第三章-一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式-1剖析

1、深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第三章：行波法與積分變換法第三章：行波法與積分變換法深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式 三維波動(dòng)方程的定解問題三維波動(dòng)方程的定解問題 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法 傅立葉變換法傅立葉變換法 積分變換法舉例積分變換法舉例本章內(nèi)容提要本章內(nèi)容提要: :參考了顧樵教授和孫秀泉教授的課件深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院適用范圍：適用范圍：無邊界無邊界波動(dòng)方程波動(dòng)方程基本思想基本思想: : 先求出偏微分方程的通解，然后先求出偏微分方程的通解，然后用定解條

2、件確定特解。這一思想與常微分方用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是類似的。程的解法是類似的。關(guān)鍵步驟：通過變量代換，將泛定方程化為關(guān)鍵步驟：通過變量代換，將泛定方程化為混合偏微分形式，便于積分后得到通解。混合偏微分形式，便于積分后得到通解。行波法行波法（要點(diǎn)）（要點(diǎn)）深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院22222xuatuatxatx22222222uuuuuuuxuuxuuxuuuxuxuxu對(duì)于波動(dòng)方程，引入變量代換：222222222uuuatu同理：同理： 02u將將(1)(1)化成以化成以 為變量為變量: :,（1）這樣波動(dòng)方程變成：這樣波動(dòng)方程變成：波動(dòng)方程的混合微分形式3.1

3、一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院這是不含這是不含 的積的積分常數(shù)，但必分常數(shù)，但必須依賴于變量須依賴于變量 ，否則只有解否則只有解u( )先對(duì)先對(duì) 積分：積分：再對(duì)再對(duì) 積分：積分：波動(dòng)方程的通解為波動(dòng)方程的通解為 02u)()(2fdfu這是不含這是不含 的的積分常數(shù)，但積分常數(shù)，但必須依賴于變必須依賴于變量量 ，否則只，否則只有解有解)()(0fuudud不含常數(shù)u)()()()(2121atxfatxfffu21ff 和該解對(duì)于任何邊界條件和初始條件都成立，該解對(duì)于任何邊界條件和初始條件都成立， ：二次連續(xù)可微函數(shù)：二次連續(xù)可微函數(shù)0dud求

4、 的通解深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院無界弦的自由振動(dòng)無界弦的自由振動(dòng): : 任意初始位移任意初始位移, ,任意初始速度。任意初始速度。無界弦自由振動(dòng)的初值問題為：無界弦自由振動(dòng)的初值問題為：(1)(1)的通解為：的通解為：由由(2)(2)得到：得到：)()(),()(0022222xxtuxuxxuatutt)()(),(21atxfatxftxu（1）（2）（3）（4）（5）)()()(0)()()(21210 xxfaxfattuxxfxfut波動(dòng)方程的特解深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)()()(21xxfxf（4 4）（5 5）(6)(6)(5)(5)兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 積分，積分區(qū)間為積分，

5、積分區(qū)間為 0, x ：)()()(21xxfaxfaxdxxafxffxf02211)(1)0()()0()(xxffxffdxxaxfdxfd0)()0(2)()0(1)(1)()(2211CXXaxfxfx021d)(1)()(推導(dǎo)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)()()(21xxfxf2d)(21)(21)(2d)(21)(21)(0201CXXaxxfCXXaxxfxx)()(),(21atxfatxftxu（4）（6）(4)(4)與與(6)(6)聯(lián)立得到聯(lián)立得到代入代入(3)(3)：CXXaxfxfx021d)(1)()(深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院atxatxatxatxXXXXaat

6、xatxXXaatxXXaatxatxfatxftxu000021d)(d)(21)()(21d)(21)(21d)(21)(21)()(),(atxatxXXaatxatxtxud)(21)()(21),(1747)(1747)結(jié)果：結(jié)果：)(),(00 xtuxutt，)(22222xxuatu達(dá)朗貝爾公式深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2ux0a a)2(2122axfut 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2ux02a 23a2ux0a2)(122axfut 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng))2(222axfut 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng))0(022 xfut時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng))(),(22atxftxu 2ux0a3a同樣道理，同樣道理， 相應(yīng)表示

7、一個(gè)以速度為相應(yīng)表示一個(gè)以速度為a，沿，沿 x 軸負(fù)方向傳播的行波，軸負(fù)方向傳播的行波，稱為稱為左行波左行波。達(dá)朗貝爾公式表明，弦上的任意擾動(dòng)，總是以行波的形式，同時(shí)分別向兩個(gè)方向。達(dá)朗貝爾公式表明，弦上的任意擾動(dòng)，總是以行波的形式，同時(shí)分別向兩個(gè)方向傳播出去，其傳播速度正好是弦振動(dòng)方程中的常數(shù)傳播出去，其傳播速度正好是弦振動(dòng)方程中的常數(shù) a 。基于上述原因，本節(jié)所用的方法，便稱。基于上述原因，本節(jié)所用的方法，便稱其為其為行波法行波法。)(),(11atxftxu 這這些些圖圖形形說說明明，隨隨著著的推移，的推移，時(shí)間時(shí)間t)(),(22taxftxu xa，向，向的圖形，以速度的圖形，以速度

8、軸的正方向移動(dòng)。軸的正方向移動(dòng)。所所以以，它它表表示示一一個(gè)個(gè)以以正方向傳正方向傳，向，向以速度以速度xa。播的行波，稱為右行波深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0.000.020.040.060.080.10081624320.000.020.040.060.080.1008162432達(dá)朗貝爾公式的物理意義達(dá)朗貝爾公式的物理意義觀察者在觀察者在 t=0 時(shí)刻時(shí)刻，在在位置位置x=D 看到的波形為看到的波形為觀察者以速度觀察者以速度a沿沿x軸正向移動(dòng)軸正向移動(dòng)觀察者在觀察者在移動(dòng)移動(dòng)t 時(shí)間后時(shí)間后，到達(dá)到達(dá)位置位置x=D+at ，看到的波形為，看到的波形為)()(22Dfatxf)()()(222

9、DfatatDfatxf觀察者在移動(dòng)中任意時(shí)刻觀察者在移動(dòng)中任意時(shí)刻 t 看到的波形相同，看到的波形相同，波形跟觀察者一樣以速度波形跟觀察者一樣以速度 a 沿沿 x 軸正向移動(dòng)軸正向移動(dòng) 0 D D+at x 結(jié)論：結(jié)論： 表示以速度表示以速度a沿沿x軸正向運(yùn)動(dòng)的行波軸正向運(yùn)動(dòng)的行波)(2atxf)(2atxf深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通解：通解：)()(),(21atxfatxftxu （反行波）（反行波） （正行波）（正行波）t=t1t=t2波動(dòng)方程的通解是正行波和反行波的疊加波動(dòng)方程的通解是正行波和反行波的疊加xxu(x,t)1f1f2f2f2f1ft=0 x深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院t

10、ax 0 xfttax 0 xft右傳播波右傳播波)(2taxf 左傳播波左傳播波)(1taxf 深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院atxatxXXaatxatxtxud)(21)()(21),(特解：特解：在初始速度為零情況下：在初始速度為零情況下：特解是特解是( (波形相同的波形相同的) )正行波和反行波的疊加。正行波和反行波的疊加。但在初始速度不為零的情況下，特解包含正、反行但在初始速度不為零的情況下，特解包含正、反行波及波及“干涉項(xiàng)干涉項(xiàng)” ” ，后者的出現(xiàn)能使波形發(fā)后者的出現(xiàn)能使波形發(fā)生畸變（甚至變成單個(gè)的行波）。生畸變（甚至變成單個(gè)的行波）。)()(21),(atxatxtxuatxatx

11、XX d)(深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)(2,)(220022222xaxetueuxxuatuxtxt22222222)()()()(221212121221atxatxatxatxatxatxXatxatxXatxatxXatxatxXeeeeeXdedXXedXaXeadXaXeaeetxuatxatxXatxatx22222121),()()(2)(),(atxetxu物理意義：特解是以物理意義：特解是以速度速度a、沿沿 x軸正向傳軸正向傳播的高斯波包播的高斯波包波動(dòng)方程的一個(gè)特解: 高斯波包深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院1.1.孤立波服從非線性波動(dòng)方程孤立波服從非線性波動(dòng)方程 2.2.它

12、的解是雙曲正割函數(shù)：它的解是雙曲正割函數(shù)：3.3.孤立波是沿孤立波是沿 x 軸正向傳軸正向傳 播的波包播的波包4.4.在介質(zhì)中傳播不損失能量在介質(zhì)中傳播不損失能量 * *激光器，激光器，* *光纖通訊光纖通訊, , * *細(xì)胞通訊細(xì)胞通訊 aatxEtxEsech),(0 任意位置任意位置 x 的波形的波形ax/uusin20E 0 t孤立波（Soliton）:深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院sinh xcosh xx11sinhcosh22xx2coshxxeex2sinhxxeexxxeexxh2cosh1)(sec-6-4-202460.00.20.40.60.81.01.2xSech(x)深

13、圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院孤立子脈沖的時(shí)間積分孤立子脈沖的時(shí)間積分( (脈沖面積脈沖面積) )給出它在空間任給出它在空間任意位置意位置z的能量：的能量： 這意味著孤立子脈沖在空間傳播時(shí)，其能量與空間位這意味著孤立子脈沖在空間傳播時(shí)，其能量與空間位置置z沒有關(guān)系，即在任意位置孤立子脈沖具有相同的能沒有關(guān)系，即在任意位置孤立子脈沖具有相同的能量量( (能量守恒能量守恒) )。換言之，孤立子在介質(zhì)中傳播時(shí)不損。換言之，孤立子在介質(zhì)中傳播時(shí)不損失它的能量。失它的能量。這是由于這是由于sechsech波形所決定的。波形所決定的。E2sinharctansech),(00 xEdtUztEdttzE孤立子傳

14、播不損失能量深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院面積為面積為2 2 的孤立子光脈沖進(jìn)入介質(zhì)之初，原子處于低能態(tài)。孤的孤立子光脈沖進(jìn)入介質(zhì)之初，原子處于低能態(tài)。孤立子通過介質(zhì)時(shí)將原子從低能態(tài)激發(fā)到高能態(tài)，在這個(gè)過程中立子通過介質(zhì)時(shí)將原子從低能態(tài)激發(fā)到高能態(tài)，在這個(gè)過程中孤立子失去了一定的能量；隨后當(dāng)孤立子離開介質(zhì)時(shí)，高能態(tài)孤立子失去了一定的能量；隨后當(dāng)孤立子離開介質(zhì)時(shí)，高能態(tài)的原子躍遷回低能態(tài)又將等量的能量的原子躍遷回低能態(tài)又將等量的能量“退還退還”給孤立子。這樣給孤立子。這樣孤立子在穿過介質(zhì)的全過程中沒有將自身的能量消耗在原子系孤立子在穿過介質(zhì)的全過程中沒有將自身的能量消耗在原子系統(tǒng)中。所以孤立子脈沖是

15、一個(gè)所謂的統(tǒng)中。所以孤立子脈沖是一個(gè)所謂的“自感應(yīng)透明自感應(yīng)透明”脈沖脈沖（介（介質(zhì)對(duì)孤立子是質(zhì)對(duì)孤立子是”透明透明“的）。的）。 物理機(jī)制深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 依賴區(qū)間依賴區(qū)間 決定區(qū)域決定區(qū)域 影響區(qū)域影響區(qū)域 特征方程特征方程 特征線特征線 特征變換特征變換 特征線法特征線法達(dá)朗貝爾公式的進(jìn)一步討論達(dá)朗貝爾公式的進(jìn)一步討論深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院atxatxdXXaatxatxtxu)(21)()(21),(達(dá)朗貝爾公式中的積分值只依賴于初始速度達(dá)朗貝爾公式中的積分值只依賴于初始速度 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的變化行為，這意味著特解內(nèi)的變化行為，這意味著特解 u(x,t) 只依賴只依賴于

16、該區(qū)間的初始條件，而與其他點(diǎn)上的初始條件無關(guān)。這于該區(qū)間的初始條件，而與其他點(diǎn)上的初始條件無關(guān)。這個(gè)區(qū)間被稱為點(diǎn)個(gè)區(qū)間被稱為點(diǎn)(x,t)的的依賴區(qū)間依賴區(qū)間。下面我們考察這個(gè)區(qū)間的邊界下面我們考察這個(gè)區(qū)間的邊界，為此，設(shè)，為此，設(shè) X 是該區(qū)間內(nèi)是該區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)的任意一點(diǎn), , 則則設(shè)設(shè) X 的最小值為的最小值為X1, ,最大值為最大值為X2，則區(qū)間的邊界為，則區(qū)間的邊界為: :atxatx,atxXatx21,XatxXatx)(X特解依賴初始條件的區(qū)間深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院21,XatxXatxaXaxtaXaxt21aXaX12tx 決定區(qū)域決定區(qū)域( (二直線與二直線與t =

17、0圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域) )aXaxtaXaxt21,在在 t-x 平面上，平面上， 是斜率為是斜率為 的兩條直線的兩條直線a121XX依賴區(qū)間依賴區(qū)間(t = 0)決定區(qū)域決定區(qū)域(t 0)0決定區(qū)域:依賴區(qū)間atxatx,深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院決定區(qū)域決定區(qū)域1X2X),(txxt0依賴區(qū)間依賴區(qū)間taXx2taXx10 t 上圖所示的三角形區(qū)域中的任意一點(diǎn)上圖所示的三角形區(qū)域中的任意一點(diǎn)（x，t）的依賴區(qū)間，的依賴區(qū)間，都落在了區(qū)間都落在了區(qū)間X1,X2 上，因此求解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值，上，因此求解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值，完全由區(qū)間完全由區(qū)間 X1,X2上的初始條件決定，而與此區(qū)

18、間外的初始條上的初始條件決定，而與此區(qū)間外的初始條件無關(guān)。在這個(gè)區(qū)間上給定初始條件，就可以在其確定的區(qū)域件無關(guān)。在這個(gè)區(qū)間上給定初始條件，就可以在其確定的區(qū)域中確定初始值問題的解，這就是被稱為中確定初始值問題的解，這就是被稱為決定區(qū)域決定區(qū)域的由來。的由來。這個(gè)三角形區(qū)域稱為區(qū)間X1,X2的決定區(qū)域。深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院aXaX12ttxx經(jīng)過經(jīng)過 t 時(shí)間后時(shí)間后, ,任意點(diǎn)任意點(diǎn) x 的變化范圍是的變化范圍是 21XX依賴區(qū)間依賴區(qū)間決定區(qū)域決定區(qū)域21XxXatXxatX21atXx1atXx2( (二直線與二直線與t = 0圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域) )影響區(qū)域影響區(qū)域21XX00正

19、行波正行波在在t = 0時(shí)刻，依賴區(qū)間上任意點(diǎn)時(shí)刻，依賴區(qū)間上任意點(diǎn)x的變化范圍是的變化范圍是反行波反行波aXaxtaXaxt21影響區(qū)域:深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院影響區(qū)域影響區(qū)域1X2Xxt0taXx1t aXx20 t 若過若過X1、X2分別作直線分別作直線 ，則經(jīng)歷時(shí)間，則經(jīng)歷時(shí)間t之之后，在區(qū)間后，在區(qū)間X1,X2上受到的初始擾動(dòng)影響的區(qū)域?yàn)樯鲜艿降某跏紨_動(dòng)影響的區(qū)域?yàn)閠aXxtaXx21,)0(21ttaXxtaX在此區(qū)域之外的波動(dòng)，則不受在此區(qū)域之外的波動(dòng)，則不受X1,X2上初始擾動(dòng)的影響，稱上初始擾動(dòng)的影響，稱t-x 平面上，由上述不等式所確定的區(qū)域，為平面上，由上述不等式所確

20、定的區(qū)域，為 X1,X2的的影響區(qū)域影響區(qū)域。深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院21,XatxXatx)()(2112122XCCatxCatxXCCatxtx特征線特征線: :兩族直線兩族直線aXaxtaXaxt21,在在 t-x 平面上，平面上， 是斜率為是斜率為 的兩條直線的兩條直線a10特征線深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 從上面的討論中可以看出，在從上面的討論中可以看出，在 平面上，斜率為平面上，斜率為 的的兩族直線兩族直線, , 對(duì)一維波動(dòng)方程：對(duì)一維波動(dòng)方程：xta1 22222xuatu 的研究起著重要的作用，我們稱這兩族直線為上述一維波動(dòng)方程的研究起著重要的作用，我們稱這兩族直線為上述一

21、維波動(dòng)方程的的特征線特征線。 因?yàn)樵谔卣骶€因?yàn)樵谔卣骶€ 上，右行波上，右行波 的振幅取常數(shù)值的振幅取常數(shù)值 ；2Ctax )(22taxfu )(22Cf1Ctax )(11taxfu )(11Cf 因?yàn)樵谔卣骶€因?yàn)樵谔卣骶€ 上，左行波上，左行波 的振幅取常數(shù)值的振幅取常數(shù)值 ,且這兩個(gè)數(shù)值，隨特征線的移動(dòng)（即常數(shù)且這兩個(gè)數(shù)值，隨特征線的移動(dòng)（即常數(shù) 的改變）而變化。所以，的改變）而變化。所以，)2 , 1( iCi波動(dòng)波動(dòng)實(shí)際上是沿特征線傳播的。變換實(shí)際上是沿特征線傳播的。變換 常稱為常稱為特征變特征變換換，行波法又常稱為，行波法又常稱為特征特征線法線法。 atxatx 特征線特征線:兩族直

22、線兩族直線深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院21CatxCatxatxatx,21, CC是常數(shù)是常數(shù) 是變量是變量特征線 特征變換波動(dòng)波動(dòng)實(shí)際上是沿特征線傳播的。變換實(shí)際上是沿特征線傳播的。變換 常稱常稱為為特征變換特征變換，行波法又常稱為，行波法又常稱為特征特征線法線法。 atxatx 深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院22222xuatu0)()(222dtadx21CatxCatxatxatx02u原方程：原方程：特征方程：特征方程：特征線：特征線：特征變換：特征變換：簡化方程：簡化方程：結(jié)論：只要結(jié)論：只要找到特征方找到特征方程就可以將程就可以將原方程化簡原方程化簡)()(21ffu結(jié)論深圳大學(xué)電子

23、科學(xué)與技術(shù)學(xué)院需要注意：需要注意：常數(shù)常數(shù)它的兩族特征線：它的兩族特征線： tax 正好是常微分方程正好是常微分方程 的積分曲線，這個(gè)常微分方程，的積分曲線，這個(gè)常微分方程，稱之為一維波動(dòng)方程的特征方程。對(duì)于更一般的二階線性偏微分方程稱之為一維波動(dòng)方程的特征方程。對(duì)于更一般的二階線性偏微分方程0)()(222 tdaxd對(duì)于一維波動(dòng)方程：22222xuatu 來說，它的特征方程為來說，它的特征方程為0222222 uFyuExuDyuCyxuBxuA)12. 3(0)(2)(22 xdCydxdBydA)13. 3(這個(gè)常微分方程的積分曲線，稱為偏微分方程（這個(gè)常微分方程的積分曲線，稱為偏微分

24、方程（3.12）的特征曲線。）的特征曲線。二階線二階線性偏微分方程的特征曲線，僅與該方程中的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)，而與其低性偏微分方程的特征曲線，僅與該方程中的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)，而與其低階項(xiàng)的系數(shù)無關(guān)。階項(xiàng)的系數(shù)無關(guān)。 需要注意的是，并不是任意一個(gè)二階線性偏微分方程（需要注意的是，并不是任意一個(gè)二階線性偏微分方程（3.12）都有兩族實(shí)的）都有兩族實(shí)的特征線。特征線。深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院則在此區(qū)域內(nèi)，稱（則在此區(qū)域內(nèi)，稱（3.12）為雙曲型方程，波動(dòng)方程屬于雙曲型）為雙曲型方程，波動(dòng)方程屬于雙曲型 方程。方程。,02 ACB 則在此區(qū)域內(nèi)，稱（則在此區(qū)域內(nèi)，稱（3.12）為拋物線型方程

25、，熱傳導(dǎo)方程屬于拋物）為拋物線型方程，熱傳導(dǎo)方程屬于拋物 線型方程；線型方程；,02 ACB 則通過此區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)才有兩條相異的實(shí)的特征線；則通過此區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)才有兩條相異的實(shí)的特征線； 需要注意的是，并不是任意一個(gè)二階線性偏微分方程（需要注意的是，并不是任意一個(gè)二階線性偏微分方程（3.12）都有兩族實(shí)的特征）都有兩族實(shí)的特征線。例如，線。例如，若在某一區(qū)域內(nèi)若在某一區(qū)域內(nèi) 則通過此區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)都不存在實(shí)的特征線；則通過此區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)都不存在實(shí)的特征線；,02 ACB,02 ACB 則通過此區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)僅有一條實(shí)的特征線；則通過此區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)僅有一條實(shí)的特征線；,02 ACB022

26、2222 uFyuExuDyuCyxuBxuA)12. 3(若在某區(qū)域內(nèi)若在某區(qū)域內(nèi) 則在此區(qū)域內(nèi)，稱（則在此區(qū)域內(nèi)，稱（3.12）為橢圓形方程，拉普拉斯方程、泊松方）為橢圓形方程，拉普拉斯方程、泊松方 程，均屬于橢圓形方程；程，均屬于橢圓形方程；,02 ACB深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院),(22222txfxuatu),(222222yxfFuyuExuDyuCyxuBxuAACB 2 0 （雙曲型）（雙曲型） 如如一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程 =0 （拋物線型）（拋物線型） 如如一維熱傳導(dǎo)方程一維熱傳導(dǎo)方程 0 （橢圓型）（橢圓型） 如如二維拉氏方程二維拉氏方程 ),(222txfxuatu0

27、2222yuxuFyExDyCyxBxA222222L),(yxfu L二階線性偏微分方程: 通式和分類通式和分類深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0222222FuyuExuDyuCyxuBxuA)0(2 ACB0)(2)(22dxCBdxdydyAAACBBdxdyAACBBdxdy22 特征方程：特征方程：結(jié)論 (一般情況)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)0(2 ACB0)(2)(22dxCBdxdydyA2212CxAACBByCxAACBBy特征線：特征線：022ufueudub注：只有雙曲方程有注：只有雙曲方程有特征線特征線xAACBByxAACBBy22特征變換：特征變換：簡化方程：簡化方程

28、：在在A、B、C均為常數(shù)時(shí)：均為常數(shù)時(shí)：AACBBdxdyAACBBdxdy22深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 無論（無論（3.12）為哪一種類型的方程，一般情況都可以通過）為哪一種類型的方程，一般情況都可以通過適當(dāng)?shù)淖宰兞恐g的代換，將其化簡為所謂的標(biāo)準(zhǔn)形式。適當(dāng)?shù)淖宰兞恐g的代換，將其化簡為所謂的標(biāo)準(zhǔn)形式。 下面舉例說明，如何通過將一維波動(dòng)方程化簡，來求其定下面舉例說明，如何通過將一維波動(dòng)方程化簡，來求其定解問題。解問題。深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)12. 3(0222222 uFyuExuDyuCyxuBxuA)13. 3(0)(2)(22 dxCdydxBdyA0)()(222 dxtda

29、22222xuatu 022222 tuxua0)()(222 tdadx順順序序排排列列；、交交叉叉項(xiàng)項(xiàng)將將原原方方程程按按照照yxyx. 1位位置置不不變變但但反反號(hào)號(hào)；交交叉叉項(xiàng)項(xiàng) xy字字母母位位置置交交換換，與與盡盡管管特特征征方方程程中中的的yx. 3順順序序排排列列；、交交叉叉項(xiàng)項(xiàng)特特征征方方程程按按照照xxyy. 2變變。但但對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的系系數(shù)數(shù)、符符號(hào)號(hào)不不（習(xí)習(xí)慣慣寫寫法法）其其特特征征方方程程為為：難點(diǎn)：其其特特征征方方程程為為：特特征征方方程程的的寫寫法法:一一例例:二二例例深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院練習(xí)一：練習(xí)一：0cos)(cossin2222222 yuxyuxy

30、xuxxu求解求解0)()(cossin2)(222 dxxdyxdxdy0)()sin(22 dxxdxdy0)sin)(sin( dxxdxdydxxdxdy1cos1sinCxxyxdxdy 2cos1sinCxxyxdxdy yxx cos 令令yxx cos 02u原方程被變換為標(biāo)準(zhǔn)型解解：特特征征方方程程為為因因此此有有.)1cossin()()(cossin2)()1(sin)(sin2)()()(sinsin2)()()sin(2222222222222 xxdxxxdxdydyxdxxdxdydydxxdxxdxdydydxxdxdy其中，利用了：其中，利用了：證明：證明：其

31、通解為：其通解為：)()(),(21 ffu )(cos)(cos21yxxfyxxf 0) 1(sin) 1(sin0)(1)(sin1(sinsin2)(0)(1(sinsin2)(22222dxxdydxxdydxxxdyxdxdydxxdyxdxdy或者：深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院上述偏微分方程的特征方程上述偏微分方程的特征方程0)(2ydxdyd0 yd0 xdyd積分，得到兩族積分曲線（特征曲線）為積分，得到兩族積分曲線（特征曲線）為1Cy 2Cyx 0222 yxuxu0)( dxdydy對(duì)特征方程行因式分解，得對(duì)特征方程行因式分解，得出特征方程依據(jù)特征方程的定義寫（ ) 1順順

32、序序排排列列；、交交叉叉項(xiàng)項(xiàng)將將原原方方程程按按照照yxyx. 1位位置置不不變變但但反反號(hào)號(hào)；交交叉叉項(xiàng)項(xiàng) xy字字母母位位置置交交換換，與與盡盡管管特特征征方方程程中中的的yx. 3順順序序排排列列；、交交叉叉項(xiàng)項(xiàng)特特征征方方程程按按照照xxyy. 2變變。但但對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的系系數(shù)數(shù)、符符號(hào)號(hào)不不練習(xí)二：練習(xí)二：（2）得到特征變換為）得到特征變換為y yx （3）通解為）通解為)()(),(21 ffu )()(21yxfyf 試寫出下列方程的通解試寫出下列方程的通解深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院例例1 求下面柯西問題的解：求下面柯西問題的解：0)(32)(22 xdydxdyd xyyuyxu

33、xu,0,03222222 xyuxuyy,0,3020解解 泛定方程所對(duì)應(yīng)的特征方程為泛定方程所對(duì)應(yīng)的特征方程為特征曲線（兩族積分曲線）為特征曲線（兩族積分曲線）為13Cyx 2Cyx 作特征變換作特征變換)14. 3()15. 3( yxyx 3)16. 3(被被轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型于于是是，經(jīng)經(jīng)過過變變換換原原方方程程（驗(yàn)驗(yàn)證證過過程程附附后后）02 u). 3( 順順序序排排列列；、交交叉叉項(xiàng)項(xiàng)將將原原方方程程按按照照yxyx. 1位位置置不不變變但但反反號(hào)號(hào)；交交叉叉項(xiàng)項(xiàng) xy字字母母位位置置交交換換，與與盡盡管管特特征征方方程程中中的的yx. 3順順序序排排列列；、交交叉叉項(xiàng)項(xiàng)

34、特特征征方方程程按按照照xxyy. 2變變。但但對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的系系數(shù)數(shù)、符符號(hào)號(hào)不不深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院驗(yàn)證驗(yàn)證xuxuxu yuyuyu 2222222222222)(2)(xuxuxuxxuxuxu yxuyxuyxuxyyxuyxuyxu 22222222)()(2222222222222)(2)(yuyuyuyyuyuyu 將上述結(jié)果代入原方程中將上述結(jié)果代入原方程中 xyyuyxuxu,0,0322222222222222222)(2)(xuxuxuxxuxu yxuyxuyxuxyyxuyxu 222222222)(2)(22033)(36)(322222222222 yuyu

35、yuyyuyu 同時(shí)，考慮到同時(shí)，考慮到 yxyx 3則有則有1,3 yx 1,1 yx 于是，原方程變換成于是，原方程變換成事實(shí)上可依據(jù)事實(shí)上可依據(jù)Jacobi行列式行列式還有還有02 u). 3( 深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院02 u)()(21 ffu 其中其中 是兩個(gè)任意二次連續(xù)可微的函數(shù)。這樣，原方程的通解為是兩個(gè)任意二次連續(xù)可微的函數(shù)。這樣，原方程的通解為21, ff xyuxuyy,0,3020)()3(21yxfyxfu )17. 3( xyyuyxuxu,0,03222222（原原泛泛定定方方程程） yxyx 3（通通過過變變換換）（化化成成了了標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型）件件：將將原原定定

36、解解問問題題的的初初始始條條），得得分分別別代代入入（ 3.17 2213)()3(xxfxf )18. 3(0)()3(21xfxf)19. 3(Cxfxf )()3(3121)20. 3(）式式積積分分一一次次，得得將將（3.19。與與函函數(shù)數(shù)）聯(lián)聯(lián)立立，從從而而求求出出：（）與與顯顯然然，可可以以由由（213.203.18ff). 3( 關(guān)關(guān)注注從從這這里里開開始始）的的通通解解為為：（請(qǐng)請(qǐng)密密切切標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型（ 3.深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院Cxxf 21)3(41)3(Cxxf 2243)( Cxxf 2149)3(Cxxf 2243)( 2213)()3(xxfxf )18. 3(

37、Cxfxf )()3(3121)20. 3(），得得到到）、（聯(lián)聯(lián)立立求求解解（3.203.18上上述述結(jié)結(jié)果果，可可以以改改寫寫為為)()3(21yxfyxfu )17. 3(Cxxf 2141)(Cxxf 2243)( 注意：這里括號(hào)內(nèi)僅注意：這里括號(hào)內(nèi)僅表示自變量！而不是表示自變量！而不是具體函數(shù)！具體函數(shù)！）式式入入到到（將將改改寫寫的的最最后后結(jié)結(jié)果果，代代3.17代回原來的自變量，從而得到所求的解為代回原來的自變量，從而得到所求的解為22223)(43)3(41),(yxyxyxyxu （剖剖析析附附后后）替替換換，于于是是得得到到、分分別別以以，將將上上式式中中的的變變量量)()3(yxyxx 深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)()(),(21 ffu 022222 xuatu標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型的的通通解解為為（原原泛泛定定方方程程）02 u taxtax （通通過過特特征征變變換換）（化化成成了了標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型）)()(),(21taxftaxfyxu 原原方方程程的的通通解解為為其其逆逆變變換換為為則則有有關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)關(guān)關(guān)系系atxatx ,令令atx2,2 ),()2,2(),(uautxu的通解出發(fā)的通解出發(fā)從標(biāo)準(zhǔn)型方程從標(biāo)準(zhǔn)型方程代入特征變換代入特征變換捆綁初始條件捆綁初始條