第一節(jié)特征值與特征向量

1、第四章相似矩陣課程教案授課題目：第一節(jié) 特征值與特征向量教學(xué)目的：掌握方陣的特征值和特征向量的概念和求法.教學(xué)重點：掌握方陣的特征值和特征向量的求法教學(xué)難點：方陣特征向量的求法.課時安排：3學(xué)時.授課方式：多媒體與板書結(jié)合.教學(xué)基本內(nèi)容： 4.1特征值與特征向量1定義1設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)和n維非零列向量x，使得Ax x(1)成立，則稱 是方陣A的特征值，x是A的屬于特征值的特征向量.注1.只對方陣有這樣的定義，而且特征向量必須是非零向量 .2. (1)成立(A E)x 0有非零解.| E A 0.E A稱為A特征多項式.E A 0稱為A特征方程.2矩陣特征值、特征向量的計算步驟：1 解

2、特征方程I E A 0 ；求出特征根，即A的特征值1, 2,|, n由于特征方程是 關(guān)于 的n次代數(shù)方程，所以在計算行列式值寫出特征多項式(的n次多項式)時，應(yīng)盡可能寫成低次因式乘積的形式以便解特征方程2對每個特征值 i，解齊次線性代數(shù)方程組 (A iE)x 0.求出其基礎(chǔ)解系，即為 矩陣A屬于特征值i的特征向量.矩陣A屬于i的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)有n R( A iE )個，即為(A jE)x 0解空間N(A iE)的維數(shù)，常稱N(A iE)為矩陣A屬于特征值i的特征子空間(其中任一非零向量皆為 A屬于j的特征向量.注 以上由定義導(dǎo)出的一般計算方法，在已知特征值求特征向量或已知特征向量求特征

3、 值的情況下都會得到簡化.例1求下列矩陣的特征值和特征向量：1 1(1) ； (2) 2 1 2433并問它們的特征向量是否兩兩正交解（1）a1a2an2)(3),故A的特征值為12, 23 .12時，解方程（A2E )x0，由(A 2E)得基礎(chǔ)解系P0).所以KR（k0）是對應(yīng)于12的全部特征值向量.23時,解方程（A3E)x 0，由(A 3E)所以 k2F2(k210得基礎(chǔ)解系P20）是對應(yīng)于3的全部特征向量.R,P2RTP21,1)P1 ,F2不正交.1)(9),故A的特征值為0, 21,0時，解方程得基礎(chǔ)解系故 k1(k10）是對應(yīng)于10的全部特征值向量.1時，解方程(A E)x 0,

4、由當(dāng)39時，解方程(A 9E)X823A 9E283333故k3(k30)是對應(yīng)于1/2(1,1,0) 1/212232231A E223001得基礎(chǔ)解系P213370000故 k2F2(k20)是對應(yīng)于21的全部特征值向量，0,由111 1/2 101-得基礎(chǔ)解系P31/2200019的全部特征值向量.1R,F2 RtF2 ( 1, 1,1) 10, F2.F3 PtF301/2RPdRTP3(1, 1,1)1/212a1a a?(3)A Ea? a2a2an a1ana2nn 1 # 2(a12a2a；)n2a222 aia1ai時,2a22a32an2a1ana10，所以R,F2,P3兩

5、兩正交.a1 ana2ann 1/22(a1a22asanSb0.aan2Ona2anan00a1初等行變換0an0a2取Xn為自由未知量，并令Xnan，設(shè)00anan 10000an 1.故基礎(chǔ)解系為a1 a?Xiai, X2a2,XniRn當(dāng)23n 0時，2qCa2a1ana1a2anA 0 Ea23ia；a2an初等行變換000an3iana2201000a2a2ana100可得基礎(chǔ)解系P20,P3a,Pn0aiaia2綜上所述可知原矩陣的特征向量為r,p, ,pnan0ai211例2已知向量v (1,1,3 )T是矩陣 a20的一個特征向量4b3試求A對應(yīng)于x的2 1 112a 2 0

6、1 :=，即 a 2 =，4 b 333b 53特征值，并確定A中之a(chǎn) ,b之值.解由定義知，成立Av v，即于是得 2,a 0,b1.3矩陣特征值、特征向量的常用性質(zhì)性質(zhì)1若1, 2,川，n是n階矩陣A (aj)特征值，則必有12 | n ail a22 川 ann tr（A） （ A的跡）.12|n A.性質(zhì)1的第一式?？捎糜趯μ卣髦涤嬎阕饕缓唵蔚男：?第二式構(gòu)通了矩陣行列式與特征值的關(guān)系，得到了計算行列式（全體特征值之積）及證明矩陣A可逆（矩陣 A可逆的充要條件是無一特征值為 0）的又一途徑這些性質(zhì)必須熟記.性質(zhì)2若1, 2,川，k是n階矩陣A的兩兩不等的特征值，其對應(yīng)的特征向量分別是X

7、i ,X2,|,Xk則 Xi,X2,|,Xk線性無關(guān).性質(zhì)3若 是矩陣A的特征值，X是A屬于 的特征向量，貝yk， 2, 1（0），A( 0),f()是 A kE,A2,A 1,A*, f( A) amAm 川 a* aE，的特征值,x也是相應(yīng)的特征向量.例3若 是矩陣A的特征值，x是A屬于 的特征向量，試求證k是A kE的特征值，x也是A kE屬于k的特征向量.證明因為 Ax x ,所以（A kE ）x Ax kx x kx （ k ）x .例4已知1, 2是矩陣A的兩個特征值12 , X1,X2分別是A屬于1, 2的特征向量，試求證X1 X2決非A的特征向量.證明 分析一下要證的結(jié)論是“

8、x1 x2不是A的特征向量”，由于特征向量這一性質(zhì)以AEC12BE，故E ABEBEA證 對2n階矩陣作分塊初等變換，有E BA .因AB與BA有相同的特征方程,確定等式表出，故對這樣的命題，自然想到要用反證法另外，依給定的條件，用性質(zhì)可知Xi,X2是線性無關(guān)的。下面寫出證明過程：設(shè)x1 x2是A的特征向量，則有使 A( XiX2)1(XiX2 ),又由A( x1 x2 ) Ax1 Ax21 x-i2X2，與前一式相減，得（1 )Xi (2)X2 0 ,由X1 ,X2線性無關(guān)，知1 ,2，即12矛盾.證畢.這個性質(zhì)也需熟記，并能靈活運用.常稱之為特征值的平移性，即將矩陣A的每個對角線兀皆移過k時，其特征值亦必移過k .例5對n階矩陣A,B，試證AB與BA必有相同的特征值故特征值全同.證畢.例6已知秩為1的n階矩陣A，試求A的n個特征值.解 設(shè)a （,卅an）T,b （bi,S,川,bn ）T，則有A abT .（矩陣秩為1的充要條件是可寫成非零列向量與非零行向量之積）則Aa abTa （bTa ）a .又因為R（ A） 1 ,故知A的n個特征值應(yīng)為數(shù)bTa及n 1個0.參考書目：1.賀鐵山