2018版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和理

1、第六章數(shù)列 6.2 等差數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和理基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)ET知識梳理-i.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù) 列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，迪用字母d表示.2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列&的首項(xiàng)為 a,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是an=ai+ (n 1)d.3 .等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a, A b 組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng).4等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+ (nm)d(n,mN*).若an為等差數(shù)列，且k+l=n(k,l,m n N

2、*)，則ak+a=am+an.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d,則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.若an, bn是等差數(shù)列，則pan+ qb也是等差數(shù)列.若an是等差數(shù)列，公差為 d,貝Uak,ak+m,a+2m,(k, m N)是公差為md的等差數(shù)列.數(shù)列Sm,SamSn,$mSm,構(gòu)成等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,其前n項(xiàng)和 $=na；a或S=nai+n_役一d.6 .等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列an是等差數(shù)列？S=An2+Bn(A,B為常數(shù)).7 .等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，ai0,d0,則S存在最大值；若ai0,則$存在最小值.

3、【知識拓展】等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：an+1an=d(d是常數(shù))？an是等差數(shù)列.等差中項(xiàng)法：2an+1=an+an+2(n N)? an是等差數(shù)列.通項(xiàng)公式：an=pn+q(p,q為常數(shù))？an是等差數(shù)列.2前n項(xiàng)和公式：S=Ar2+Bn（A,B為常數(shù)）？a是等差數(shù)列.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉癡”或“x”）（1）若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.（x）等差數(shù)列ar的單調(diào)性是由公差d決定的.（V）等差數(shù)列的前 r 項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為 0 的二次函數(shù).（x）已知等差數(shù)列ar的通項(xiàng)公式 & = 3-2r,則它的公差為一 2

4、.（V）考點(diǎn)自測1.在等差數(shù)列ar中，若a2= 4,a4= 2,貝Ua6等于（）A. - 1 B . 0 C . 1 D . 6答案 B解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6= 2a4a2= 2x2 4 = 0，故選 B.2.（教材改編）設(shè)數(shù)列ar是等差數(shù)列，其前r項(xiàng)和為S,若a6= 2 且 S= 30,則S8等于（）A. 31B. 32C. 33D. 34答案 B廠 2631+5d=2,a1= T，解析由已知可得弋解得5a1+ 10d= 30,.4d =-3，3.（2016全國乙卷）已知等差數(shù)列ar前 9 項(xiàng)的和為 27,a10= 8,貝Ua。等于（）A. 100 B . 99 C . 98 D .

5、 97答案 Ca1+a99x2a5.解析由等差數(shù)列性質(zhì)，知S9=2=2 = 9a5= 27,得a5= 3，而 ao= 8,因此公aa510- 5 =1, a100= ao+ 90d= 98,故選 C.4.設(shè)數(shù)列ar是等差S8= 8a1+8X72d= 32.3數(shù)列，若a3+a4+a5= 12,則a1+a2+-+a?等于（）A. 14 B . 21 C . 28 D . 35答案 C4解析Ta3+a4+ 空=3a4= 12,.a4= 4,.a1+a2+a7= 7a4= 28.5._若等差數(shù)列 an 滿足a7+as+a9Q,a?+a1Q Q，所以as Q.又a?+ae=as+a9 Q, 所以Q 0，

6、當(dāng)n14 時(shí)，anv0.當(dāng)n= 12 或n= 13 時(shí)，S 取得最大值，B. 60D. 90所以a1+a102I ()a3+a82 =10X9245.方法一 設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為日，公差為d,c10X910a1+d=100,則100X99| 100a1+d=10,C 1099a1解得11d=處所以 Se= 110a1+110；109d=_ 110.方法二 因?yàn)镾ooSo=an+a100 X 9U290,典例 2 在等差數(shù)列an中，已知a1= 20,n項(xiàng)和為S，10X20+10X92d=15X20+125且最大值為S12=S13= 12X20+咚尹x1312552523 125=_ n +.6.2

7、24Tn N ,當(dāng)n= 12 或n= 13 時(shí)，S有最大值，且最大值為$2= Si3= 130.方法三 由 So= $5,得an+a12+a13+a14+a15= 0.5a13= 0,即卩a13= 0.當(dāng)n= 12 或n= 13 時(shí)，S 有最大值，且最大值為$2=Si3= 130.課時(shí)作業(yè)課時(shí)作業(yè)1. （2016重慶一診）在數(shù)列an中，an+1an= 2,a2= 5，則an的前 4 項(xiàng)和為（）A. 9B. 22C. 24D. 32答案 C解析 由an+1an= 2,知an為等差數(shù)列且公差d= 2,.由a2= 5,得 a= 3,a3= 7,a4= 9,前 4項(xiàng)和為 3+ 5 + 7+ 9 = 2

8、4,故選 C.2 .九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人 各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）這個(gè)問題中，甲所得為（）5534A.4 錢B.3錢C. 錢 D.3 錢答案 D解析 設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,C 42a1+d= 3a1+ 9d,a1= 3,3依題意有 S53） ,Sn= 100,貝Un的值為（）A. 8B. 915C. 10答案 C解析 由 S1 Si3= 51 ,

9、得an-2+Rn1+dn= 51 ,所以 ai-1= 17,又a2= 3,n a2+an1”Sn=2= 100,解得n= 10.14.在等差數(shù)列an中，a9=2&12+ 6,則數(shù)列an的前 11 項(xiàng)和S1等于()A. 24B. 48C. 66D. 132答案 D1解析 方法一 由a1+ 8d= 2 佝+ 11d) + 6,得a1+ 5d= 12,.a1= 12 5d.11X10又S1= 11a1+2d= 11a1+ 55d=11(12 5d) + 55d= 132.、 1方法二 由a9= a12+ 6，得 2a9a12= 12.55.已知數(shù)列an滿足an+1=an7,且a1= 5，設(shè)an的前n

10、項(xiàng)和為 S，則使得Sn取得最大值的序號n的值為（）A. 7C. 7 或 8答案 C55解析由題意可知數(shù)列是首項(xiàng)為 5，公差為-的等差數(shù)列，所以an= 5 #n 1）=時(shí)，n= 7 或n= 8，故選 C.*6.設(shè)等差數(shù)列an滿足a1= 1,an0（n N），其前n項(xiàng)和為 S,若數(shù)列 S也為等差數(shù)列,n+10則廠的最大值是（）anD. 11由等差數(shù)列的性質(zhì)得,a6+a12a12= 12,a6= 12,S11=a1+an11X2a6=132，故選 D.B. 8D. 8 或 940 5n7，該數(shù)列前7 項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng)，第8 項(xiàng)是 0,從第 9 項(xiàng)開始是負(fù)數(shù)項(xiàng)，所以Sn取得最大值16A. 310C. 180

11、B. 212D. 12117答案 D解析 設(shè)數(shù)列an的公差為d,依題意得 2 寸2=(s+ys3,因?yàn)閍= 1,所以 2 2ai+d=*fai+/3ai+ 3d, 化簡可得d= 2ai= 2,所以a= 1 + (n 1)x2= 2n- 1,n n 2Sn=n+x2=n,S+10n+n+102所以盲=n2=( (廿廿) )卡X1 +蘆I2n 1故選 D.17. （2015安徽）已知數(shù)列an中，31= 1,an=an1+（n2），則數(shù)列an的前 9 項(xiàng)和等于 答案 2719X81解析 由題意知數(shù)列an是以 1 為首項(xiàng)，以 2 為公差的等差數(shù)列，二 s= 9X1+ x2 = 9 +18= 27.11

12、1*8._ 已知數(shù)列an中，a1= 1 且一=匚+：(n N)，貝Ua10=_ .an+1Cr31答案 14111解析 由已知得 一=一+ (10 1)X= 1 + 3= 4,a10a13故a10= 1.49. 設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 2n10(n N*) )，則01+ | |比比| | + | |=_ . .答案 130解析 由an= 2n 10(n N*)知an是以一 8 為首項(xiàng)，2 為公差的等差數(shù)列，又由an= 2n100,得n5,二當(dāng)n5時(shí)，an5 時(shí)，an0,二|+ |a2| + |a15| = (a1+a2+a3+a4)+ (a5+a6+ +a15)= 20+ 110 = 1

13、30.1 21 =41+2n1w121,18Sn2n_3a910設(shè)等差數(shù)列an ,bn的前n項(xiàng)和分別為S, Tn,若對任意自然數(shù)n都有=2 二，則Tn4n_ 3b5+b7解析an , bn為等差數(shù)列,a9a3a9a3b5+b7b8+b42b62b6S11ai+an 2a62x113 19T11b+bn 2b64x113 41a9a319 + b5+b? b8+b44111.在等差數(shù)列an中，a1= 1,a3=_ 3.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk=_ 35，求k的值.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,則an=a1+ (n_ 1)d.由a1= 1,a3= 3,可得 1

14、+ 2d=_ 3,解得d=_ 2.從而 a.= 1 + (n 1)x( 2) = 3 2n.(2) 由(1)可知an= 3 2n,n1 + 2n2所以S=2=2n_n由Sk=_ 35,可得 2kk=_ 35,2即k 2k 35 = 0，解得k= 7 或k=_ 5.又k N ,故k= 7.112. 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且滿足an+ 2SnSn_1= 0(n2), a=(1)求證：數(shù)列 1 是等差數(shù)列；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(1)證明 當(dāng)n2時(shí)，由an+ 2SSn_1= 0,1 1得 S _ S_1= 2$-1,所以 s _ = 2,SS 1asb8+b4的值為答案1941a9+a3a62b

15、6b6191 1又S1=孑2,20故 1 是首項(xiàng)為 2,公差為 2 的等差數(shù)列.1 1(2)解 由(1)可得S= 2n, S =亦亦. .當(dāng)n2時(shí)，。11n 1 -nan=S S1 = = 2n 2 n-2n n-_ 12n n-1當(dāng)n= 1 時(shí)，a1=不適合上式.12,n= 1,故an=1,n2.I 2n n-*13.已知數(shù)列&的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為 S,(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2(1)證明 當(dāng)n= 1 時(shí)，有 2a1= + 1-4,2即a1 2a1 3 = 0,解得 a= 3(a1= 1 舍去).2當(dāng)n2時(shí)，有 2S1-1=an-1+n 5,1(1)在數(shù)列an中，若a1= 1,a2= ,2又 2Sn=an+n 4,兩式相減得 2an=anan