張量分析在連續(xù)介質力學中的應用

1、中國礦業(yè)大學力學與建筑工程學院張量分析課程論文張量分析在連續(xù)介質力學中的應用薛玉潔（中國礦業(yè)大學力學與建筑工程學院，橋梁與隧道工程，ZS13030047）摘要：本研究將敘述張量分析在連續(xù)介質力學中的應用，Euclid空間上張量場分析、二維曲面(Riemann流形)上的張量場分析的相關知識體系要點，以及作為應用的可變形邊界局部動力學有關研究的理論基礎等。張量分析是我國著名力學家周培源先生常用的數(shù)學及力學分析方法，亦謹以此文表示為前輩誠摯的仰慕之情。關鍵詞：連續(xù)介質力學；Euclid空間；二維曲面；渦量與渦動力學1引言一般連續(xù)介質力學的理論體系，引入初始物理構形以及當前物理構形，對二者可再分別引入

2、初始參數(shù)構形以及當前參數(shù)構形，物理構形與參數(shù)構形之間的關系即為一般曲線坐標系，數(shù)學上對應為有限維Euclid空間之間二個開集之間的微分同胚。為研究邊界的有限變形運動對介質運動的影響，我們對于當前物理構形引入顯含時間的曲線坐標系，表現(xiàn)為時空空間中的微分同胚。通過構造適當?shù)那€坐標系可將物理空間中幾何形態(tài)不規(guī)則且隨時間變化的運動區(qū)域微分同胚至參數(shù)空間中的幾何形態(tài)規(guī)則且不隨時間變化的參數(shù)區(qū)域。如圖l所示，對于研究出口邊界可作有限變形運動的射流場，其當前物理構形顯得極其復雜，但我們可以考慮如圖所示的對應于當前物理構形的顯含時間的曲線坐標系，使得當前參數(shù)構形不僅幾何形態(tài)規(guī)則而且不隨時間變化。進一步將連續(xù)

3、介質運動的控制方程按曲線坐標系的局部基展開就可獲得定義于參數(shù)區(qū)域上的控制方程。特別地，可基于非完整系理論系統(tǒng)獲得控制方程在一般單位正交系(非完整系)下的分量方程，也適用于按時均分解的湍流控制方程。我們亦可將把相關方法推廣至張量梯度的多點表示形式。以上所述，一定程度上歸納了現(xiàn)代張量分析在現(xiàn)代連續(xù)介質力學中有關應用的基本思想及方法。本文將敘述Euclid空間上張量場分析、二維曲面(Riemann流形)上的張量場分析的相關知識體系要點，以及作為應用的可變形邊界局部動力學有關研究的理論基礎。圖1 邊界可作有限變形運動的射流共當前物理構形所對應曲線坐標系的選取2 Euclid空間上的張量場分析2.1 曲

4、線坐標系圖2 二維Euclid空間中一般曲線坐標系示意圖可基于郁良維Euclid空間中微分同胚的映照理解曲線坐標系 如圖2所示，曲線坐標系的Jacobian矩陣的每列直接定義的局部協(xié)變基向量。按線性代數(shù)，即得對任一局部協(xié)變基g1，存在唯一的局部逆變基gj，滿足 。以此按郁良維Euclid空間中的微分學，即可引入Christoffel符號的定義： 2.2 張量函數(shù)空間的范數(shù)張量場一般定義如下所述：此處，不失一般性以三階張量為例。我們可以考慮建立張量賦范線性空間，亦即引入張量范數(shù)：對于簡單張量，則有： 。籍此，可基于一般賦范線性空間上的微分學研究張量場以及一般張量映照的相關性質。2.3 張量場可微

5、性按微分學，可估計因位置發(fā)生微小變化，而引起的張量的變化：此處 即為一般定義的張量分量的協(xié)變導數(shù)。進一步，可有： 由此，張量場梯度可以認為是張量場導數(shù)的內蘊表達形式。 2.4 張量場方向導數(shù)基于張量場可微性，可以定義張量場方向導數(shù)：由此，可基于形式運算，定義任意張量場的任意場論運算：2.5 場論恒等式推導基本要素一般Euclid空間中，場論恒等式的推導，可基于以下二方面要素：(l)置換符號同Kroneck符號之間的關系(2)Rieei引理亦即，Eddington張量場 以及度量張量場對所有的方向導數(shù)均為零。(3)張量場分量之協(xié)變導數(shù)作用可以交換次序本性質直接反映了Eucl記空間或Euclid流

6、形的基本兒何特性。2.6 非完整系理論基本要素(l)完整系中定義的張量場梯度及其整體表示的不變性非完整基ga的張量分量。(2)非完整基中的相關運算定義形式偏導數(shù)：形式Christoffel符號：形式協(xié)變導數(shù)(亦即張量場梯度相對于非完整基的分量)：實際理論分析或數(shù)值分析中，完整基為正交基，而非完整基為其單位正交基化。由此，可得在非完整的單位正交基中，形式偏導數(shù)、形式ChriStoffel符號以及形式協(xié)變導數(shù)為： 湍流研究中，經(jīng)常需要對相關物理量進行時均分解，并且根據(jù)實際問題往往需要對非Cartosian坐標系中的Navier一StokeS方程等分量方程進行時間分解，以獲得平均量方程以及脈動量方程

7、等。對此，可以先明確：2.7 張量的二點形式表示及其基本微分學運算圖3 初始物理構形以及當前物理對應曲線坐標系所誘導的局部基示意圖一般連續(xù)介質理論，常引入初始物理構形及其曲線坐標以及當前物理構形及其曲線坐標系系 ；此不同的曲線坐標系則可以誘導獨立的局部基，如 ，如圖3所示。對任意張量，如其表達式中構成簡單張量的不同向量來源于不同的基，如：則可引入全偏導數(shù)的定義，并可得其計算式： 此處，全協(xié)變導數(shù)具有表達式： 式中：可稱對應當前構形的協(xié)變導數(shù)；可稱對應初始構形的協(xié)變導數(shù)。2.8 張量二點形式表示下的非完整系理論類比于一般非完整系理論，可以將相關思想及方法推廣至張量的二點表示形式。首先，按非完整系

8、定義張量梯度；其次，按坐標變化規(guī)則確定非完整系下的分量;然后，推導得非完整基下的協(xié)變導數(shù)計算式。對于完整系為正交基，非完整系為單位正交基情形，則有：式中：上述理論應很適合一般連續(xù)介質運動的Lagrange刻畫。按郭仲衡著非線性彈性理論 ，基于Lagrange觀點求解連續(xù)介質有限變形動力學的基本方法，歸納如下：質量守恒： 為初始密度分布。動量守恒：能量守恒：能量守恒結合本構關系，可以確定動量守恒中的Piola一Kirchhoff第一類、第二類應力張量的表達形式，可由變形梯度表示。由此，求解連續(xù)介質運動的Lagrange刻畫，應該就是求解運動： ，因為無論是變形梯度，還是應力都可以由此計算。對上述

9、過程，我們可以考慮在非完整的單位正交系中展開相關方程。如對于變形梯度，可具有形式：此處設初始物理構形以及當前物理構形中局部均為完整的正交基，然后施行非完整的單位正交化過程。3 二維曲面(Riemann流形)上的張量場分析3.1 曲面上局部標架如圖4所示，一般二維Euclid空間中曲面的向量值映照表示如一下： 圖4二維曲面上標架及其基此構建的半正交三維坐標系示意圖此處D為曲面參數(shù)域。由此，向量值映照的Jacobian矩陣， 可定義局部基向量(協(xié)變基及逆變基)以及由此構成的切空間：3.2 曲面第一、第二基本形式可定義曲面第一、第二基本不變量現(xiàn)以矩陣形式表示?；诰€性代數(shù)中，同時對角化的結論，亦即：可定義Guass曲率 以及平均曲率 3. 3 曲面局部標架運動方程按一般Euclid空間上的微分學，可有： 此處：按張量在線性空間上的微分學，基于上述曲面局部標架運動方程，我們可以獲得定義于曲面之上的張量場沿曲面坐標線的偏導數(shù)：本文未涉及連續(xù)介質幾何形態(tài)為曲面(二維Riemann流形)的有限變形理論，對此可參閱文獻5，涉及更為系統(tǒng)的二維Riemann流形上的張量場分析。參 考 文 獻1 郭仲衡.張量分析(理論和應用)M.北京:科學出版社,1988. 2 郭仲衡.非線性彈性理論M.北京:科學出版社,1980.3 謝錫麟,陳瑜.當前物理構