wilson法和newmark法的理論過程

1、第三章 離散化結(jié)構(gòu)動力方程的解法 (2013.4.24）§3.1 緒 言對于一個實際結(jié)構(gòu)，由有限元法離散化處理后，應用瞬時最小勢能原理可導出動力方程 （3.1）這里，、及分別表示加速度、速度、位移及所作用的外力矢量，他們都是與時間有關的。從數(shù)學的角度來看，式（3.1）是一個常系數(shù)的二階線性常微分方程組，對于它的求解原則上并無困難。但是，由于、和的階數(shù)非常高，使得式（3.1）的求解必須花費很大的代價，便促使人們?nèi)で笠恍┬矢叩慕朴嬎惴椒?。目前，用于求解式?.1）的方法，大致可分為兩大類。一是坐標變換法，它是對結(jié)構(gòu)動力方程式（3.1），在求解之前，進行模態(tài)坐標變換，實際上就是一種R

2、itz變換，即把原物理空間的動力方程變換到模態(tài)空間中去求解?，F(xiàn)在，普遍使用的方法是模態(tài)（振型）迭加法，即用結(jié)構(gòu)的前q階實際主模態(tài)集（主振型陣）構(gòu)成坐標變換陣進行變換。通過這一變換，實現(xiàn)降階，求較好的近似解，而且，還用解除耦合的辦法，簡化方程的計算。還有一種所謂假設模態(tài)法，即是用一組假設模態(tài)，構(gòu)成模態(tài)坐標變換陣進行變換，獲得一組降階的而不解耦的模態(tài)基坐標方程。顯然，這種方法的計算精度，取決于所假設的模態(tài)。用Ritz矢量法求解的近似模態(tài)作為假設模態(tài)，可得到滿足要求的精度。二是直接積分法，它是對式（3.1）在求解之前，不進行坐標變換，直接進行數(shù)值積分計算。這種方法的特點是對時域進行離散，將式（3.1

3、）分為各離散時刻的方程，然后，將該時刻的加速度和速度用相鄰時刻的各位移線性組合而成，于是，式（3.1）就化為一個由位移組成的該離散時刻上的響應值，通常又稱為逐步積分法。線性代數(shù)方程組的解法與靜力時刻的位移來線性組合，就導致了各種不同的方法。主要有中央差分法，Houbolt方法，Wilson-法和Newmark方法等。§3.2 模態(tài)（振型）迭加法設有n個自由度的系統(tǒng)，在外力的作用下，常常被激起較低階的一部分模態(tài)（即振型），而絕大部分高階模態(tài)被激起的分量很小，一般可忽略不計。例如，在地震載荷作用下，通常，只有最低的二階，三階模態(tài)起主要作用。所以，對于這樣的一些問題，采用模態(tài)迭加法是有效的

4、。設有式（3.1）的n階動力方程，起主要作用的是其前q階模態(tài)，通常取。按Ritz變換，則可將式（3.1）中的用前q個模態(tài)的線性組合來表示，即 其中，為結(jié)構(gòu)的已知的保留主模態(tài)矩陣，而是維的模態(tài)基坐標矢量，它形成了一個q維的模態(tài)空間。它表示在中，各階主模態(tài)所占有的成分的多少。 假定已用第二章所述的某一方法解出，再將式（3.2）代入（3.1），并左乘以，可得 式中顯然，式（3.3）是一個q階的微分方程組。由于，所以，它比式（3.1）的n階就小的多了，實現(xiàn)了降階，因而也就容易求解多了。 若展開上述的的表達式，根據(jù)主模態(tài)（主振型）關于的表達式，根據(jù)主模態(tài)的（主振型）關于M的正交性質(zhì)，可知所以，是一個對角

5、陣。同理可知也是一個對角陣。然而，在一般的情況下，是一個非對角陣，即在模態(tài)空間中，系統(tǒng)的的阻尼一般是耦合的。因此，式（3.3）是一個完全解耦的動力學方程。但是，它是一個已降階的q階的動力方程，可使用后面即將介紹的直接積分法求解。 當系統(tǒng)的阻尼為比例阻尼時，即可以表示為 則為對角陣。此外，若系統(tǒng)的阻尼是一般的的線性阻尼，并非比例阻尼，但是只要結(jié)構(gòu)的固有頻率不相等，而且不十分接近，則可用舍去陣中的非對角元來實現(xiàn)的對角陣，也不會引起太大的誤差。在上述兩種情況下，可以獲得對于模態(tài)坐標的完全解耦的動力學方程。即式（3.3）是q個獨立的方程，每個方程只包含一個未知量，相互之間不耦合。因而式（3.3）可按單

6、自由度的動力學方程寫為 或 其中。式（3.6）可用直接積分法計算，或用Duhamel積分求得其解為 式中，而，由初始條件 得出的 與決定。 由于有阻尼的存在，由初始條件所激發(fā)的振動，隨時間的增長而衰減以致消失。因此，?？刹挥嬍剑?.7）中的第二項，即是由初始條件激發(fā)的自由衰減振動。計算出后，便可利用式（3.2），計算出物理坐標的響應。數(shù)學計算步驟可歸納如下:第一步：根據(jù)結(jié)構(gòu)的離散化模型，建立系統(tǒng)的以及，并進行結(jié)構(gòu)的固有特性分析，即求解特征值問題 求出前階特征對，（）第二步：形成模態(tài)陣，并建立模態(tài)基坐標下的動力方程其中，而。根據(jù)實驗結(jié)果或經(jīng)驗數(shù)據(jù)確定各階主振動中的比例阻尼。第三步：求解主模態(tài)基坐

7、標的動力方程，有，其中，。第四步：進行坐標變換后，求得動力響應§3.3模態(tài)假設法上節(jié)所述的模態(tài)迭加法，是用系統(tǒng)的真實主模態(tài)組成的模態(tài)矩陣，再對系統(tǒng)的物理坐標進行模態(tài)坐標變換，從而在主模態(tài)空間中得到降階并解耦的動力學方程，這樣來實現(xiàn)簡化計算。而這里提出的假設模態(tài)法，則是用一組假設模態(tài)矩陣，對系統(tǒng)的物理坐標進行模態(tài)坐標轉(zhuǎn)換，從而在模態(tài)空間中得到一組只降階的動力學方程。若令假設模態(tài)矩陣為，而，進行坐標變換，即 (3.10)把它代入式（3.1），并左乘，則可得到降階的動力學方程為 (3.11)其中， , 。它們分別對應于假設模態(tài)坐標的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣與廣義力列陣。因為矩陣中的各列

8、都是假設模態(tài)，它們一般不具有正交性，所以，、和都不是對角陣。于是，方程(3.11)是不能解耦的方程組，但它卻是比式(3.1)的階數(shù)要低得多了。顯然，對式(3.11)采用直接積分法求解，將比對式(3.1)求解要簡便得多。這是假設模態(tài)法的優(yōu)點。假設模態(tài)法的計算精度，很顯然地是取決于假設模態(tài)陣中模態(tài)假設的好壞與質(zhì)量。因此，應用假設模態(tài)法能否成功的關鍵在于確定出一個適宜的假設模態(tài)矩陣。在第五章中，我們介紹了幾種構(gòu)造假設模態(tài)的方法。實際上，在§2.9中介紹的Rayleigh-Ritz分析，可認為是一種假設模態(tài)法。它的作用，在于降低方程的階數(shù)，簡化計算。它的基本思想是，事先假定出若干近似的特征矢

9、量，然后按照這些特征矢量的最佳線性組合，而算得前若干階特征值的近似值。顯然，運用這種方法時，其計算精度與事先假定的特征矢量的近似程度和數(shù)量有關。按照Ritz變換的思想，找到了近似的特征矢量后，即有 (3.12)求解如下的廣義特征值問題，即 (3.13)其中和為原結(jié)構(gòu)離散化之剛度陣和質(zhì)量陣，它們都是階方陣。求解式(3.13)，得到個特征矢量，有再按照Ritz的變換，即式(3.12)，由特征矢量，可計算出矢量，即是 (3.14)現(xiàn)在用來表示此變換陣，它就是我們要構(gòu)造的假設模態(tài)矩陣。§3.4 中心差分法（顯示法）現(xiàn)在開始討論直接積分法，或稱逐步積分法。前面討論的模態(tài)迭加法，并非總是有效的。

10、當剛度矩陣，或質(zhì)量矩陣，或阻尼矩陣出現(xiàn)隨時間變化時，或當外荷載激起的振型太多，需要計算的特征對太大時，就不宜于采用模態(tài)迭加法，在這些情況下，采用逐步積分法是適宜的。中心差分法就是其中的一種。這種方法的特點，是將動力方程在時間域上離散，化成對時間的差分格式，然后根據(jù)初始條件，利用直接積分法逐步求解出一系列時刻上的響應值。假定時，位移、速度和加速度分別為已知的，和。再將求解的時間區(qū)間劃分為個等分，即。我們要建立的積分格式就是從已知的，的解來計算下一個時間步的解。在中心差分法中，是按中心差分將速度和加速度矢量離散化為（3.15）（3.16）于是上面二式，就將時刻的速度和加速度用相鄰時刻的位移來表示了

11、?？紤]在時刻的動力方程，有（3.17）將式（3.15）和（3.16）代入式（3.17）中，得到（3.18）這樣，上式就化為用相鄰時刻的位移表示的代數(shù)方程組。由它可解出。又由于它是利用時刻的方程解得的，所以，它稱為顯示積分。并且，還注意到，在求解時，需要用，的值。于是，在計算開始時，即時，要計算的值、就需要的值，他是未知的，因此，必須有一個啟動的處理，因而這種算法不是自起步的。由于和是已知的，所以，由時的式（3.15）和（3.16），可解得（3.19）使用中心差分法的逐步求解過程如下：A初始計算（1）形成剛度矩陣，質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。（2）給定初始值和。（3）選擇時間步長，并計算積分常數(shù)：，。（

12、4）計算。（5）形成有效質(zhì)量矩陣。（6）三角分解：。B對每個時間步計算（1）計算時刻的有效載荷。（2）求解時刻的位移。（3）如果需要計算時刻的速度和加速度應當指出，這種中央差分算法，左端的系數(shù)矩陣只與質(zhì)量陣和阻尼陣有關，而與剛度陣無關。如果質(zhì)量陣和阻尼陣是對角陣，那么在解方程時，就不需要對系數(shù)陣進行三角分解，即不需要解線性代數(shù)方程組，從第一步開始逐次直接求得各個時刻的值，這是中央差分格式就是一種顯示的格式。此外，由于不求解代數(shù)方程組，也就不需要進行組集，它的右端項的形成也只須在單元一級水平上，由每個單元對有效載荷矢量的貢獻迭加而成。因此，ADINA程序規(guī)定，在用中心差分法時，必須使用對角的質(zhì)量

13、陣和阻尼陣。從計算穩(wěn)定性角度來看，中心差分法的缺點，在于它是條件穩(wěn)定的，即當時間步長太大 時，積分是不穩(wěn)定的。所以，對步長的限制是這里，是臨界步長值，是有限元系統(tǒng)的最小周期。這樣，當很小時，就限制了必須很小，所以求解所花的代價就很大。§3.5 線性加速度法和Wilson-法線性加速度法和Wilson -法，都是屬于逐步積分法。線性加速度法是假定在時間間隔內(nèi)，即在步長時間內(nèi)，加速度呈線性變化，其表達式為（3.20）其中，。但是，這個方法不是無條件穩(wěn)定的，所以在應用上受到限制。70年代初期，Wilson推廣了線性加速度法，他假定在此步長更大的時間區(qū)間內(nèi)，加速度仍保持線性變化，經(jīng)過證明，當

14、時，這一方法是無條件穩(wěn)定的，這就是Wilson -方法。這個方法的加速度表達式為(3.21)式中顯然，對比式（3.20）和式（3.21）得知，線性加速度法是Wilson -法中，當時的一個特例。所以，我們只討論Wilson -法就夠了。在區(qū)間內(nèi)，對式（3.21）進行積分，得到（3.22）和（3.23）令，由上二式，有（3.24）和 （3.25）從這二式，可將時刻的加速度和速度用位移來表示即（3.26）和(3.27)于是，在時刻的動力方程為(3.28)式中，將(3.26)和式(3.27)代入式(3.28)，就得到關于的方程為(3.29)記于是，式(3.29)可寫為(3.30)求解方程(3.30)

15、，則得到將求解得到的，代入(3.26)中，就得到。如在(3.21)中，取，并將式(3.26)代入，有(3.31)將(3.21)代入式(3.22)和(3.23)，并取，有(3.32)(3.33)用法逐步求解的過程如下：A 初始計算（1） 形成剛度矩陣，質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。（2） 給出初始值，和。（3） 選擇時間步長，取，并計算積分常數(shù)，, ， ， ， ， , , （4）形成有效剛度矩陣：（5）對作三角分解：B對每個時間步計算（1）計算時刻的有效載荷 （2）計算時刻的位移 （3）計算時刻的位移，速度和加速度 與中心差分法相比較，Wilson-法是隱式積分，即每計算一步，必須解一個線性代數(shù)方程組。當

16、時，它是無條件穩(wěn)定的。此外，這種算法是自起步的，時刻的位移，速度和加速度都可由時刻的變量表示，不需要特別的起動處理。 §3.6 Newmark方法Newmark在1959年提出的逐步積分格式，故稱為Newmark方法。它的基本假定是 (3.34) (3.35)其中和是按積分的精度和穩(wěn)定性要求可以調(diào)整的參數(shù)。當, 時，它就是線性加速度法，所以，Newmark方法也可以理解為線性加速度法的一個小延伸。Newmark法最初提出作為無條件穩(wěn)定的一種積分格式是常平均加速度法，即假定從到時刻，加速度不變，取為常數(shù)。此時，取, 。 常平均加速度法是應用得最廣泛的逐步積分方法之一。研究表明，當，時，

17、Newmark方法是無條件穩(wěn)定的。從式和可得到， 用及、和表示的表達式，即有 （3.36）和 （3.37）考慮時刻的動力方程，有 （3.38）將式（3.36）和（3.37）代入（3.38），就得到關于的方程為 （3.39）其中求解方程（3.39），就可得到，然后，根據(jù)式（3.36）和式（3.37）可解出和。Newmark方法逐步求解的過程如下：A. 初步計算 （1）形成剛度矩陣，質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。 （2）給定初始值，和 （3）選擇時間步長，參數(shù)和，并計算積分常數(shù)。 （4）形成有效剛度矩陣 （5）對作三角分解： B對每個時間步計算 （1）計算時刻的有效載荷 （2）求解時刻的加速度和速度我們注意

18、到Wilson-法與Newmark法的計算關系式，在形式上是相同的，只是其中的系數(shù)取不同的值而已。因此，它們可用同一計算機程序來實現(xiàn)。§3.7 Houbolt方法這個差分格式是利用、四個時刻上位移的三次插值多項式建立起來的。即假定 （3.40）和 （3.41）這里認為，和是已知的，而是未知的?？紤]時刻的動力方程，有 （3.42）將式（3.40）和（3.41）代入式（3.42）中，就得到求解時刻的方程為 （3.43）由上式解得后，代入式（3.40）和式（3.41）中，便求得了和。這樣，逐步求下去，便可求得任意時刻的動力響應值。應該注意到，這個差分格式不是自起步的，除了利用初始條件，和之外，尚需利用前述的任一種自起步的方法，求得、和后，再利用式（3.40）和式（3.41），即由上二式，可求 、。這樣，利用，和，就