC的三個頂點A、B、C及平面內一點P滿足：PA PB PC 0,那么P為 ABC的( C )A 外心 B 內心 C 重心 D 垂心3 .O是平面上一 定點,A、B、C是平面上不共線的三個點,動點 P滿足：word.OP OA (AB AC),那么P的軌跡一定通過 ABC的A 外心4.uuu uuirPA? PCB 內心 C 重心 D 垂心ABC P為三角形所在平面上的動點,且動點 P滿足:uuu uuu uuu uuurPA?PB PB?PC 0 ,那么P點為三角形的夕卜心B 內心 C 重心 D 垂心5.ABC P為三角形所在平面上的一點,且點uuu uu

16、u umrP滿足：a PA b PB c?PC0 ,那么P點為三角形的B夕卜心B 內心重心 D垂心ABC 中,P滿足：2CA2CB2AB?CP,那么P點軌跡一定通過 ABC的：B )外心B 內心重心 D垂心AB AC7.非零向量A*ACf足(+ )一 AB- BC=0 且一 |AB|AC 1|AC|那么4ABC為()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形uuu uurD.等邊三角形解析：非零向量與滿足(-ABL -AC-) ;0,即角A的平分線垂直于|AB| |AC|BC, AB=AC,又 COSAuuur uuurABAC 1uuuruuur =-,| AB| | AC | 2Z A=-,所以 ABE等邊三角形,選 D.8. ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點為 H, OHm(OA OB OC),那么實數m =9.點O是三角形ABC所在平面內的一點,滿足 OA OB OBOC OC OA ,那么點 O是 ABC 的(B )(A)(C)三個內角的角平分線的交點 三條中線的交點(B)(D)三條邊的垂直平分線的交點 三條高的交點10.如圖1,點G是ABC的重心,過G作直線與AB,AC兩邊分別交于uuuv uuvM, N兩點,且