張量分析在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的應(yīng)用

1、中國(guó)礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院張量分析課程論文張量分析在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的應(yīng)用薛玉潔（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院，橋梁與隧道工程，ZS13030047）摘要：本研究將敘述張量分析在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的應(yīng)用，Euclid空間上張量場(chǎng)分析、二維曲面(Riemann流形)上的張量場(chǎng)分析的相關(guān)知識(shí)體系要點(diǎn)，以及作為應(yīng)用的可變形邊界局部動(dòng)力學(xué)有關(guān)研究的理論基礎(chǔ)等。張量分析是我國(guó)著名力學(xué)家周培源先生常用的數(shù)學(xué)及力學(xué)分析方法，亦謹(jǐn)以此文表示為前輩誠(chéng)摯的仰慕之情。關(guān)鍵詞：連續(xù)介質(zhì)力學(xué)；Euclid空間；二維曲面；渦量與渦動(dòng)力學(xué)1引言一般連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的理論體系，引入初始物理構(gòu)形以及當(dāng)前物理構(gòu)形，對(duì)二者可再分別引入

2、初始參數(shù)構(gòu)形以及當(dāng)前參數(shù)構(gòu)形，物理構(gòu)形與參數(shù)構(gòu)形之間的關(guān)系即為一般曲線坐標(biāo)系，數(shù)學(xué)上對(duì)應(yīng)為有限維Euclid空間之間二個(gè)開集之間的微分同胚。為研究邊界的有限變形運(yùn)動(dòng)對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的影響，我們對(duì)于當(dāng)前物理構(gòu)形引入顯含時(shí)間的曲線坐標(biāo)系，表現(xiàn)為時(shí)空空間中的微分同胚。通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)那€坐標(biāo)系可將物理空間中幾何形態(tài)不規(guī)則且隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)區(qū)域微分同胚至參數(shù)空間中的幾何形態(tài)規(guī)則且不隨時(shí)間變化的參數(shù)區(qū)域。如圖l所示，對(duì)于研究出口邊界可作有限變形運(yùn)動(dòng)的射流場(chǎng)，其當(dāng)前物理構(gòu)形顯得極其復(fù)雜，但我們可以考慮如圖所示的對(duì)應(yīng)于當(dāng)前物理構(gòu)形的顯含時(shí)間的曲線坐標(biāo)系，使得當(dāng)前參數(shù)構(gòu)形不僅幾何形態(tài)規(guī)則而且不隨時(shí)間變化。進(jìn)一步將連續(xù)

3、介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的控制方程按曲線坐標(biāo)系的局部基展開就可獲得定義于參數(shù)區(qū)域上的控制方程。特別地，可基于非完整系理論系統(tǒng)獲得控制方程在一般單位正交系(非完整系)下的分量方程，也適用于按時(shí)均分解的湍流控制方程。我們亦可將把相關(guān)方法推廣至張量梯度的多點(diǎn)表示形式。以上所述，一定程度上歸納了現(xiàn)代張量分析在現(xiàn)代連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中有關(guān)應(yīng)用的基本思想及方法。本文將敘述Euclid空間上張量場(chǎng)分析、二維曲面(Riemann流形)上的張量場(chǎng)分析的相關(guān)知識(shí)體系要點(diǎn)，以及作為應(yīng)用的可變形邊界局部動(dòng)力學(xué)有關(guān)研究的理論基礎(chǔ)。圖1 邊界可作有限變形運(yùn)動(dòng)的射流共當(dāng)前物理構(gòu)形所對(duì)應(yīng)曲線坐標(biāo)系的選取2 Euclid空間上的張量場(chǎng)分析2.1 曲

4、線坐標(biāo)系圖2 二維Euclid空間中一般曲線坐標(biāo)系示意圖可基于郁良維Euclid空間中微分同胚的映照理解曲線坐標(biāo)系 如圖2所示，曲線坐標(biāo)系的Jacobian矩陣的每列直接定義的局部協(xié)變基向量。按線性代數(shù)，即得對(duì)任一局部協(xié)變基g1，存在唯一的局部逆變基gj，滿足 。以此按郁良維Euclid空間中的微分學(xué)，即可引入Christoffel符號(hào)的定義： 2.2 張量函數(shù)空間的范數(shù)張量場(chǎng)一般定義如下所述：此處，不失一般性以三階張量為例。我們可以考慮建立張量賦范線性空間，亦即引入張量范數(shù)：對(duì)于簡(jiǎn)單張量，則有： 。籍此，可基于一般賦范線性空間上的微分學(xué)研究張量場(chǎng)以及一般張量映照的相關(guān)性質(zhì)。2.3 張量場(chǎng)可微

5、性按微分學(xué)，可估計(jì)因位置發(fā)生微小變化，而引起的張量的變化：此處 即為一般定義的張量分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。進(jìn)一步，可有： 由此，張量場(chǎng)梯度可以認(rèn)為是張量場(chǎng)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)蘊(yùn)表達(dá)形式。 2.4 張量場(chǎng)方向?qū)?shù)基于張量場(chǎng)可微性，可以定義張量場(chǎng)方向?qū)?shù)：由此，可基于形式運(yùn)算，定義任意張量場(chǎng)的任意場(chǎng)論運(yùn)算：2.5 場(chǎng)論恒等式推導(dǎo)基本要素一般Euclid空間中，場(chǎng)論恒等式的推導(dǎo)，可基于以下二方面要素：(l)置換符號(hào)同Kroneck符號(hào)之間的關(guān)系(2)Rieei引理亦即，Eddington張量場(chǎng) 以及度量張量場(chǎng)對(duì)所有的方向?qū)?shù)均為零。(3)張量場(chǎng)分量之協(xié)變導(dǎo)數(shù)作用可以交換次序本性質(zhì)直接反映了Eucl記空間或Euclid流

6、形的基本兒何特性。2.6 非完整系理論基本要素(l)完整系中定義的張量場(chǎng)梯度及其整體表示的不變性非完整基ga的張量分量。(2)非完整基中的相關(guān)運(yùn)算定義形式偏導(dǎo)數(shù)：形式Christoffel符號(hào)：形式協(xié)變導(dǎo)數(shù)(亦即張量場(chǎng)梯度相對(duì)于非完整基的分量)：實(shí)際理論分析或數(shù)值分析中，完整基為正交基，而非完整基為其單位正交基化。由此，可得在非完整的單位正交基中，形式偏導(dǎo)數(shù)、形式ChriStoffel符號(hào)以及形式協(xié)變導(dǎo)數(shù)為： 湍流研究中，經(jīng)常需要對(duì)相關(guān)物理量進(jìn)行時(shí)均分解，并且根據(jù)實(shí)際問題往往需要對(duì)非Cartosian坐標(biāo)系中的Navier一StokeS方程等分量方程進(jìn)行時(shí)間分解，以獲得平均量方程以及脈動(dòng)量方程

7、等。對(duì)此，可以先明確：2.7 張量的二點(diǎn)形式表示及其基本微分學(xué)運(yùn)算圖3 初始物理構(gòu)形以及當(dāng)前物理對(duì)應(yīng)曲線坐標(biāo)系所誘導(dǎo)的局部基示意圖一般連續(xù)介質(zhì)理論，常引入初始物理構(gòu)形及其曲線坐標(biāo)以及當(dāng)前物理構(gòu)形及其曲線坐標(biāo)系系 ；此不同的曲線坐標(biāo)系則可以誘導(dǎo)獨(dú)立的局部基，如 ，如圖3所示。對(duì)任意張量，如其表達(dá)式中構(gòu)成簡(jiǎn)單張量的不同向量來源于不同的基，如：則可引入全偏導(dǎo)數(shù)的定義，并可得其計(jì)算式： 此處，全協(xié)變導(dǎo)數(shù)具有表達(dá)式： 式中：可稱對(duì)應(yīng)當(dāng)前構(gòu)形的協(xié)變導(dǎo)數(shù)；可稱對(duì)應(yīng)初始構(gòu)形的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。2.8 張量二點(diǎn)形式表示下的非完整系理論類比于一般非完整系理論，可以將相關(guān)思想及方法推廣至張量的二點(diǎn)表示形式。首先，按非完整系

8、定義張量梯度；其次，按坐標(biāo)變化規(guī)則確定非完整系下的分量;然后，推導(dǎo)得非完整基下的協(xié)變導(dǎo)數(shù)計(jì)算式。對(duì)于完整系為正交基，非完整系為單位正交基情形，則有：式中：上述理論應(yīng)很適合一般連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的Lagrange刻畫。按郭仲衡著非線性彈性理論 ，基于Lagrange觀點(diǎn)求解連續(xù)介質(zhì)有限變形動(dòng)力學(xué)的基本方法，歸納如下：質(zhì)量守恒： 為初始密度分布。動(dòng)量守恒：能量守恒：能量守恒結(jié)合本構(gòu)關(guān)系，可以確定動(dòng)量守恒中的Piola一Kirchhoff第一類、第二類應(yīng)力張量的表達(dá)形式，可由變形梯度表示。由此，求解連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的Lagrange刻畫，應(yīng)該就是求解運(yùn)動(dòng)： ，因?yàn)闊o論是變形梯度，還是應(yīng)力都可以由此計(jì)算。對(duì)上述

9、過程，我們可以考慮在非完整的單位正交系中展開相關(guān)方程。如對(duì)于變形梯度，可具有形式：此處設(shè)初始物理構(gòu)形以及當(dāng)前物理構(gòu)形中局部均為完整的正交基，然后施行非完整的單位正交化過程。3 二維曲面(Riemann流形)上的張量場(chǎng)分析3.1 曲面上局部標(biāo)架如圖4所示，一般二維Euclid空間中曲面的向量值映照表示如一下： 圖4二維曲面上標(biāo)架及其基此構(gòu)建的半正交三維坐標(biāo)系示意圖此處D為曲面參數(shù)域。由此，向量值映照的Jacobian矩陣， 可定義局部基向量(協(xié)變基及逆變基)以及由此構(gòu)成的切空間：3.2 曲面第一、第二基本形式可定義曲面第一、第二基本不變量現(xiàn)以矩陣形式表示。基于線性代數(shù)中，同時(shí)對(duì)角化的結(jié)論，亦即：可定義Guass曲率 以及平均曲率 3. 3 曲面局部標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程按一般Euclid空間上的微分學(xué)，可有： 此處：按張量在線性空間上的微分學(xué)，基于上述曲面局部標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程，我們可以獲得定義于曲面之上的張量場(chǎng)沿曲面坐標(biāo)線的偏導(dǎo)數(shù)：本文未涉及連續(xù)介質(zhì)幾何形態(tài)為曲面(二維Riemann流形)的有限變形理論，對(duì)此可參閱文獻(xiàn)5，涉及更為系統(tǒng)的二維Riemann流形上的張量場(chǎng)分析。參 考 文 獻(xiàn)1 郭仲衡.張量分析(理論和應(yīng)用)M.北京:科學(xué)出版社,1988. 2 郭仲衡.非線性彈性理論M.北京:科學(xué)出版社,1980.3 謝錫麟,陳瑜.當(dāng)前物理構(gòu)