構(gòu)造函數(shù)法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、構(gòu)造輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘要：證明等式和不等式是高等數(shù)學(xué)中的常見問題，證明方法也多種多樣。論文通過幾個(gè)例子，從研究題目的條件和結(jié)論人手，巧妙構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)進(jìn)行解題，既能簡化證明，又能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。構(gòu)造輔助函數(shù)是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)很好的工具，輔助函數(shù)是使問題轉(zhuǎn)化的橋梁， 通過恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造輔助函數(shù)可以幫助我們解決很多數(shù)學(xué)問題，使問題簡單化，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是多種多樣的，有時(shí)需要巧妙的靈活運(yùn)用，構(gòu)造輔助函數(shù)法還需要進(jìn)一步探索和總結(jié)如何構(gòu)造輔助函數(shù)是高等數(shù)學(xué)解題中的難點(diǎn)，看似無章可循，但仔細(xì)研究不失基本方法和一般規(guī)律文章通過詳盡的實(shí)例講明了輔助函數(shù)在中值問題不等式恒等式函數(shù)求極限討論方

2、程 的根及計(jì)算積分求函數(shù)值中的運(yùn)用關(guān)鍵詞：構(gòu)造輔助函數(shù)；中值定理；恒等式與不等式；在解題過程中，如果用思維定勢來探求解題途徑比較困難時(shí)，我們不妨換一下思維角度，從問題的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)與問題相關(guān)的輔助函數(shù)，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使問題得到證明。本文通過對(duì)高等數(shù)學(xué)中中值問題、不等式的證明、 恒等式的證明、函數(shù)求極限問題、討論方程的根及計(jì)算積分求函數(shù)值這幾類問題，應(yīng)用構(gòu)造輔助函數(shù)進(jìn)行求解，從不同題型總結(jié)歸納了輔助函數(shù)的思想和具體的方法一、有關(guān)中值定理命題的證明的應(yīng)用1.1構(gòu)造輔助函數(shù)證明中值存在性問題設(shè)f x , g x在a,b連續(xù)，在 a,b可導(dǎo)。fa f b 0而 x a,b , g x

3、0證明至少存在一點(diǎn)a,b使f' g g' f分析：由于所證命題含有導(dǎo)數(shù)形式，我們大膽猜想它積分后的形式。為此我們分下面幾步走：（一）將結(jié)論化為f'xgx g'xfx2.1 f'xgx g' x f x（二）移項(xiàng)并同時(shí)除以 g x 得： 2國0g x（三）求積分，并令之為 F xx f' t g t g't f t . f x f a f xF x 2dt 0 g tg x g a g x則F x就是我們要找的輔助函數(shù)。證明由于f x , g x在a,b連續(xù)，在 a,b可導(dǎo)且fa f b 0則Fx在a,b滿足羅爾中值定理，存在a,b

4、 ，使得 F' 0 即 f一g-#一f- 0 也即 gf'g' f 即為所證二、在證明不等式中的應(yīng)用1.2構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式1.2.1 構(gòu)造輔助函數(shù)用單調(diào)性證明不等式構(gòu)造輔助函數(shù)的方法靈活多變，不同的知識(shí)段有著不同的技巧和方法，用函數(shù)單調(diào)性證明不等式常用的方法有：(1)用不等式兩邊“求差”構(gòu)造輔助函數(shù).(2)用不等式兩邊適當(dāng)“求 商”構(gòu)造輔助函數(shù).(3)根據(jù)不等式兩邊結(jié)構(gòu)，構(gòu)造“形似”輔助函數(shù).(4)如果不等式中涉及到哥指函數(shù)形式，則可通過取對(duì)數(shù)將其化為易于證明的形式，再根據(jù)具體情況由以上所列方法構(gòu)造輔助函數(shù) 設(shè) x 0，1 ,證明(1 x)ln2(1 x) x2分

5、析：利用“求差”構(gòu)造輔助函數(shù)F (x) (1 x) ln2 (1 x) x2,再根據(jù)F (x)在區(qū)間(0,1) 的單調(diào)性證明之。證明 令 F (x) (1 x)ln2(1 x) x2 ,則 F'(x)In2(1 x) 21n (1 x) 2xF"(x) ln (1 x) x1 x1xg (x) In(1x)x,則g'(x) 1 0 x 0,1，所以g(x)在 x(0，1)單1 x 1 x調(diào)遞減，從而g (x)g (0) 0, F"(x) 0;F'(x)在x (0,1)單調(diào)遞減，從而F'(x)F'(0) 0,所以 F(x)在 x (0，

6、1)單調(diào)遞減，F(xiàn)(x) F(0) 0,故(1 x) In2 (1 x) x21.1 .2構(gòu)造輔助函數(shù)用拉格朗日定理證明不等式對(duì)于一些不等式，我們觀察它的形式，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，我們可以?gòu)造出輔助函數(shù)F (x) , F (x)能夠滿足拉格朗日中值定理b a , b b a1.2 ,其中 0 a b；b a ab .b aba分析：In In b 1na,不等式 In b In a (0 a b) , b a 0 故可aba將原不等式恒等變形為11nblna。觀察此不等式，我們可以發(fā)現(xiàn)中間式子符合拉格b baa朗日中值公式的形式，故我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)F (x) 1nx, x a,

7、ba, b使得證明：令 F (x) In x由拉格朗日中值定理?xiàng)l件，可知至少存在一點(diǎn)F'(x)F(b)-F(a)b a F'(b,1 -一 1 因此有一In bIn a 1ba a,b b aIn a a1.2.3構(gòu)造輔助函數(shù)用最大值(或最小值)證明不等式對(duì)于某些函數(shù)不等式，若F'(x)在a,b變號(hào)時(shí)，不易有函數(shù)單調(diào)性證明，此時(shí)可考慮用最值進(jìn)行證明。證明：當(dāng)x 1時(shí)，ex分析：將不等式改寫成1 xex 1(x 1)。作輔助函數(shù)f xx ex,只要證明f x的最大值為1或小于1即可。證明：令fex,貝U f' xxxe0, x0, x0,0x 1.所以，函數(shù)的極大

8、值也即最大值為xf 01 (x1)1即ex 1 x三、在證明恒等式中的應(yīng)用1.3 構(gòu)造輔助函數(shù)證明恒等式證明：當(dāng) 1 x 1時(shí)，arcsin x, xarctan21 x分析：可將等式 arcsin x arctan 一1x 、.變形為 arcsin x arctan2xx函數(shù)F (x)arcsin x arctan,觀察等式的右邊為常數(shù)0,即要證明此復(fù)合函數(shù)1 ；為常數(shù)函數(shù)，只須證明函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零即可。證明恒等式 F(x) Co的一般步驟是先對(duì)F(x)求導(dǎo)，得到F'(x) 0,從而說明函數(shù)F(x)是一個(gè)常數(shù)，即F(x) c,然后代入特殊值Xo ,求出c Co °x 一.

9、證明 令 F (x) arcsin x arctan .,貝U21 xF'(x)1 x2111 x21 x20所以 F(x) c ( 1 x 1)。又 F(0) 0,則 c 0,因此 F(x) 0,即, xarcsin x arctan12. 1 x在用輔助函數(shù)證明恒等式時(shí)， 恒等式一般由函數(shù)和常數(shù)構(gòu)成， 或者等式兩邊都是函數(shù)， 我們 可以把常數(shù)或函數(shù)式移到一邊得到輔助函數(shù)，對(duì)輔助函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)， 導(dǎo)數(shù)為零，再在定義域取一特殊值代入輔助函數(shù)，值為零即可。也可以分別對(duì)等式兩邊的函數(shù)分別求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)相等，且在定義域能找到一特殊值，使得函數(shù)值相等也可證明出恒等式1.4構(gòu)造輔助函數(shù)求極限求 li

10、m n. nn1 In x解：作輔助函數(shù)f x xx ,則f x e xIn xIn x1limlim0lim f x lim exexxex x e 1xx故 lim n n lim f n 1 nn1.5構(gòu)造輔助函數(shù)討論方程的根討論方程根的題目，主要有兩類，一類是結(jié)合閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理去思考，解方程F(x) 0,實(shí)質(zhì)上是求函數(shù) F(x) 0的零點(diǎn)，關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的問題一般是利用連續(xù)的性質(zhì)及微分中值定理來解決.另一類是在已知函數(shù)的基礎(chǔ)上論證導(dǎo)函數(shù)方程根的情況，此時(shí)就要考慮羅爾定理了.試證方程«1 f4dt p t dt 0 有且僅有一個(gè)實(shí)根0cos x e ，、 x =40一

11、分析 引入輔助函數(shù)F (x)、：1 t dt ptdt 00cosx e證明一個(gè)方程有且僅有一個(gè)實(shí)根可轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)f (x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，證明需考慮兩點(diǎn)，一是利用零點(diǎn)定理說明函數(shù)F(x) 0至少有一個(gè)零點(diǎn)，二是利用單調(diào)性或反證法說明函數(shù)F(x) 0只有一個(gè)零點(diǎn)。 x .0.2證明令 F (x)：1 t dtetdt 00cosx e0212由 f (0)1 etdt oe tdt 0, f(-):qi t4dt 0 由零點(diǎn)定理可知，F(xiàn)(x)在0,一 至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程至少有一個(gè)實(shí)根。2 2又 F'(x)1 x4 ecosxsinx 0F(x)在(，)單調(diào)上升，所以F(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，即原方程只有一個(gè)實(shí)根1.6構(gòu)造輔助函數(shù)計(jì)算積分及求函數(shù)值參考文獻(xiàn)：高等數(shù)學(xué)典型例題法與解法上高等數(shù)學(xué)中的典型問題與解法構(gòu)造輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用淺析構(gòu)造思想在高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用構(gòu)造輔助函數(shù)法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用盧蓮芬輔助函數(shù)的應(yīng)用 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)勇。高等數(shù)學(xué)中